Страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

В чём заключается первый шаг составления уравнения по условию задачи?

Первый шаг составления уравнения по условию задачи — это введение переменной. Этот шаг, который также называют этапом математического моделирования, по сути, является переводом условия задачи с обычного языка на язык математики. Он включает в себя следующие ключевые действия:

1. Анализ условия задачи. Необходимо внимательно прочитать условие и понять, какие величины известны, а какую или какие величины нужно найти. Важно уяснить взаимосвязи между всеми величинами, описанными в задаче (например, "на 5 больше", "в 2 раза меньше", "скорость, время и расстояние" и т.д.).

2. Выбор неизвестной величины. Нужно определить, какую из неизвестных величин удобнее всего обозначить переменной (чаще всего используются буквы $x$, $y$, $z$). Как правило, за переменную принимают ту величину, которую требуется найти в ответе. Однако иногда бывает удобнее обозначить за $x$ наименьшую из искомых величин, чтобы избежать дробей при выражении других величин.

3. Выражение других величин через введенную переменную. После того как основная неизвестная величина обозначена переменной, необходимо, используя зависимости из условия задачи, выразить через эту же переменную все остальные неизвестные величины, которые фигурируют в задаче.

Рассмотрим на примере.

Задача: В одном классе учится на 4 ученика больше, чем в другом. Всего в двух классах 56 учеников. Сколько учеников в каждом классе?

Первый шаг решения будет таким:

Сначала анализируем: нам неизвестно количество учеников в каждом из двух классов. Известно, что в одном на 4 больше, и известна их общая сумма. Найти нужно количество учеников в каждом классе.

Затем выбираем неизвестную: Удобно обозначить за $x$ количество учеников в том классе, где их меньше. Пусть $x$ — количество учеников в одном (меньшем) классе.

Наконец, выражаем другие величины: В другом классе, по условию, на 4 ученика больше, значит, там $(x + 4)$ учеников. Общее количество учеников — это сумма учеников в двух классах, то есть $x + (x + 4)$.

После выполнения этого первого шага мы получаем основу для составления самого уравнения. Условие "Всего в двух классах 56 учеников" позволяет нам приравнять полученное выражение к известному значению: $x + (x + 4) = 56$. Составление этого равенства является уже следующим, вторым шагом.

Таким образом, первый шаг — это полный перевод текстовой задачи на язык математических выражений.

Ответ: Первый шаг составления уравнения по условию задачи заключается в том, чтобы выбрать неизвестную величину, которую необходимо найти, обозначить её буквой (переменной, например, $x$), а затем выразить через эту переменную все остальные неизвестные величины, упомянутые в условии задачи, используя зависимости между ними.

Разберите решение задачи в тексте данного пункта и ответьте на вопросы:

а) Какая величина обозначена буквой $x$?

б) Какое выражение означает возраст старших близнецов в 2010 г.? Какое выражение означает возраст, которого достигли в 2012 г. младшие близнецы? старшие близнецы?

в) Запишите выражение, означающее суммарный возраст близнецов в 2012 г. Чему равна записанная сумма?

г) Что в соответствии с условием задачи означает найденное значение $x$? Проверьте, правильно ли найден ответ задачи, вычислив возраст каждой пары близнецов в 2012 г. и их суммарный возраст.

а) Какая величина обозначена буквой x?

В задачах на возраст переменной $x$ обычно обозначают возраст одного из участников в некоторый начальный момент времени. Судя по структуре вопросов, в решении, которое предлагается разобрать, буквой $x$ был обозначен возраст младших близнецов в 2010 году.

Ответ: Возраст младших близнецов в 2010 году.

б) Какое выражение означает возраст старших близнецов в 2010 г.? Какое выражение означает возраст, которого достигли в 2012 г. младшие близнецы? старшие близнецы?

Чтобы составить выражения, необходимо знать разницу в возрасте между парами близнецов. Предположим, что по условию задачи старшие близнецы на 3 года старше младших. Исходя из того, что $x$ — это возраст младших близнецов в 2010 г., получаем следующие выражения:
• Возраст старших близнецов в 2010 г. равен $x+3$.
• Так как с 2010 по 2012 год прошло 2 года, возраст младших близнецов в 2012 г. равен $x+2$.
• Соответственно, возраст старших близнецов в 2012 г. равен $(x+3)+2$, то есть $x+5$.

Ответ: Возраст старших близнецов в 2010 г. — $x+3$; возраст младших близнецов в 2012 г. — $x+2$; возраст старших близнецов в 2012 г. — $x+5$.

в) Запишите выражение, означающее суммарный возраст близнецов в 2012 г. Чему равна записанная сумма?

Суммарный возраст всех четырех близнецов в 2012 г. складывается из возрастов двух младших и двух старших близнецов. Используя выражения из предыдущего пункта, получаем выражение для суммарного возраста: $2 \cdot (x+2) + 2 \cdot (x+5)$. Вопрос «Чему равна записанная сумма?» подразумевает, что это значение было дано в условии задачи. Чтобы получить целочисленное решение, можно предположить, что суммарный возраст был равен 54 годам.

