Номер 4.19, страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.2. Корни уравнения. Глава 4. Уравнения - номер 4.19, страница 94.

Условие.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (4.19–4.20)

4.19 Проверьте, что число 10 является корнем уравнения $|x| = x$, а число $-10$ его корнем не является. Укажите ещё несколько корней этого уравнения. Что представляет собой множество корней уравнения $|x| = x$?

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Проверьте, что число 10 является корнем уравнения $|x| = x$, а число -10 его корнем не является.

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной и определить, получится ли верное числовое равенство.

1. Проверка для $x = 10$.
Подставляем значение в уравнение: $|10| = 10$.
По определению, модуль (абсолютная величина) положительного числа равен самому числу, поэтому $|10| = 10$. Мы получаем верное равенство: $10 = 10$.
Следовательно, число 10 является корнем уравнения.

2. Проверка для $x = -10$.
Подставляем значение в уравнение: $|-10| = -10$.
По определению, модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, поэтому $|-10| = 10$. Мы получаем неверное равенство: $10 = -10$.
Следовательно, число -10 не является корнем уравнения.

Ответ: Проверка подтверждает, что число 10 является корнем уравнения $|x|=x$, а число -10 его корнем не является.

Укажите ещё несколько корней этого уравнения.

Уравнение $|x| = x$ верно для любого неотрицательного числа. Это следует непосредственно из определения модуля: $|x| = x$ при $x \ge 0$. Таким образом, любое число, которое больше или равно нулю, будет являться корнем данного уравнения.

Примеры других корней: $x = 0$, так как $|0| = 0$ (верно).
$x = 1$, так как $|1| = 1$ (верно).
$x = 42.5$, так как $|42.5| = 42.5$ (верно).

Ответ: Другими корнями уравнения являются, например, числа 0, 1, 42.5.

Что представляет собой множество корней уравнения $|x| = x$?

Для нахождения множества всех корней решим уравнение $|x| = x$, используя определение модуля: $|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \ge 0$:
Уравнение принимает вид $x = x$. Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $x$, удовлетворяющего условию $x \ge 0$. Значит, все неотрицательные числа являются корнями уравнения.

2. Если $x < 0$:
Уравнение принимает вид $-x = x$. Прибавим $x$ к обеим частям: $0 = 2x$, откуда следует, что $x = 0$. Однако это значение не удовлетворяет исходному условию $x < 0$. Следовательно, в этом случае у уравнения нет корней.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, мы заключаем, что решениями уравнения являются все числа $x$, для которых выполняется условие $x \ge 0$. Это множество всех неотрицательных действительных чисел.

Ответ: Множество корней уравнения $|x| = x$ — это множество всех неотрицательных чисел, которое можно записать в виде числового луча $[0; +\infty)$.