Страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.15 Какие из чисел 1, 2, 0, −1, −2 являются корнями уравнения:

а) $x^3 + 6x^2 + 5x - 6 = 0$;

б) $x^3 - x^2 - 6x = 0$;

в) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$;

г) $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$?

Чтобы определить, какие из чисел $1, 2, 0, -1, -2$ являются корнями уравнений, нужно подставить каждое из этих чисел вместо $x$ в каждое уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

а) $x^3 + 6x^2 + 5x - 6 = 0$

Проверим каждое число:

• При $x = 1$: $1^3 + 6 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 - 6 = 1 + 6 + 5 - 6 = 6 \neq 0$. Число 1 не является корнем.
• При $x = 2$: $2^3 + 6 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 - 6 = 8 + 6 \cdot 4 + 10 - 6 = 8 + 24 + 10 - 6 = 36 \neq 0$. Число 2 не является корнем.
• При $x = 0$: $0^3 + 6 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 - 6 = 0 + 0 + 0 - 6 = -6 \neq 0$. Число 0 не является корнем.
• При $x = -1$: $(-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 6 = -1 + 6 \cdot 1 - 5 - 6 = -1 + 6 - 5 - 6 = -6 \neq 0$. Число -1 не является корнем.
• При $x = -2$: $(-2)^3 + 6 \cdot (-2)^2 + 5 \cdot (-2) - 6 = -8 + 6 \cdot 4 - 10 - 6 = -8 + 24 - 10 - 6 = 0$. Число -2 является корнем.

Ответ: -2

б) $x^3 - x^2 - 6x = 0$

Проверим каждое число:

• При $x = 1$: $1^3 - 1^2 - 6 \cdot 1 = 1 - 1 - 6 = -6 \neq 0$. Число 1 не является корнем.
• При $x = 2$: $2^3 - 2^2 - 6 \cdot 2 = 8 - 4 - 12 = -8 \neq 0$. Число 2 не является корнем.
• При $x = 0$: $0^3 - 0^2 - 6 \cdot 0 = 0 - 0 - 0 = 0$. Число 0 является корнем.
• При $x = -1$: $(-1)^3 - (-1)^2 - 6 \cdot (-1) = -1 - 1 + 6 = 4 \neq 0$. Число -1 не является корнем.
• При $x = -2$: $(-2)^3 - (-2)^2 - 6 \cdot (-2) = -8 - 4 + 12 = 0$. Число -2 является корнем.

Ответ: 0, -2

в) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$

Проверим каждое число:

• При $x = 1$: $1^3 + 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 + 6 = 1 + 6 + 11 + 6 = 24 \neq 0$. Число 1 не является корнем.
• При $x = 2$: $2^3 + 6 \cdot 2^2 + 11 \cdot 2 + 6 = 8 + 6 \cdot 4 + 22 + 6 = 8 + 24 + 22 + 6 = 60 \neq 0$. Число 2 не является корнем.
• При $x = 0$: $0^3 + 6 \cdot 0^2 + 11 \cdot 0 + 6 = 0 + 0 + 0 + 6 = 6 \neq 0$. Число 0 не является корнем.
• При $x = -1$: $(-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 11 \cdot (-1) + 6 = -1 + 6 \cdot 1 - 11 + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$. Число -1 является корнем.
• При $x = -2$: $(-2)^3 + 6 \cdot (-2)^2 + 11 \cdot (-2) + 6 = -8 + 6 \cdot 4 - 22 + 6 = -8 + 24 - 22 + 6 = 0$. Число -2 является корнем.

Ответ: -1, -2

г) $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$

Проверим каждое число:

• При $x = 1$: $1^3 + 4 \cdot 1^2 + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$. Число 1 является корнем.
• При $x = 2$: $2^3 + 4 \cdot 2^2 + 2 - 6 = 8 + 4 \cdot 4 + 2 - 6 = 8 + 16 + 2 - 6 = 20 \neq 0$. Число 2 не является корнем.
• При $x = 0$: $0^3 + 4 \cdot 0^2 + 0 - 6 = 0 + 0 + 0 - 6 = -6 \neq 0$. Число 0 не является корнем.
• При $x = -1$: $(-1)^3 + 4 \cdot (-1)^2 + (-1) - 6 = -1 + 4 \cdot 1 - 1 - 6 = -1 + 4 - 1 - 6 = -4 \neq 0$. Число -1 не является корнем.
• При $x = -2$: $(-2)^3 + 4 \cdot (-2)^2 + (-2) - 6 = -8 + 4 \cdot 4 - 2 - 6 = -8 + 16 - 2 - 6 = 0$. Число -2 является корнем.

