Номер 4.18, страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.18 Объясните, почему уравнение не имеет корней:

a) $x^2 = -1;$

б) $|x| = -5;$

в) $x^6 + 1 = 0;$

г) $|x| + 10 = 0.$

а) Уравнение $x^2 = -1$.
Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) является неотрицательным числом. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$. Левая часть уравнения ($x^2$) всегда неотрицательна, в то время как правая часть равна $-1$, то есть является отрицательным числом. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, поэтому данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: уравнение не имеет корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

б) Уравнение $|x| = -5$.
Модуль (или абсолютная величина) числа $x$ по определению — это расстояние от точки $x$ на числовой прямой до начала координат. Расстояние не может быть отрицательной величиной. Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $|x| \ge 0$. Левая часть уравнения ($|x|$) всегда неотрицательна, а правая часть равна $-5$. Равенство невозможно.
Ответ: уравнение не имеет корней, так как модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной.

в) Уравнение $x^6 + 1 = 0$.
Преобразуем уравнение, перенеся 1 в правую часть: $x^6 = -1$.
Показатель степени у переменной $x$ — четное число (6). Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат. То есть, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^6 \ge 0$. Таким образом, левая часть уравнения $x^6 = -1$ всегда неотрицательна, а правая — отрицательна. Равенство невозможно.
Можно также рассуждать иначе: поскольку $x^6 \ge 0$, то сумма $x^6 + 1$ всегда будет не меньше, чем $0 + 1 = 1$. То есть, $x^6 + 1 \ge 1$. Левая часть уравнения никогда не может быть равна 0.
Ответ: уравнение не имеет корней, так как выражение $x^6$ всегда неотрицательно, а значит, $x^6 + 1$ всегда больше или равно 1.

г) Уравнение $|x| + 10 = 0$.
Преобразуем уравнение, перенеся 10 в правую часть: $|x| = -10$.
Как и в пункте б), модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, $|x| \ge 0$. Поэтому он не может быть равен отрицательному числу $-10$.
Альтернативное объяснение: в левой части уравнения стоит сумма двух слагаемых. Первое слагаемое, $|x|$, всегда неотрицательно ($|x| \ge 0$). Второе слагаемое — это $10$. Сумма неотрицательного числа и положительного числа 10 всегда будет больше или равна 10: $|x| + 10 \ge 10$. Следовательно, левая часть уравнения не может равняться нулю.
Ответ: уравнение не имеет корней, так как левая часть $|x| + 10$ всегда больше или равна 10.