Страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5 Каждое выражение из верхней строки соотнесите с равными ему выражениями из нижней строки.

А) $a - b - c$

Б) $a - b + c$

1) $c - b + a$

2) $-c - b + a$

3) $-b + a - c$

4) $-b + a + c$

Для решения этой задачи необходимо сопоставить каждое выражение из верхнего ряда с алгебраически равными ему выражениями из нижнего ряда. Равенство выражений определяется тем, что они состоят из одних и тех же слагаемых с теми же знаками, возможно, расположенных в другом порядке (согласно переместительному закону сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется).

А) Исходное выражение: $a - b - c$.
Это выражение состоит из слагаемых: $a$ (положительное), $-b$ (отрицательное) и $-c$ (отрицательное).
Теперь сравним его с выражениями из нижнего ряда:

1. Выражение $c - b + a$. Слагаемые: $c$, $-b$, $a$. Оно равно $a - b + c$. Не подходит, так как знак у $c$ другой.
2. Выражение $-c - b + a$. Слагаемые: $-c$, $-b$, $a$. Состав слагаемых и их знаки полностью совпадают с исходным выражением. Переставив слагаемые, получим $a - b - c$. Подходит.
3. Выражение $-b + a - c$. Слагаемые: $-b$, $a$, $-c$. Состав слагаемых и их знаки также полностью совпадают с исходным выражением. Переставив слагаемые, получим $a - b - c$. Подходит.
4. Выражение $-b + a + c$. Слагаемые: $-b$, $a$, $c$. Оно равно $a - b + c$. Не подходит, так как знак у $c$ другой.

Ответ: 2, 3

Б) Исходное выражение: $a - b + c$.
Это выражение состоит из слагаемых: $a$ (положительное), $-b$ (отрицательное) и $c$ (положительное).
Теперь сравним его с выражениями из нижнего ряда:

1. Выражение $c - b + a$. Слагаемые: $c$, $-b$, $a$. Состав слагаемых и их знаки полностью совпадают с исходным выражением. Переставив слагаемые, получим $a - b + c$. Подходит.
2. Выражение $-c - b + a$. Слагаемые: $-c$, $-b$, $a$. Оно равно $a - b - c$. Не подходит, так как знак у $c$ другой.
3. Выражение $-b + a - c$. Слагаемые: $-b$, $a$, $-c$. Оно равно $a - b - c$. Не подходит, так как знак у $c$ другой.
4. Выражение $-b + a + c$. Слагаемые: $-b$, $a$, $c$. Состав слагаемых и их знаки полностью совпадают с исходным выражением. Переставив слагаемые, получим $a - b + c$. Подходит.

Ответ: 1, 4

6 Какое из следующих равенств неверно?

1) $(-a)(-b)(-c) = -abc$

2) $(-a)(-b)c = abc$

3) $a(-b)(-c) = abc$

4) $(-a)b(-c) = -abc$

Чтобы определить, какое из равенств неверно, необходимо проверить каждое из них, упростив левую часть выражения и сравнив ее с правой.

Основное правило, которое мы будем использовать: произведение четного числа отрицательных множителей положительно, а произведение нечетного числа отрицательных множителей отрицательно.

1) $(-a)(-b)(-c) = -abc$

В левой части равенства находятся три множителя со знаком "минус": $(-a)$, $(-b)$ и $(-c)$. Так как число множителей со знаком "минус" нечетное (равно 3), их произведение будет отрицательным.

Раскроем скобки последовательно:

$(-a)(-b)(-c) = (a \cdot b) \cdot (-c) = ab \cdot (-c) = -abc$

Или, вынося $-1$ из каждого множителя:

$(-1 \cdot a) \cdot (-1 \cdot b) \cdot (-1 \cdot c) = (-1)^3 \cdot abc = -1 \cdot abc = -abc$

Полученное выражение $-abc$ совпадает с правой частью равенства. Следовательно, это равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

2) $(-a)(-b)c = abc$

В левой части равенства находятся два множителя со знаком "минус": $(-a)$ и $(-b)$. Так как число множителей со знаком "минус" четное (равно 2), их произведение будет положительным.