Ответ: 1, -2

4.16 РАССУЖДАЕМ Решите уравнение:

а) $x^2 = 9$;

б) $x^2 = 0$;

в) $|x| = 5$;

г) $|x| = 0$.

а) Чтобы решить уравнение $x^2 = 9$, необходимо найти числа, квадрат которых равен 9. Для этого нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку как положительное, так и отрицательное число в квадрате дают положительный результат ($3^2=9$ и $(-3)^2=9$), у уравнения будет два корня.
$x = \pm\sqrt{9}$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Ответ: $x = -3; 3$.

б) В уравнении $x^2 = 0$ нужно найти число, которое при возведении в квадрат дает 0. Таким числом является только 0. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x = \sqrt{0}$
$x = 0$.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $x = 0$.

в) Уравнение $|x| = 5$ содержит знак модуля. Модуль числа (или его абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Мы ищем числа, которые находятся на расстоянии 5 единиц от нуля. Таких чисел два: 5 (которое находится на 5 единиц правее нуля) и -5 (которое находится на 5 единиц левее нуля).
Следовательно, решениями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Ответ: $x = -5; 5$.

г) В уравнении $|x| = 0$ мы ищем число, модуль которого равен нулю. Согласно определению модуля, это означает, что расстояние от числа до нуля равно 0. Единственное число, которое удовлетворяет этому условию, — это сам ноль.
Следовательно, $x = 0$.
Ответ: $x = 0$.

4.17 Докажите, что:

а) корнем уравнения $3x - 6 = 3(x - 2)$ является любое число;

б) уравнение $3y - 5 = 1 + 3y$ не имеет корней.

а) Для доказательства того, что корнем уравнения $3x - 6 = 3(x - 2)$ является любое число, необходимо упростить данное уравнение. Начнем с раскрытия скобок в правой части уравнения, применив распределительный закон умножения:

$3(x - 2) = 3 \cdot x - 3 \cdot 2 = 3x - 6$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$3x - 6 = 3x - 6$

Мы получили тождество, то есть равенство, верное при любом значении переменной $x$. Для наглядности можно перенести все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$3x - 3x = 6 - 6$

$0 = 0$

Поскольку мы пришли к верному числовому равенству, которое не зависит от $x$, это доказывает, что решением исходного уравнения может быть любое число.

Ответ: корнем уравнения является любое число, что и требовалось доказать.

б) Для доказательства того, что уравнение $3y - 5 = 1 + 3y$ не имеет корней, выполним его преобразование. Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части уравнения, а свободные члены (числа) — в правой. Для этого перенесем $3y$ из правой части в левую и $-5$ из левой в правую, изменив их знаки на противоположные:

$3y - 3y = 1 + 5$

Теперь приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$0 \cdot y = 6$

$0 = 6$

В результате преобразований мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что не существует такого значения $y$, при котором данное равенство было бы истинным.

Ответ: уравнение не имеет корней, что и требовалось доказать.

4.18 Объясните, почему уравнение не имеет корней:

a) $x^2 = -1;$

б) $|x| = -5;$

в) $x^6 + 1 = 0;$

г) $|x| + 10 = 0.$

а) Уравнение $x^2 = -1$.
Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) является неотрицательным числом. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$. Левая часть уравнения ($x^2$) всегда неотрицательна, в то время как правая часть равна $-1$, то есть является отрицательным числом. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, поэтому данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: уравнение не имеет корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

б) Уравнение $|x| = -5$.
Модуль (или абсолютная величина) числа $x$ по определению — это расстояние от точки $x$ на числовой прямой до начала координат. Расстояние не может быть отрицательной величиной. Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $|x| \ge 0$. Левая часть уравнения ($|x|$) всегда неотрицательна, а правая часть равна $-5$. Равенство невозможно.
Ответ: уравнение не имеет корней, так как модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной.

в) Уравнение $x^6 + 1 = 0$.
Преобразуем уравнение, перенеся 1 в правую часть: $x^6 = -1$.
Показатель степени у переменной $x$ — четное число (6). Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат. То есть, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^6 \ge 0$. Таким образом, левая часть уравнения $x^6 = -1$ всегда неотрицательна, а правая — отрицательна. Равенство невозможно.
Можно также рассуждать иначе: поскольку $x^6 \ge 0$, то сумма $x^6 + 1$ всегда будет не меньше, чем $0 + 1 = 1$. То есть, $x^6 + 1 \ge 1$. Левая часть уравнения никогда не может быть равна 0.
Ответ: уравнение не имеет корней, так как выражение $x^6$ всегда неотрицательно, а значит, $x^6 + 1$ всегда больше или равно 1.

