Номер 4.12, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.1. Алгебраический способ решения задач. Глава 4. Уравнения - номер 4.12, страница 92.

Условие.

4.12 (Старинная задача.) Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого? Составьте уравнение по условию задачи.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи обозначим за $x$ количество денег (в рублях) у первого человека, а за $y$ — количество денег у его друга.

Составьте уравнение по условию задачи.

Рассмотрим два условия из диалога и составим по ним математические выражения.

1. Первое условие: «Дай мне 100 рублей, и я буду вдвое богаче тебя».
Если друг отдаст 100 рублей, у первого человека станет $x + 100$ рублей, а у друга останется $y - 100$ рублей. По условию, сумма первого будет вдвое больше суммы второго. Это приводит к первому уравнению:
$x + 100 = 2(y - 100)$

2. Второе условие: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя».
Если первый человек отдаст 10 рублей, у него останется $x - 10$ рублей, а у друга станет $y + 10$ рублей. По условию, у друга денег станет в 6 раз больше. Это дает нам второе уравнение:
$y + 10 = 6(x - 10)$

Таким образом, для нахождения неизвестных $x$ и $y$ необходимо решить систему из этих двух уравнений.
Ответ: $$ \begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases} $$

Сколько денег было у каждого?

Для ответа на этот вопрос решим полученную систему уравнений. Для начала упростим каждое уравнение:
1) $x + 100 = 2y - 200 \implies x - 2y = -300$
2) $y + 10 = 6x - 60 \implies y - 6x = -70$

Из второго упрощенного уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 6x - 70$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое упрощенное уравнение:
$x - 2(6x - 70) = -300$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$x - 12x + 140 = -300$
$-11x = -300 - 140$
$-11x = -440$
$x = \frac{-440}{-11}$
$x = 40$

Мы нашли, что у первого человека было 40 рублей. Теперь найдем, сколько денег было у друга, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 6 \cdot 40 - 70 = 240 - 70 = 170$

Итак, у друга было 170 рублей.
Выполним проверку:
1) Если друг отдает 100 рублей: у первого становится $40 + 100 = 140$, у друга $170 - 100 = 70$. $140$ ровно в два раза больше, чем $70$. Условие выполнено.
2) Если первый отдает 10 рублей: у него остается $40 - 10 = 30$, у друга становится $170 + 10 = 180$. $180$ ровно в шесть раз больше, чем $30$. Условие выполнено.

Ответ: У первого человека было 40 рублей, а у его друга — 170 рублей.