Страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.71 a) Когда цену товара увеличили на 30%, он стал стоить 520 р. Определите первоначальную стоимость товара.

б) Цена товара сначала выросла на 20%, а затем снизилась на 15%, после чего товар стал стоить 102 р. Какова была первоначальная стоимость товара?

а) Пусть первоначальная стоимость товара равна $x$ рублей. Когда цену увеличили на 30%, она стала составлять $100\% + 30\% = 130\%$ от первоначальной стоимости. Чтобы выразить это в виде коэффициента, нужно разделить проценты на 100: $130\% / 100 = 1.3$. Таким образом, новая цена равна $x \cdot 1.3$.По условию, новая цена составляет 520 рублей. Составим и решим уравнение:

$x \cdot 1.3 = 520$

Чтобы найти $x$, разделим 520 на 1.3:

$x = \frac{520}{1.3}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{5200}{13} = 400$

Значит, первоначальная стоимость товара была 400 рублей.

Ответ: 400 р.

б) Пусть первоначальная стоимость товара равна $y$ рублей.Сначала цена выросла на 20%. Новая цена стала составлять $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной, то есть $y \cdot 1.2$.

Затем эта новая цена снизилась на 15%. Конечная цена составила $100\% - 15\% = 85\%$ от цены после повышения. Чтобы найти конечную цену, нужно цену после повышения, $y \cdot 1.2$, умножить на коэффициент 0.85 (так как $85\% = 0.85$).

Получаем выражение для конечной цены: $(y \cdot 1.2) \cdot 0.85$. По условию, она равна 102 рубля. Составим уравнение:

$y \cdot 1.2 \cdot 0.85 = 102$

Упростим левую часть, перемножив коэффициенты:

$1.2 \cdot 0.85 = 1.02$

Получаем уравнение:

$y \cdot 1.02 = 102$

Теперь найдем $y$:

$y = \frac{102}{1.02}$

Умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

$y = \frac{10200}{102} = 100$

Следовательно, первоначальная стоимость товара составляла 100 рублей.

Ответ: 100 р.

Решите задачу арифметическим, а потом алгебраическим способом (4.72–4.73).

4.72 Дима выиграл набор коллекционных марок; $1/5$ этого набора он подарил брату, $1/6$ — сестре, а остальные 19 марок оставил себе. Сколько марок было в наборе?

Арифметический способ

1) Сначала найдем, какую часть всех марок Дима отдал брату и сестре вместе. Для этого сложим их доли:
$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{6}{30} + \frac{5}{30} = \frac{11}{30}$ (часть набора).

2) Весь набор примем за единицу (1). Теперь найдем, какая часть набора осталась у Димы. Для этого вычтем из целого ту часть, которую он подарил:
$1 - \frac{11}{30} = \frac{30}{30} - \frac{11}{30} = \frac{19}{30}$ (часть набора).

3) Из условия задачи известно, что оставшаяся у Димы часть ($\frac{19}{30}$) — это 19 марок. Чтобы найти общее количество марок в наборе (найти целое по его части), нужно разделить число марок на соответствующую ему дробь:
$19 \div \frac{19}{30} = 19 \times \frac{30}{19} = 30$ (марок).

Ответ: в наборе было 30 марок.

Алгебраический способ

Пусть $x$ — это общее количество марок в наборе.
Тогда Дима подарил брату $\frac{1}{5}x$ марок, а сестре — $\frac{1}{6}x$ марок.
У самого Димы осталось 19 марок.

Сумма всех частей равна общему количеству марок. Составим уравнение:
$\frac{1}{5}x + \frac{1}{6}x + 19 = x$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все слагаемые с неизвестной $x$ в правую часть уравнения:
$19 = x - \frac{1}{5}x - \frac{1}{6}x$

Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю 30:
$19 = \frac{30}{30}x - \frac{6}{30}x - \frac{5}{30}x$
$19 = (\frac{30 - 6 - 5}{30})x$
$19 = \frac{19}{30}x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$:
$x = 19 \div \frac{19}{30}$
$x = 19 \times \frac{30}{19}$
$x = 30$

Ответ: в наборе было 30 марок.

4.73 Из корзины отсыпали половину орехов, потом ещё половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. После этого в корзине осталось 10 орехов. Сколько орехов было в корзине первоначально?

Эту задачу удобнее всего решать с конца, выполняя действия, обратные описанным в условии. Мы знаем, что в итоге осталось 10 орехов.

1. В последний, четвертый раз, из корзины отсыпали половину орехов, и осталось 10. Это значит, что 10 орехов — это та половина, которая осталась. Следовательно, до этого момента в корзине было вдвое больше: $10 \times 2 = 20$ орехов.

