Страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.39 Решите уравнение:

а) $ \frac{x}{5} - \frac{x}{2} + \frac{x}{20} = 1; $

б) $ \frac{x}{2} - \frac{x}{12} = 3 - \frac{x}{3}; $

в) $ \frac{x}{5} = \frac{x}{2} - \frac{x}{3} - 4; $

г) $ \frac{x}{8} - \frac{x}{4} + \frac{x}{2} - x = 1; $

д) $ \frac{5x}{9} - \frac{2x}{3} - x = 4; $

е) $ \frac{3x}{4} - x = \frac{4x}{5} + x. $

а) Исходное уравнение: $ \frac{x}{5} - \frac{x}{2} + \frac{x}{20} = 1 $
Чтобы избавиться от дробей, приведем все слагаемые к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5, 2 и 20 это 20.
Умножим обе части уравнения на 20:
$ 20 \cdot \frac{x}{5} - 20 \cdot \frac{x}{2} + 20 \cdot \frac{x}{20} = 20 \cdot 1 $
$ 4x - 10x + x = 20 $
Теперь сложим все слагаемые с $x$ в левой части:
$ (4 - 10 + 1)x = 20 $
$ -5x = 20 $
Разделим обе части на -5, чтобы найти $x$:
$ x = \frac{20}{-5} $
$ x = -4 $
Ответ: -4

б) Исходное уравнение: $ \frac{x}{2} - \frac{x}{12} = 3 - \frac{x}{3} $
Сначала перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:
$ \frac{x}{2} - \frac{x}{12} + \frac{x}{3} = 3 $
Найдем наименьший общий знаменатель для 2, 12 и 3. Это число 12.
Умножим обе части уравнения на 12:
$ 12 \cdot \frac{x}{2} - 12 \cdot \frac{x}{12} + 12 \cdot \frac{x}{3} = 12 \cdot 3 $
$ 6x - x + 4x = 36 $
Приведем подобные слагаемые:
$ (6 - 1 + 4)x = 36 $
$ 9x = 36 $
Найдем $x$:
$ x = \frac{36}{9} $
$ x = 4 $
Ответ: 4

в) Исходное уравнение: $ \frac{x}{5} = \frac{x}{2} - \frac{x}{3} - 4 $
Перенесем все слагаемые с $x$ в одну часть, а числа — в другую:
$ \frac{x}{5} - \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = -4 $
Наименьший общий знаменатель для 5, 2 и 3 равен 30.
Умножим обе части уравнения на 30:
$ 30 \cdot \frac{x}{5} - 30 \cdot \frac{x}{2} + 30 \cdot \frac{x}{3} = 30 \cdot (-4) $
$ 6x - 15x + 10x = -120 $
Сложим слагаемые с $x$:
$ (6 - 15 + 10)x = -120 $
$ x = -120 $
Ответ: -120

г) Исходное уравнение: $ \frac{x}{8} - \frac{x}{4} + \frac{x}{2} - x = 1 $
Представим $x$ как $\frac{x}{1}$. Наименьший общий знаменатель для 8, 4, 2 и 1 это 8.
Умножим обе части уравнения на 8:
$ 8 \cdot \frac{x}{8} - 8 \cdot \frac{x}{4} + 8 \cdot \frac{x}{2} - 8 \cdot x = 8 \cdot 1 $
$ x - 2x + 4x - 8x = 8 $
Приведем подобные слагаемые:
$ (1 - 2 + 4 - 8)x = 8 $
$ -5x = 8 $
Найдем $x$:
$ x = -\frac{8}{5} $
Ответ: $-\frac{8}{5}$

д) Исходное уравнение: $ \frac{5x}{9} - \frac{2x}{3} - x = 4 $
Наименьший общий знаменатель для 9 и 3 это 9.
Умножим обе части уравнения на 9:
$ 9 \cdot \frac{5x}{9} - 9 \cdot \frac{2x}{3} - 9 \cdot x = 9 \cdot 4 $
$ 5x - 3 \cdot 2x - 9x = 36 $
$ 5x - 6x - 9x = 36 $
Сложим слагаемые с $x$:
$ (5 - 6 - 9)x = 36 $
$ -10x = 36 $
Найдем $x$:
$ x = \frac{36}{-10} = -\frac{18}{5} $
Ответ: $-\frac{18}{5}$