Раскроем скобки:

$(-a)(-b)c = (a \cdot b) \cdot c = abc$

Или, вынося $-1$ из множителей:

$(-1 \cdot a) \cdot (-1 \cdot b) \cdot c = (-1)^2 \cdot abc = 1 \cdot abc = abc$

Полученное выражение $abc$ совпадает с правой частью равенства. Следовательно, это равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

3) $a(-b)(-c) = abc$

В левой части находятся два множителя со знаком "минус": $(-b)$ и $(-c)$. Их число четное (равно 2), поэтому результат произведения будет положительным.

Раскроем скобки:

$a(-b)(-c) = a \cdot (b \cdot c) = abc$

Или, вынося $-1$ из множителей:

$a \cdot (-1 \cdot b) \cdot (-1 \cdot c) = (-1)^2 \cdot abc = 1 \cdot abc = abc$

Полученное выражение $abc$ совпадает с правой частью равенства. Следовательно, это равенство верно.

Ответ: Равенство верно.

4) $(-a)b(-c) = -abc$

В левой части находятся два множителя со знаком "минус": $(-a)$ и $(-c)$. Так как их число четное (равно 2), результат произведения должен быть положительным.

Раскроем скобки:

$(-a)b(-c) = (a \cdot b) \cdot (-c) = -abc$ - это неверно. Правильно так: $(-a) \cdot (-c) \cdot b = (a \cdot c) \cdot b = abc$.

Проверим, вынося $-1$ из множителей:

$(-1 \cdot a) \cdot b \cdot (-1 \cdot c) = (-1)^2 \cdot abc = 1 \cdot abc = abc$

Левая часть равенства равна $abc$. Правая часть равенства равна $-abc$. Таким образом, равенство $abc = -abc$ в общем случае (при $abc \neq 0$) неверно.

Ответ: Равенство неверно.

Итоговый вывод: Единственное неверное равенство — это равенство под номером 4.

7 Упростите выражение $-3xy \cdot (-2xz)$.

Для упрощения выражения $-3xy \cdot (-2xz)$ необходимо выполнить умножение двух одночленов (мономов). Умножение выполняется пошагово: сначала перемножаются числовые коэффициенты, а затем — переменные.

1. Умножение числовых коэффициентов.
   Коэффициенты данных одночленов — это $-3$ и $-2$. Их произведение равно:
   $(-3) \cdot (-2) = 6$
   (При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число).
2. Умножение переменных.
   Теперь перемножим переменные части: $xy$ и $xz$.
   $xy \cdot xz = x \cdot y \cdot x \cdot z$
   Сгруппируем одинаковые переменные и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
   $(x \cdot x) \cdot y \cdot z = x^{1+1} \cdot y \cdot z = x^2yz$
3. Объединение результатов.
   Соединим полученный числовой коэффициент (6) и результат умножения переменных ($x^2yz$):
   $6x^2yz$

Таким образом, после упрощения исходное выражение принимает вид $6x^2yz$.

Ответ: $6x^2yz$

8 Туристы проехали на автобусе $n$ км, на поезде в 3 раза больше и прошли пешком $\frac{1}{6}$ того расстояния, которое они проехали на поезде. Сколько километров туристы прошли пешком?

Для того чтобы найти, сколько километров туристы прошли пешком, необходимо выполнить действия по порядку.

1. Сначала определим расстояние, которое туристы проехали на поезде. Согласно условию, они проехали на автобусе $n$ км, а на поезде — в 3 раза больше. Следовательно, расстояние, пройденное на поезде, составляет:
$3 \times n = 3n$ км.

2. Далее, зная расстояние, пройденное на поезде, мы можем найти, сколько туристы прошли пешком. В условии сказано, что это расстояние равно $\frac{1}{6}$ от пути, который они проехали на поезде. Для этого умножим расстояние на поезде на $\frac{1}{6}$:
$3n \times \frac{1}{6} = \frac{3n}{6}$ км.

3. Упростим полученное выражение, сократив дробь $\frac{3n}{6}$ (разделив и числитель, и знаменатель на 3):
$\frac{3n}{6} = \frac{n}{2}$ км.

Ответ: туристы прошли пешком $\frac{n}{2}$ км.