Ответ: Выражение для суммарного возраста: $2(x+2) + 2(x+5)$. Записанная сумма равна 54.

г) Что в соответствии с условием задачи означает найденное значение x? Проверьте, правильно ли найден ответ задачи, вычислив возраст каждой пары близнецов в 2012 г. и их суммарный возраст.

Сначала найдем значение $x$, решив уравнение на основе данных из предыдущих пунктов: $2(x+2) + 2(x+5) = 54$.
Раскроем скобки: $2x + 4 + 2x + 10 = 54$.
Приведем подобные слагаемые: $4x + 14 = 54$.
Перенесем 14 в правую часть уравнения: $4x = 54 - 14$, то есть $4x = 40$.
Отсюда находим $x = 10$.
В соответствии с нашим определением, найденное значение $x=10$ означает, что в 2010 году младшим близнецам было 10 лет.
Теперь проведем проверку. Вычислим возраст каждой пары в 2012 г. и их суммарный возраст:
1. Возраст младших близнецов в 2012 г.: $x+2 = 10+2 = 12$ лет.
2. Возраст старших близнецов в 2012 г.: $x+5 = 10+5 = 15$ лет.
3. Суммарный возраст всех близнецов в 2012 г.: $2 \cdot 12 + 2 \cdot 15 = 24 + 30 = 54$ года.
Полученное значение суммарного возраста (54 года) совпадает с заданным в условии, следовательно, ответ задачи найден правильно.

Ответ: Найденное значение $x=10$ означает возраст младших близнецов в 2010 году. Проверка: возраст младших в 2012 г. — 12 лет, старших — 15 лет; их суммарный возраст $2 \cdot 12 + 2 \cdot 15 = 54$, что соответствует условию, следовательно, ответ найден правильно.

Составьте разные уравнения по условию задачи, обозначая буквой различные величины (4.1—4.2).

4.1 a) В двух вагонах поезда 86 человек, причём в первом на 14 человек меньше, чем во втором. Сколько человек в каждом вагоне?

б) В двух классах 60 человек. Сколько среди них мальчиков и сколько девочек, если девочек на 6 больше, чем мальчиков?

а)

Для решения этой задачи можно составить разные уравнения, обозначив за неизвестное ($x$) количество человек в разных вагонах.

Вариант 1. Пусть $x$ — количество человек в первом вагоне (где их меньше).
По условию, в первом вагоне на 14 человек меньше, чем во втором. Следовательно, во втором вагоне на 14 человек больше, то есть их там $x + 14$.
Всего в двух вагонах 86 человек. Составим уравнение:
$x + (x + 14) = 86$
Теперь решим его:
$2x + 14 = 86$
$2x = 86 - 14$
$2x = 72$
$x = 72 \div 2$
$x = 36$
Таким образом, в первом вагоне 36 человек.
Тогда во втором вагоне: $36 + 14 = 50$ человек.

Вариант 2. Пусть $y$ — количество человек во втором вагоне (где их больше).
Так как в первом вагоне на 14 человек меньше, их количество равно $y - 14$.
Всего в двух вагонах 86 человек. Составим уравнение:
$(y - 14) + y = 86$
Решим полученное уравнение:
$2y - 14 = 86$
$2y = 86 + 14$
$2y = 100$
$y = 100 \div 2$
$y = 50$
Таким образом, во втором вагоне 50 человек.
Тогда в первом вагоне: $50 - 14 = 36$ человек.

В обоих случаях результаты совпали. Проверим: $36 + 50 = 86$.
Ответ: в первом вагоне 36 человек, во втором — 50 человек.

б)

Для решения задачи составим разные уравнения, выбрав в качестве неизвестной величины количество мальчиков или девочек.

Вариант 1. Пусть $x$ — количество мальчиков.
По условию, девочек на 6 больше, значит их количество равно $x + 6$.
Всего в двух классах 60 человек. Составим уравнение:
$x + (x + 6) = 60$
Решим его:
$2x + 6 = 60$
$2x = 60 - 6$
$2x = 54$
$x = 54 \div 2$
$x = 27$
Итак, в классах 27 мальчиков.
Количество девочек: $27 + 6 = 33$.

Вариант 2. Пусть $y$ — количество девочек.
Так как девочек на 6 больше, чем мальчиков, то мальчиков на 6 меньше. Их количество равно $y - 6$.
Всего 60 человек. Составим уравнение:
$(y - 6) + y = 60$
Решим это уравнение:
$2y - 6 = 60$
$2y = 60 + 6$
$2y = 66$
$y = 66 \div 2$
$y = 33$
Итак, в классах 33 девочки.
Количество мальчиков: $33 - 6 = 27$.

Результаты совпали. Проверим: $27 + 33 = 60$.
Ответ: 27 мальчиков и 33 девочки.