Номер 2, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 4.2. Корни уравнения. Глава 4. Уравнения - номер 2, страница 93.

Условие.

Прочитайте два предложения, разъясняющие смысл слов «решить уравнение». Объясните, почему они означают одно и то же.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Поскольку в самом задании два предложения не приведены, рассмотрим два стандартных определения из курса математики.

Предложение 1: Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Предложение 2: Решить уравнение — это значит найти множество всех его корней.

Объяснение, почему эти предложения означают одно и то же:

Эти два определения являются эквивалентными, так как они описывают один и тот же конечный результат, но используют немного разный язык. Второе определение является более формальным и универсальным с точки зрения математики, и оно полностью включает в себя смысл первого. Вот почему:

Ключевым понятием, связывающим эти два определения, является «множество».

1. Случай, когда уравнение имеет корни.
Если уравнение имеет одно или несколько решений (корней), то оба определения приводят к одинаковому результату. Например, для уравнения $x - 5 = 0$ корень равен 5.

• Согласно первому определению, мы «нашли все его корни», то есть число 5.
• Согласно второму определению, мы «нашли множество всех его корней», которое в данном случае состоит из одного элемента: $\{5\}$.

Результат по сути один и тот же: мы установили, какие именно числа являются решениями.

2. Случай, когда уравнение не имеет корней.
Это самый важный аспект для понимания их эквивалентности. Рассмотрим уравнение $x^2 = -1$ (в области действительных чисел).

• Согласно первому определению, мы должны «доказать, что корней нет». Мы анализируем уравнение и приходим к выводу, что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, решений нет.
• Согласно второму определению, мы должны «найти множество всех его корней». Поскольку ни одно число не является корнем этого уравнения, то множество его корней не содержит ни одного элемента. Такое множество в математике называется пустым множеством и обозначается символом $\emptyset$.

Таким образом, «доказать, что корней нет» (из первого определения) — это то же самое, что и установить, что «множество корней является пустым множеством ($\emptyset$)» (согласно второму определению).

Вывод:
Второе определение («найти множество всех его корней») является более общим и математически строгим. Оно элегантно объединяет оба возможных исхода, которые в первом определении перечислены отдельно. Понятие «множество решений» охватывает как ситуацию, когда решения есть (множество содержит элементы), так и ситуацию, когда решений нет (множество является пустым).

Ответ: Эти два предложения означают одно и то же, потому что второе определение («найти множество всех его корней») является более формальным и общим описанием того же процесса. Оно включает в себя оба случая, описанных в первом определении: если корни существуют, то множество решений будет состоять из этих корней; если корней нет, то множество решений будет пустым множеством ($\emptyset$), что эквивалентно доказательству отсутствия корней.