9 Упростите выражение $(m + m + m)(n + n + n)$.

1) $6mn$

2) $9mn$

3) $m^3 n^3$

4) $3(m + n)$

Чтобы упростить выражение $(m + m + m)(n + n + n)$, необходимо сначала выполнить действия в каждой из скобок, а затем перемножить полученные результаты.

1. Упростим выражение в первой скобке. Сумма трех одинаковых слагаемых $m$ равна их произведению на 3:

$m + m + m = 3m$

2. Аналогично упростим выражение во второй скобке для переменной $n$:

$n + n + n = 3n$

3. Теперь исходное выражение можно записать как произведение результатов, полученных в пунктах 1 и 2:

$(3m) \cdot (3n)$

4. Для нахождения произведения одночленов перемножим их числовые коэффициенты и буквенные части:

$(3 \cdot 3) \cdot (m \cdot n) = 9mn$

Таким образом, после упрощения исходное выражение равно $9mn$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $9mn$

10 Пусть $x$ – отрицательное число. Какие из чисел:

1) $x + x + x$

2) $x(x + x + x)$

3) $x^3 + x$

4) $x^3$

являются отрицательными?

По условию задачи, $x$ — отрицательное число, то есть $x < 0$. Проанализируем знак каждого из предложенных выражений.

1) $x + x + x$
Упростим данное выражение: $x + x + x = 3x$.
Так как $x < 0$, произведение положительного числа 3 на отрицательное число $x$ будет отрицательным.
Следовательно, $3x < 0$.
Ответ: отрицательное.

2) $x(x + x + x)$
Упростим выражение в скобках: $x + x + x = 3x$.
Тогда исходное выражение равно $x \cdot (3x) = 3x^2$.
Квадрат отрицательного числа ($x^2$) всегда положителен ($x^2 > 0$).
Произведение положительного числа 3 на положительное число $x^2$ также будет положительным.
Следовательно, $3x^2 > 0$.
Ответ: положительное.

3) xxx + x
Выражение xxx означает произведение $x \cdot x \cdot x$, что равно $x^3$. Таким образом, мы анализируем выражение $x^3 + x$.
Отрицательное число, возведенное в нечетную степень (3), остается отрицательным, то есть $x^3 < 0$.
Выражение является суммой двух отрицательных чисел ($x^3$ и $x$), результат которой всегда отрицателен.
Следовательно, $x^3 + x < 0$.
Ответ: отрицательное.

4) xxx
Данное выражение равно $x \cdot x \cdot x = x^3$.
Отрицательное число в нечетной степени (3) является отрицательным числом.
Следовательно, $x^3 < 0$.
Ответ: отрицательное.

Таким образом, отрицательными являются выражения из пунктов 1, 3 и 4.

11 Укажите выражение, равное выражению $(a - b) - (b - c)$.

1) $a + c$

2) $a - c$

3) $a - 2b + c$

4) $a - 2b - c$

Чтобы найти выражение, равное данному, необходимо упростить его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(a - b) - (b - c)$.

1. Раскрытие скобок.

Первые скобки $(a-b)$ можно просто опустить, так как перед ними нет знака минус:

$a - b - (b - c)$

Перед вторыми скобками $(b - c)$ стоит знак «минус». При раскрытии скобок, перед которыми стоит минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$-(b - c) = -b + c$

Таким образом, выражение после раскрытия всех скобок будет выглядеть так:

$a - b - b + c$

2. Приведение подобных слагаемых.

Теперь необходимо найти и сложить подобные слагаемые. В данном выражении это $-b$ и $-b$.

$a + (-b - b) + c$

Складываем их:

$-b - b = -2b$

В результате получаем итоговое упрощенное выражение:

$a - 2b + c$

3. Сравнение с вариантами ответа.

Сравним полученное выражение $a - 2b + c$ с предложенными вариантами:

1. $a + c$
2. $a - c$
3. $a - 2b + c$
4. $a - 2b - c$

Наш результат совпадает с вариантом под номером 3.

Ответ: 3) $a - 2b + c$

12 Какое из выражений можно использовать для вычисления площади фигуры, изображённой на рисунке?