е) Исходное уравнение: $ \frac{3x}{4} - x = \frac{4x}{5} + x $
Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:
$ \frac{3x}{4} - x - \frac{4x}{5} - x = 0 $
$ \frac{3x}{4} - \frac{4x}{5} - 2x = 0 $
Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 это 20.
Умножим обе части уравнения на 20:
$ 20 \cdot \frac{3x}{4} - 20 \cdot \frac{4x}{5} - 20 \cdot 2x = 20 \cdot 0 $
$ 5 \cdot 3x - 4 \cdot 4x - 40x = 0 $
$ 15x - 16x - 40x = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ (15 - 16 - 40)x = 0 $
$ -41x = 0 $
Разделим обе части на -41:
$ x = 0 $
Ответ: 0

4.40 Уравнение $6x = 2(x + 12)$ проще решить, если разделить обе его части на 2:

$3x = x + 12,$

$2x = 12,$

$x = 6.$

Решите уравнение, воспользовавшись разобранным способом:

а) $3(x + 5) = 90;$

б) $2(x - 6) = -34;$

в) $-2(x + 12) = 6x;$

г) $6(x - 1) + 3(5 - x) = 9;$

д) $4(3x - 2) - 4(x - 2) = 2;$

е) $5(6 + x) - 5(2x + 7) = 0.$

а) $3(x + 5) = 90$

Данное уравнение можно упростить, разделив обе его части на 3, так как и левая часть (множитель 3), и правая часть (90) делятся на 3 без остатка.

$\frac{3(x + 5)}{3} = \frac{90}{3}$

$x + 5 = 30$

Теперь перенесем число 5 из левой части в правую с противоположным знаком:

$x = 30 - 5$

$x = 25$

Ответ: $x = 25$.

б) $2(x - 6) = -34$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{2(x - 6)}{2} = \frac{-34}{2}$

$x - 6 = -17$

Перенесем -6 в правую часть, изменив знак на противоположный:

$x = -17 + 6$

$x = -11$

Ответ: $x = -11$.

в) $-2(x + 12) = 6x$

Разделим обе части уравнения на общий делитель, например, на -2:

$\frac{-2(x + 12)}{-2} = \frac{6x}{-2}$

$x + 12 = -3x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены - в правой:

$x + 3x = -12$

$4x = -12$

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-12}{4}$

$x = -3$

Ответ: $x = -3$.

г) $6(x - 1) + 3(5 - x) = 9$

Заметим, что все члены уравнения (коэффициенты 6, 3 и свободный член 9) делятся на 3. Разделим все уравнение на 3:

$\frac{6(x - 1)}{3} + \frac{3(5 - x)}{3} = \frac{9}{3}$

$2(x - 1) + (5 - x) = 3$

Теперь раскроем скобки:

$2x - 2 + 5 - x = 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2x - x) + (-2 + 5) = 3$

$x + 3 = 3$

Перенесем 3 в правую часть:

$x = 3 - 3$

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

д) $4(3x - 2) - 4(x - 2) = 2$

Все члены уравнения делятся на 2. Разделим обе части на 2:

$\frac{4(3x - 2)}{2} - \frac{4(x - 2)}{2} = \frac{2}{2}$

$2(3x - 2) - 2(x - 2) = 1$

Раскроем скобки. Обратим внимание на знак минус перед вторым слагаемым:

$6x - 4 - (2x - 4) = 1$

$6x - 4 - 2x + 4 = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x - 2x) + (-4 + 4) = 1$

$4x = 1$

Разделим обе части на 4:

$x = \frac{1}{4}$

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

е) $5(6 + x) - 5(2x + 7) = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$\frac{5(6 + x)}{5} - \frac{5(2x + 7)}{5} = \frac{0}{5}$

$(6 + x) - (2x + 7) = 0$

Раскроем скобки:

$6 + x - 2x - 7 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x - 2x) + (6 - 7) = 0$

$-x - 1 = 0$

Перенесем -1 в правую часть:

$-x = 1$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы найти $x$:

$x = -1$

Ответ: $x = -1$.