г) Уравнение $|x| + 10 = 0$.
Преобразуем уравнение, перенеся 10 в правую часть: $|x| = -10$.
Как и в пункте б), модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, $|x| \ge 0$. Поэтому он не может быть равен отрицательному числу $-10$.
Альтернативное объяснение: в левой части уравнения стоит сумма двух слагаемых. Первое слагаемое, $|x|$, всегда неотрицательно ($|x| \ge 0$). Второе слагаемое — это $10$. Сумма неотрицательного числа и положительного числа 10 всегда будет больше или равна 10: $|x| + 10 \ge 10$. Следовательно, левая часть уравнения не может равняться нулю.
Ответ: уравнение не имеет корней, так как левая часть $|x| + 10$ всегда больше или равна 10.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (4.19–4.20)

4.19 Проверьте, что число 10 является корнем уравнения $|x| = x$, а число $-10$ его корнем не является. Укажите ещё несколько корней этого уравнения. Что представляет собой множество корней уравнения $|x| = x$?

Проверьте, что число 10 является корнем уравнения $|x| = x$, а число -10 его корнем не является.

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной и определить, получится ли верное числовое равенство.

1. Проверка для $x = 10$.
Подставляем значение в уравнение: $|10| = 10$.
По определению, модуль (абсолютная величина) положительного числа равен самому числу, поэтому $|10| = 10$. Мы получаем верное равенство: $10 = 10$.
Следовательно, число 10 является корнем уравнения.

2. Проверка для $x = -10$.
Подставляем значение в уравнение: $|-10| = -10$.
По определению, модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, поэтому $|-10| = 10$. Мы получаем неверное равенство: $10 = -10$.
Следовательно, число -10 не является корнем уравнения.

Ответ: Проверка подтверждает, что число 10 является корнем уравнения $|x|=x$, а число -10 его корнем не является.

Укажите ещё несколько корней этого уравнения.

Уравнение $|x| = x$ верно для любого неотрицательного числа. Это следует непосредственно из определения модуля: $|x| = x$ при $x \ge 0$. Таким образом, любое число, которое больше или равно нулю, будет являться корнем данного уравнения.

Примеры других корней: $x = 0$, так как $|0| = 0$ (верно).
$x = 1$, так как $|1| = 1$ (верно).
$x = 42.5$, так как $|42.5| = 42.5$ (верно).

Ответ: Другими корнями уравнения являются, например, числа 0, 1, 42.5.

Что представляет собой множество корней уравнения $|x| = x$?

Для нахождения множества всех корней решим уравнение $|x| = x$, используя определение модуля: $|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 0$:
Уравнение принимает вид $x = x$. Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $x$, удовлетворяющего условию $x \ge 0$. Значит, все неотрицательные числа являются корнями уравнения.

2. Если $x < 0$:
Уравнение принимает вид $-x = x$. Прибавим $x$ к обеим частям: $0 = 2x$, откуда следует, что $x = 0$. Однако это значение не удовлетворяет исходному условию $x < 0$. Следовательно, в этом случае у уравнения нет корней.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, мы заключаем, что решениями уравнения являются все числа $x$, для которых выполняется условие $x \ge 0$. Это множество всех неотрицательных действительных чисел.

Ответ: Множество корней уравнения $|x| = x$ — это множество всех неотрицательных чисел, которое можно записать в виде числового луча $[0; +\infty)$.

4.20 Укажите множество корней уравнения $|x| = -x$.

Для решения уравнения $|x| = -x$ необходимо рассмотреть два случая, которые вытекают из определения модуля числа.

1. Рассмотрим случай, когда $x \ge 0$.
По определению модуля, если $x$ — неотрицательное число, то $|x| = x$. Подставим это в исходное уравнение:
$x = -x$
$x + x = 0$
$2x = 0$
$x = 0$
Полученный корень $x=0$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, он является решением уравнения.

2. Рассмотрим случай, когда $x < 0$.
По определению модуля, если $x$ — отрицательное число, то $|x| = -x$. Подставим это в исходное уравнение:
$-x = -x$
Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $x$, удовлетворяющего условию $x < 0$. Следовательно, все отрицательные числа являются корнями данного уравнения.

Объединив результаты, полученные в обоих случаях, приходим к выводу, что множество корней уравнения — это все отрицательные числа и ноль. Данное множество можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty, 0]$