2. Эти 20 орехов остались после того, как в третий раз отсыпали половину. Значит, 20 орехов — это половина от количества, которое было перед третьим действием. Таким образом, до этого в корзине было: $20 \times 2 = 40$ орехов.

3. Аналогично, 40 орехов — это половина от того, что было до второго действия. Значит, до него в корзине было: $40 \times 2 = 80$ орехов.

4. Наконец, 80 орехов — это половина от самого начального количества орехов. Чтобы найти, сколько орехов было в корзине сначала, нужно удвоить это число: $80 \times 2 = 160$ орехов.

Также задачу можно решить, составив уравнение. Пусть $x$ — первоначальное количество орехов. Каждый раз, когда отсыпали половину, количество оставшихся орехов умножалось на $\frac{1}{2}$. Поскольку это действие повторили 4 раза, в конце осталось $x \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{x}{16}$ орехов. По условию это равно 10. Получаем уравнение: $\frac{x}{16} = 10$, откуда $x = 10 \times 16 = 160$.

Ответ: 160 орехов.

Решите старинную задачу (4.74–4.77).

4.74 Летит стая гусей, навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» «Нас не сто гусей, — ответил ему вожак стаи, — если бы нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да полстолько, да четверть столько, да ещё ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей». Сколько было в стае гусей?

$x + x + \frac{x}{2} + \frac{x}{4} + 1 = 100$

4.74

Для решения этой старинной задачи необходимо перевести ее условия на язык математики, то есть составить уравнение.

Пусть $x$ — это количество гусей в стае, которое нам нужно найти.

Вожак стаи говорит, что если к их текущему количеству ($x$) прибавить еще столько же ($x$), затем половину от их числа ($\frac{1}{2}x$), четверть от их числа ($\frac{1}{4}x$) и еще одного гуся (того, который их встретил), то в сумме получится 100.

Запишем это в виде математического уравнения:
$x + x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив все слагаемые с переменной $x$:
$2x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

Чтобы сложить коэффициенты при $x$, приведём их к общему знаменателю, равному 4:
$2x = \frac{8}{4}x$
$\frac{1}{2}x = \frac{2}{4}x$
Получаем:
$\frac{8}{4}x + \frac{2}{4}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

Сложим дроби:
$\frac{8+2+1}{4}x + 1 = 100$
$\frac{11}{4}x + 1 = 100$

Перенесём число 1 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$\frac{11}{4}x = 100 - 1$
$\frac{11}{4}x = 99$

Чтобы найти $x$, нужно 99 разделить на коэффициент $\frac{11}{4}$. Это то же самое, что умножить 99 на обратную дробь $\frac{4}{11}$:
$x = 99 \cdot \frac{4}{11}$

Сократим 99 и 11 ($99 \div 11 = 9$):
$x = 9 \cdot 4$
$x = 36$

Таким образом, в стае было 36 гусей.

Выполним проверку, подставив найденное значение в условие:
$36$ (столько, сколько теперь) + $36$ (ещё столько) + $18$ (полстолько) + $9$ (четверть столько) + $1$ (встречный гусь) = $72 + 18 + 9 + 1 = 90 + 9 + 1 = 100$.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: в стае было 36 гусей.

4.75 У Пифагора однажды спросили, сколько у него учеников.

«Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны природы, седьмая часть упражняет силу духа. Добавьте ещё к ним трёх юношей, из коих Теон самый способный».

$x = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 3$

Сколько было учеников у Пифагора?

Для решения этой задачи необходимо составить уравнение. Пусть $x$ — это общее количество учеников у Пифагора.

Согласно условию, ученики распределяются по группам следующим образом:

• Половина учеников изучает математику: $\frac{1}{2}x$
• Четверть учеников исследует природу: $\frac{1}{4}x$
• Седьмая часть упражняет силу духа: $\frac{1}{7}x$
• И ещё 3 юноши.

Сумма всех этих групп равна общему числу учеников $x$. Составим уравнение:

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 3 = x$

Для решения уравнения перенесём все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону:

$x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{7}x = 3$

Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 2, 4 и 7 равно 28.

$\frac{28x}{28} - \frac{14x}{28} - \frac{7x}{28} - \frac{4x}{28} = 3$

Выполним вычитание дробей в левой части уравнения:

$\frac{(28 - 14 - 7 - 4)x}{28} = 3$

$\frac{3x}{28} = 3$

Теперь найдём $x$:

$x = 3 \cdot \frac{28}{3}$

$x = 28$

Таким образом, у Пифагора было 28 учеников. Проверим решение:

$\frac{1}{2} \cdot 28 + \frac{1}{4} \cdot 28 + \frac{1}{7} \cdot 28 + 3 = 14 + 7 + 4 + 3 = 28$.

Ответ: У Пифагора было 28 учеников.