4.41 Уравнение $\frac{1}{3}(x + 8) = 6$ можно решить, умножив на 3 обе его части:

$3 \cdot \frac{1}{3}(x + 8) = 6 \cdot 3$

$x + 8 = 18$

$x = 10.$

Решите уравнение, воспользовавшись разобранным способом:

а) $\frac{1}{5}(x + 4) = 3;$

б) $\frac{1}{4}(2y + 1) = 8;$

в) $-\frac{1}{7}(5u - 7) = 6;$

г) $\frac{2}{3}(10 - c) = -8;$

д) $2t = 1\frac{1}{3}(t + 5);$

е) $1\frac{1}{4}(x - 2) = -5(x + 1).$

а) $\frac{1}{5}(x + 4) = 3$
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 5:
$5 \cdot \frac{1}{5}(x + 4) = 3 \cdot 5$
$x + 4 = 15$
Теперь перенесем 4 в правую часть, изменив знак:
$x = 15 - 4$
$x = 11$
Ответ: 11

б) $\frac{1}{4}(2y + 1) = 8$
Умножим обе части уравнения на 4:
$4 \cdot \frac{1}{4}(2y + 1) = 8 \cdot 4$
$2y + 1 = 32$
Перенесем 1 в правую часть с противоположным знаком:
$2y = 32 - 1$
$2y = 31$
Разделим обе части на 2:
$y = \frac{31}{2}$
$y = 15.5$
Ответ: 15,5

в) $-\frac{1}{7}(5u - 7) = 6$
Умножим обе части уравнения на -7, чтобы избавиться от дроби и знака минус:
$-7 \cdot \left(-\frac{1}{7}(5u - 7)\right) = 6 \cdot (-7)$
$5u - 7 = -42$
Перенесем -7 в правую часть, изменив знак на плюс:
$5u = -42 + 7$
$5u = -35$
Разделим обе части на 5:
$u = \frac{-35}{5}$
$u = -7$
Ответ: -7

г) $\frac{2}{3}(10 - c) = -8$
Сначала умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$3 \cdot \frac{2}{3}(10 - c) = -8 \cdot 3$
$2(10 - c) = -24$
Теперь раскроем скобки:
$20 - 2c = -24$
Перенесем 20 в правую часть с противоположным знаком:
$-2c = -24 - 20$
$-2c = -44$
Разделим обе части на -2:
$c = \frac{-44}{-2}$
$c = 22$
Ответ: 22

д) $2t = 1\frac{1}{3}(t + 5)$
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Уравнение примет вид: $2t = \frac{4}{3}(t + 5)$
Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$3 \cdot 2t = 3 \cdot \frac{4}{3}(t + 5)$
$6t = 4(t + 5)$
Раскроем скобки в правой части:
$6t = 4t + 20$
Перенесем $4t$ в левую часть с противоположным знаком:
$6t - 4t = 20$
$2t = 20$
Разделим обе части на 2:
$t = 10$
Ответ: 10

е) $1\frac{1}{4}(x - 2) = -5(x + 1)$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
Уравнение примет вид: $\frac{5}{4}(x - 2) = -5(x + 1)$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
$4 \cdot \frac{5}{4}(x - 2) = 4 \cdot (-5(x + 1))$
$5(x - 2) = -20(x + 1)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$5x - 10 = -20x - 20$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$5x + 20x = -20 + 10$
$25x = -10$
Разделим обе части на 25:
$x = -\frac{10}{25}$
Сократим дробь на 5:
$x = -\frac{2}{5} = -0.4$
Ответ: -0,4

4.42 В древнеегипетском папирусе (1700 лет до н. э.) содержится решение уравнения, которое на языке современной математики можно записать так: $ ((x + \frac{2}{3}x) + \frac{1}{3}(x + \frac{2}{3}x)) \cdot \frac{1}{3} = 10. $

Решите это уравнение.

Для решения уравнения $((x + \frac{2}{3}x) + \frac{1}{3}(x + \frac{2}{3}x)) \cdot \frac{1}{3} = 10$ выполним следующие шаги.

