Страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.10 Запишите условие задачи на языке уравнений:

а) К задуманному числу прибавили 11, затем сумму поделили пополам и получили число, которое на 2 больше задуманного. Какое число было задумано?

$ \frac{x+11}{2} = x+2 $

б) Из задуманного числа вычли 5, затем разность поделили на 5 и получили число, в 5 раз меньшее, чем получили бы, прибавив 5 к трети задуманного числа. Какое число было задумано?

$ \frac{x-5}{5} = \frac{1}{5} \left(\frac{x}{3} + 5\right) $

а) Пусть задуманное число — это $x$.
Согласно условию, к задуманному числу прибавили 11, получили $x + 11$.
Затем сумму поделили пополам: $\frac{x + 11}{2}$.
Результат оказался на 2 больше задуманного числа, то есть он равен $x + 2$.
Составим уравнение: $$ \frac{x + 11}{2} = x + 2 $$ Решим это уравнение:
Умножим обе части уравнения на 2: $$ x + 11 = 2(x + 2) $$ Раскроем скобки: $$ x + 11 = 2x + 4 $$ Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $$ 11 - 4 = 2x - x $$ $$ 7 = x $$ Таким образом, задуманное число равно 7.
Ответ: 7

б) Пусть задуманное число — это $y$.
Согласно условию, из задуманного числа вычли 5, а затем разность поделили на 5. Получили число: $\frac{y - 5}{5}$.
Другое число, с которым сравнивают результат, получилось бы, если бы к трети задуманного числа прибавили 5. Это число равно: $\frac{y}{3} + 5$.
В условии сказано, что первое полученное число ($\frac{y-5}{5}$) в 5 раз меньше второго ($\frac{y}{3} + 5$). Это означает, что если первое число умножить на 5, оно станет равно второму.
Составим уравнение: $$ 5 \cdot \left( \frac{y - 5}{5} \right) = \frac{y}{3} + 5 $$ Решим это уравнение:
Сократим 5 в левой части: $$ y - 5 = \frac{y}{3} + 5 $$ Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа — в другую: $$ y - \frac{y}{3} = 5 + 5 $$ Приведем к общему знаменателю в левой части: $$ \frac{3y - y}{3} = 10 $$ $$ \frac{2y}{3} = 10 $$ Умножим обе части на 3: $$ 2y = 30 $$ Разделим обе части на 2: $$ y = 15 $$ Следовательно, задуманное число равно 15.
Ответ: 15

4.11 Восстановите условие задачи «на задуманное число» по следующему уравнению (буквой обозначено задуманное число):

а) $8(x-1) = 6x$;

б) $(4y-7) : 3 - 1 = y$.

а) Чтобы восстановить условие задачи по уравнению $8(x - 1) = 6x$, нужно «прочитать» его, представив, что $x$ — это задуманное число. Математические операции в уравнении соответствуют действиям, которые производились с этим числом.

• $x - 1$: от задуманного числа отняли 1.
• $8(x - 1)$: полученную разность умножили на 8.
• $6x$: задуманное число, умноженное на 6.
• $8(x - 1) = 6x$: результат после первых двух действий оказался равен результату третьего действия.

Таким образом, условие задачи может быть следующим: «Задумали число. Если из него вычесть 1, а полученный результат умножить на 8, то получится то же самое, что и задуманное число, умноженное на 6. Какое число было задумано?»

Чтобы найти задуманное число, решим это уравнение:

$8(x - 1) = 6x$

Раскроем скобки:

$8x - 8 = 6x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$8x - 6x = 8$

$2x = 8$

$x = 8 / 2$

$x = 4$

Ответ: задуманное число равно 4.

б) Аналогично восстановим условие задачи для уравнения $(4y - 7) : 3 - 1 = y$, где $y$ — задуманное число.

• $4y$: задуманное число умножили на 4.
• $4y - 7$: из полученного произведения вычли 7.
• $(4y - 7) : 3$: результат разделили на 3.
• $(4y - 7) : 3 - 1$: из частного вычли 1.
• $... = y$: в итоге получилось исходное задуманное число.

Таким образом, условие задачи может быть следующим: «Задумали число. Это число умножили на 4, из результата вычли 7, полученную разность разделили на 3, и затем из частного вычли 1. В итоге получилось задуманное число. Какое число было задумано?»

Теперь найдем это число, решив уравнение:

$(4y - 7) : 3 - 1 = y$

Запишем деление в виде дроби:

$\frac{4y - 7}{3} - 1 = y$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$\frac{4y - 7}{3} = y + 1$

Умножим обе части уравнения на 3:

$4y - 7 = 3(y + 1)$

Раскроем скобки:

$4y - 7 = 3y + 3$

Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа — в другую:

$4y - 3y = 3 + 7$

$y = 10$

Ответ: задуманное число равно 10.

4.12 (Старинная задача.) Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого? Составьте уравнение по условию задачи.

Для решения задачи обозначим за $x$ количество денег (в рублях) у первого человека, а за $y$ — количество денег у его друга.

Составьте уравнение по условию задачи.

Рассмотрим два условия из диалога и составим по ним математические выражения.

1. Первое условие: «Дай мне 100 рублей, и я буду вдвое богаче тебя».
Если друг отдаст 100 рублей, у первого человека станет $x + 100$ рублей, а у друга останется $y - 100$ рублей. По условию, сумма первого будет вдвое больше суммы второго. Это приводит к первому уравнению:
$x + 100 = 2(y - 100)$

2. Второе условие: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя».
Если первый человек отдаст 10 рублей, у него останется $x - 10$ рублей, а у друга станет $y + 10$ рублей. По условию, у друга денег станет в 6 раз больше. Это дает нам второе уравнение:
$y + 10 = 6(x - 10)$

Таким образом, для нахождения неизвестных $x$ и $y$ необходимо решить систему из этих двух уравнений.
Ответ: $$ \begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases} $$

Сколько денег было у каждого?

Для ответа на этот вопрос решим полученную систему уравнений. Для начала упростим каждое уравнение:
1) $x + 100 = 2y - 200 \implies x - 2y = -300$
2) $y + 10 = 6x - 60 \implies y - 6x = -70$

Из второго упрощенного уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 6x - 70$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое упрощенное уравнение:
$x - 2(6x - 70) = -300$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$x - 12x + 140 = -300$
$-11x = -300 - 140$
$-11x = -440$
$x = \frac{-440}{-11}$
$x = 40$

Мы нашли, что у первого человека было 40 рублей. Теперь найдем, сколько денег было у друга, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 6 \cdot 40 - 70 = 240 - 70 = 170$

Итак, у друга было 170 рублей.
Выполним проверку:
1) Если друг отдает 100 рублей: у первого становится $40 + 100 = 140$, у друга $170 - 100 = 70$. $140$ ровно в два раза больше, чем $70$. Условие выполнено.
2) Если первый отдает 10 рублей: у него остается $40 - 10 = 30$, у друга становится $170 + 10 = 180$. $180$ ровно в шесть раз больше, чем $30$. Условие выполнено.

Ответ: У первого человека было 40 рублей, а у его друга — 170 рублей.