4.76 После того как путник прошёл 3 версты и ещё треть оставшегося пути, ему осталось пройти половину пути и ещё 1 версту. Какой путь осталось пройти путнику?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $S$ — это общая длина всего пути в верстах.

Согласно условию, путник прошел 3 версты, а затем еще треть оставшегося пути. Расстояние, которое осталось после прохождения 3 верст, равно $S - 3$. Треть от этого расстояния составляет $\frac{1}{3}(S - 3)$. Таким образом, пройденный путником путь можно выразить формулой:

Пройденный путь = $3 + \frac{1}{3}(S - 3)$

Также в условии сказано, что ему осталось пройти половину всего пути и еще 1 версту. Это можно записать как:

Оставшийся путь = $\frac{1}{2}S + 1$

Весь путь состоит из пройденной и оставшейся частей. Следовательно, мы можем составить уравнение, приравняв сумму пройденного и оставшегося пути к общей длине пути $S$:

$S = \left(3 + \frac{1}{3}(S - 3)\right) + \left(\frac{1}{2}S + 1\right)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $S$.

1. Раскроем скобки и упростим выражение:

$S = 3 + \frac{1}{3}S - \frac{3}{3} + \frac{1}{2}S + 1$

$S = 3 + \frac{1}{3}S - 1 + \frac{1}{2}S + 1$

$S = 3 + \frac{1}{3}S + \frac{1}{2}S$

2. Перенесем все члены с переменной $S$ в левую часть уравнения:

$S - \frac{1}{3}S - \frac{1}{2}S = 3$

3. Приведем дроби к общему знаменателю (6):

$\frac{6S}{6} - \frac{2S}{6} - \frac{3S}{6} = 3$

$\frac{6S - 2S - 3S}{6} = 3$

$\frac{S}{6} = 3$

4. Найдем $S$:

$S = 3 \times 6$

$S = 18$

Итак, общая длина пути составляет 18 верст.

Вопрос задачи — какой путь осталось пройти путнику. Мы уже выразили этот путь формулой: Оставшийся путь = $\frac{1}{2}S + 1$. Подставим в нее найденное значение $S$:

Оставшийся путь = $\frac{1}{2}(18) + 1 = 9 + 1 = 10$ верст.

Проверим решение. Пройденный путь: $3 + \frac{1}{3}(18 - 3) = 3 + \frac{15}{3} = 3 + 5 = 8$ верст. Оставшийся путь: $10$ верст. Весь путь: $8 + 10 = 18$ верст. Проверка по второму условию: Оставшийся путь равен половине пути и еще 1 версте: $\frac{18}{2} + 1 = 9 + 1 = 10$ верст. Все сходится.

Ответ: путнику осталось пройти 10 верст.

4.77 Трое мужчин пришли к парикмахеру. Побрив первого, парикмахер сказал: «Посмотри, сколько денег в ящике стола, положи ещё столько же и возьми два рубля сдачи». То же сказал парикмахер и второму, и третьему. Когда они ушли, оказалось, что в ящике денег нет. Сколько денег было в ящике первоначально?

Эту задачу удобнее всего решать с конца.

1. В самом конце, после ухода третьего мужчины, в ящике осталось 0 рублей.

2. Перед тем как третий мужчина взял 2 рубля сдачи, в ящике было $0 + 2 = 2$ рубля.

3. Эти 2 рубля получились после того, как третий мужчина удвоил сумму, которая была в ящике до его прихода. Значит, до того, как он положил деньги, в ящике было $2 \div 2 = 1$ рубль. Это та сумма, которая осталась после ухода второго мужчины.

4. Рассуждая аналогично, найдем сумму, которая была в ящике до прихода второго мужчины. Перед тем как он взял 2 рубля сдачи, в ящике было $1 + 2 = 3$ рубля. Эта сумма получилась удвоением, значит, до этого в ящике было $3 \div 2 = 1.5$ рубля. Это та сумма, которая осталась после ухода первого мужчины.

5. Теперь найдем первоначальную сумму. Перед тем как первый мужчина взял 2 рубля сдачи, в ящике было $1.5 + 2 = 3.5$ рубля. Эта сумма получилась удвоением, значит, первоначально в ящике было $3.5 \div 2 = 1.75$ рубля.

Проверим решение:

• Изначально в ящике было 1.75 руб.
• Пришел первый мужчина, добавил 1.75 руб. (стало 3.5 руб.) и взял 2 руб. сдачи. В ящике осталось 1.5 руб.
• Пришел второй мужчина, добавил 1.5 руб. (стало 3 руб.) и взял 2 руб. сдачи. В ящике остался 1 руб.
• Пришел третий мужчина, добавил 1 руб. (стало 2 руб.) и взял 2 руб. сдачи. В ящике осталось 0 руб.

Все сходится.

Ответ: Первоначально в ящике было 1.75 рубля (1 рубль 75 копеек).