1. Упростим уравнение, введя замену. Заметим, что выражение $x + \frac{2}{3}x$ повторяется. Обозначим его новой переменной, например $A$:

$A = x + \frac{2}{3}x$

Подставим $A$ в исходное уравнение:

$(A + \frac{1}{3}A) \cdot \frac{1}{3} = 10$

2. Решим полученное уравнение относительно $A$. Сначала сложим слагаемые в скобках:

$A + \frac{1}{3}A = \frac{3}{3}A + \frac{1}{3}A = \frac{4}{3}A$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{4}{3}A \cdot \frac{1}{3} = 10$

Выполним умножение в левой части:

$\frac{4}{9}A = 10$

Чтобы найти $A$, умножим обе части уравнения на $\frac{9}{4}$:

$A = 10 \cdot \frac{9}{4} = \frac{90}{4} = \frac{45}{2}$

3. Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Мы знаем, что $A = \frac{45}{2}$ и $A = x + \frac{2}{3}x$. Приравняем эти выражения:

$x + \frac{2}{3}x = \frac{45}{2}$

Упростим левую часть:

$\frac{3}{3}x + \frac{2}{3}x = \frac{5}{3}x$

Получаем уравнение:

$\frac{5}{3}x = \frac{45}{2}$

4. Найдем $x$, умножив обе части уравнения на $\frac{3}{5}$:

$x = \frac{45}{2} \cdot \frac{3}{5}$

Сократим множители 45 и 5:

$x = \frac{9 \cdot 5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2}$

Переведем результат в десятичную дробь:

$x = 13,5$

Ответ: 13,5.

4.43 Запишите вместо с такое число, чтобы корнем получившегося уравнения было целое число:

а) $ \frac{1}{8}x=c; $

б) $ 0,1x=c; $

в) $ cx=15; $

г) $ cx=\frac{1}{3}. $

а) В уравнении $ \frac{1}{8}x = c $ нужно найти такое число $c$, чтобы корень уравнения $x$ был целым числом. Для этого выразим $x$ из уравнения: $x = 8 \cdot c$ Чтобы значение $x$ было целым, произведение $8c$ должно быть целым числом. Самый простой способ этого достичь — выбрать для $c$ любое целое число. Например, выберем $c=2$. Подставим это значение в уравнение: $ \frac{1}{8}x = 2 $. Найдем корень: $x = 2 \cdot 8 = 16$. Число 16 является целым, следовательно, выбранное значение $c=2$ подходит.
Ответ: например, $c=2$.

б) В уравнении $0,1x = c$ необходимо, чтобы корень $x$ был целым числом. Представим $0,1$ в виде обыкновенной дроби: $0,1 = \frac{1}{10}$. Уравнение примет вид: $ \frac{1}{10}x = c $. Выразим из него $x$: $x = 10 \cdot c$ Чтобы $x$ был целым, произведение $10c$ должно быть целым. Мы можем выбрать в качестве $c$ любое целое число. Например, пусть $c=5$. Тогда уравнение будет: $0,1x = 5$. Его корень: $x = \frac{5}{0,1} = 50$. Число 50 — целое, значит, значение $c=5$ является подходящим.
Ответ: например, $c=5$.

в) Дано уравнение $cx = 15$. Выразим из него $x$, при условии, что $c \neq 0$: $x = \frac{15}{c}$ Чтобы $x$ был целым числом, необходимо, чтобы знаменатель $c$ был делителем числителя 15. Целыми делителями числа 15 являются числа: $ \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15 $. Можно выбрать любое из этих чисел. Например, возьмем $c=3$. Подставим в исходное уравнение: $3x = 15$. Найдем корень: $x = \frac{15}{3} = 5$. Корень $x=5$ является целым числом, поэтому значение $c=3$ подходит.
Ответ: например, $c=3$.

г) В уравнении $cx = \frac{1}{3}$ найдем такое $c$, чтобы $x$ был целым. Выразим $x$ (при $c \neq 0$): $x = \frac{1/3}{c} = \frac{1}{3c}$ По условию, $x$ должен быть целым числом. Обозначим его буквой $k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Заметим, что $x$ не может быть равен нулю, так как в этом случае $0 = \frac{1}{3}$, что неверно. Итак, $k \neq 0$. $k = \frac{1}{3c}$ Выразим $c$ из этого соотношения: $3ck = 1$, откуда $c = \frac{1}{3k}$. Теперь мы можем выбрать любое ненулевое целое число $k$ и вычислить соответствующее значение $c$. Например, пусть мы хотим, чтобы корнем было число $k=1$. Тогда $c = \frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$. Проверим: если $c=\frac{1}{3}$, уравнение имеет вид $\frac{1}{3}x = \frac{1}{3}$. Его корень $x=1$, что является целым числом.
Ответ: например, $c=\frac{1}{3}$.