1) $ab - cd$

2) $ab - 2cd$

3) $ab - 3cd$

4) $ab - 2c \cdot 2d$

Чтобы найти площадь фигуры, необходимо определить её геометрию. Исходя из предложенных вариантов ответа, можно сделать вывод, что площадь искомой фигуры вычисляется как разность площадей. Это стандартный подход для фигур с вырезами.

Во всех вариантах присутствует слагаемое $ab$. Логично предположить, что это площадь большого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Его площадь $S_{\text{большого}} = a \cdot b$.

Вычитаемое во всех вариантах содержит произведение $cd$. Это, скорее всего, площадь маленького прямоугольника со сторонами $c$ и $d$, то есть $S_{\text{маленького}} = c \cdot d$.

Рассмотрим, что означает каждый вариант:

1) $ab - cd$: Из площади большого прямоугольника вычитается площадь одного маленького прямоугольника.

2) $ab - 2cd$: Из площади большого прямоугольника вычитается удвоенная площадь маленького прямоугольника. Это означает, что было вырезано два одинаковых маленьких прямоугольника.

3) $ab - 3cd$: Из площади большого прямоугольника вычитается утроенная площадь маленького прямоугольника, то есть вырезано три таких прямоугольника.

4) $ab - 2c \cdot 2d$: Преобразуем выражение: $ab - 4cd$. Из площади большого прямоугольника вычитается учетверенная площадь маленького прямоугольника, то есть вырезано четыре таких прямоугольника.

Хотя рисунок не предоставлен, задачи такого типа чаще всего предполагают вырезание двух одинаковых частей из большей фигуры. Следовательно, наиболее вероятным является сценарий, где из большого прямоугольника (со сторонами $a$ и $b$) вырезаны два маленьких прямоугольника (со сторонами $c$ и $d$).

Площадь итоговой фигуры в этом случае будет равна разности площади большого прямоугольника и суммарной площади двух вырезанных прямоугольников:$S_{\text{фигуры}} = S_{\text{большого}} - 2 \cdot S_{\text{маленького}} = ab - 2cd$.

Это выражение совпадает с вариантом ответа под номером 2.

Ответ: 2) $ab - 2cd$

13 Приведите подобные слагаемые:

$xy + 3yz - 2xy - yz.$

Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $xy + 3yz - 2xy - yz$, необходимо найти члены с одинаковой буквенной частью, сгруппировать их и выполнить сложение или вычитание их коэффициентов.

1. Определим группы подобных слагаемых в выражении:

• Первая группа подобных слагаемых содержит буквенную часть $xy$. Это члены $xy$ и $-2xy$.
• Вторая группа подобных слагаемых содержит буквенную часть $yz$. Это члены $3yz$ и $-yz$.

2. Перегруппируем выражение, чтобы подобные слагаемые стояли рядом:

$(xy - 2xy) + (3yz - yz)$

3. Теперь выполним действия в каждой группе. Для этого мы работаем с коэффициентами (числами перед буквенной частью). Напомним, что если перед буквенной частью нет числа, коэффициент равен 1 (для $xy$) или -1 (для $-yz$).

Для первой группы: $xy - 2xy = (1 - 2)xy = -1 \cdot xy = -xy$.

Для второй группы: $3yz - yz = (3 - 1)yz = 2 \cdot yz = 2yz$.

4. Сложим полученные результаты, чтобы получить итоговое упрощенное выражение:

$-xy + 2yz$

По традиции, в математических выражениях принято начинать запись с положительного члена, поэтому результат можно представить в виде $2yz - xy$.

Ответ: $2yz - xy$.

14 Упростите выражение $2(2a - 1) - 3(a + 1) + 1$.

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить несколько шагов: раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $2(2a - 1) - 3(a + 1) + 1$.

1. Раскроем скобки. Для этого умножим число перед скобкой на каждый член внутри скобки, соблюдая знаки.

Первая скобка: $2(2a - 1) = 2 \cdot 2a - 2 \cdot 1 = 4a - 2$.

Вторая скобка (обратите внимание на знак "минус" перед тройкой): $-3(a + 1) = -3 \cdot a - 3 \cdot 1 = -3a - 3$.

2. Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$ (4a - 2) + (-3a - 3) + 1 = 4a - 2 - 3a - 3 + 1$.

3. Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: отдельно слагаемые с переменной $a$ и отдельно числовые слагаемые (константы).

$(4a - 3a) + (-2 - 3 + 1)$.

4. Выполним вычисления в каждой группе:

$4a - 3a = a$.

$-2 - 3 + 1 = -5 + 1 = -4$.

5. Запишем итоговый результат.

$a - 4$.

Ответ: $a - 4$.

15 Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в выражении $a - (2b - (2a - 2(b + a)))$.

1) $a - 4b$

2) $a$

3) $-3a - 4b$

4) $a + 4b$

Для решения задачи необходимо последовательно раскрыть скобки в выражении $a - (2b - (2a - 2(b + a)))$, двигаясь от внутренних скобок к внешним, и на каждом шаге приводить подобные слагаемые.

1. Раскрываем самые внутренние скобки $2(b + a)$.

Используем распределительный закон умножения: $2(b + a) = 2b + 2a$.

Подставляем это выражение обратно:

$a - (2b - (2a - (2b + 2a)))$

2. Раскрываем скобки $(2a - (2b + 2a))$.

Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$2a - (2b + 2a) = 2a - 2b - 2a$

Приводим подобные слагаемые: $(2a - 2a) - 2b = 0 - 2b = -2b$.

Выражение принимает вид:

$a - (2b - (-2b))$

3. Раскрываем скобки $(2b - (-2b))$.

Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению:

$2b - (-2b) = 2b + 2b = 4b$

Теперь выражение выглядит так:

$a - (4b)$

4. Раскрываем последние скобки.

$a - (4b) = a - 4b$

Итоговое упрощенное выражение – $a - 4b$. Это соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $a - 4b$

16 Принтер $A$ печатает со скоростью $n$ страниц в минуту. Скорость принтера $B$ в 2 раза больше скорости принтера $A$, а скорость принтера $C$ в 1,5 раза больше скорости принтера $B$. На каждом из них надо распечатать 50 страниц научного отчёта. Принтеры включили одновременно. Через 3 мин после включения работа была ещё не закончена. Сколько всего страниц отчёта осталось распечатать к этому

Для решения задачи необходимо последовательно определить скорость работы каждого принтера, общий объем работы, а затем вычислить, какая часть работы осталась невыполненной через 3 минуты.

1. Определение скоростей принтеров

Обозначим скорости принтеров A, B и C как $v_A$, $v_B$ и $v_C$ соответственно.

• Скорость принтера А по условию составляет $v_A = n$ страниц в минуту.

• Скорость принтера B в 2 раза больше скорости принтера А, значит:
  $v_B = 2 \times v_A = 2n$ страниц в минуту.

• Скорость принтера C в 1,5 раза больше скорости принтера B, значит:
  $v_C = 1.5 \times v_B = 1.5 \times (2n) = 3n$ страниц в минуту.

2. Определение общего объема работы и общей скорости печати

На каждом из трех принтеров нужно распечатать по 50 страниц. Следовательно, общий объем работы, который нужно выполнить, составляет:
$W_{общий} = 3 \times 50 = 150$ страниц.

Поскольку все три принтера были включены одновременно, они работают параллельно. Их общая скорость печати ($V_{общая}$) равна сумме скоростей каждого принтера:
$V_{общая} = v_A + v_B + v_C = n + 2n + 3n = 6n$ страниц в минуту.

3. Расчет выполненной и оставшейся работы

За 3 минуты работы все три принтера вместе напечатают:
$W_{выполнено} = V_{общая} \times \text{время} = 6n \times 3 = 18n$ страниц.

Чтобы найти, сколько всего страниц отчёта осталось распечатать, нужно из общего объема работы вычесть объем уже выполненной работы:
$W_{осталось} = W_{общий} - W_{выполнено} = 150 - 18n$ страниц.

Условие, что работа через 3 минуты ещё не была закончена, означает, что количество напечатанных страниц меньше общего объема работы ($18n < 150$), что подтверждает корректность постановки задачи.

Ответ: к этому моменту осталось распечатать $150 - 18n$ страниц отчёта.