Страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.89 Верно ли, что $(x-y)z = xz - yz$?Дайте истолкование этого равенства на «языке площадей».

Верно ли, что $(x - y)z = xz - yz$?

Да, данное равенство верно. Это свойство называется распределительным (или дистрибутивным) законом умножения относительно вычитания. Он гласит, что для умножения разности на число можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое по отдельности, а затем из первого произведения вычесть второе.

Алгебраически это доказывается раскрытием скобок в левой части равенства:
$(x - y)z = x \cdot z - y \cdot z = xz - yz$

Поскольку левая часть тождественно преобразуется в правую, равенство является верным.

Ответ: Да, равенство верно.

Дайте истолкование этого равенства на «языке площадей».

Для геометрической интерпретации будем считать, что переменные $x$, $y$, $z$ являются положительными числами, обозначающими длины сторон, и при этом $x > y$.

Рассмотрим большой прямоугольник со сторонами $x$ и $z$. Его площадь $S_{\text{большой}}$ равна $xz$.

Мысленно разделим сторону длиной $x$ на два отрезка: один длиной $y$ и другой длиной $x - y$. Проведя через точку деления отрезок, параллельный стороне $z$, мы разделим большой прямоугольник на два меньших.

Один из меньших прямоугольников будет иметь стороны $y$ и $z$. Его площадь $S_1$ равна $yz$.

Другой меньший прямоугольник будет иметь стороны $(x - y)$ и $z$. Его площадь $S_2$ равна $(x - y)z$.

Площадь большого прямоугольника равна сумме площадей двух меньших прямоугольников, на которые он разделен:
$S_{\text{большой}} = S_1 + S_2$
Подставив выражения для площадей, получим:
$xz = yz + (x - y)z$

Если из этого равенства выразить площадь второго прямоугольника ($S_2$), мы получим исходное тождество:
$(x - y)z = xz - yz$

Таким образом, геометрический смысл этого равенства следующий: площадь прямоугольника со сторонами $(x - y)$ и $z$ равна разности площадей прямоугольника со сторонами $x$ и $z$ и прямоугольника со сторонами $y$ и $z$.

Ответ: Площадь прямоугольника со сторонами $(x-y)$ и $z$ равна разности площадей прямоугольника со сторонами $x$ и $z$ и прямоугольника со сторонами $y$ и $z$.

3.90 Предложите какую-нибудь интерпретацию равенства — на «языке денег» или на «языке расстояний»:

a) $(x + z) - (y + z) = x - y;$

б) $x - (y - z + t) = x - y + z - t.$

а) Интерпретация на «языке денег». Пусть у одного человека есть $x$ рублей, а у другого — $y$ рублей. Разница между их суммами составляет $x - y$. Если каждому из них дать одинаковую сумму $z$ рублей, то у первого станет $(x + z)$ рублей, а у второго — $(y + z)$ рублей. Новая разница между их суммами будет $(x + z) - (y + z)$. Равенство $(x + z) - (y + z) = x - y$ означает, что если двум людям добавить поровну денег, разница между их капиталами не изменится.
Интерпретация на «языке расстояний». Пусть на числовой прямой есть две точки с координатами $x$ и $y$. Расстояние между ними (с учетом знака) равно $x - y$. Если мы сдвинем обе точки вправо на одно и то же расстояние $z$, их новые координаты будут $x + z$ и $y + z$. Новое расстояние между ними станет $(x + z) - (y + z)$. Равенство показывает, что при одновременном сдвиге двух точек на одно и то же расстояние, дистанция между ними сохраняется.
Ответ: Равенство можно интерпретировать так: разница между двумя величинами (например, деньгами или координатами) не изменится, если к каждой из них прибавить одну и ту же величину.

б) Интерпретация на «языке денег». Пусть у вас на счету $x$ рублей. Вам нужно оплатить покупку, итоговая стоимость которой вычисляется следующим образом: базовая цена товара $y$, из которой вычитается скидка $z$, но прибавляется налог $t$. Таким образом, сумма к оплате равна $(y - z + t)$. После оплаты у вас останется $x - (y - z + t)$ рублей.
С другой стороны, эту же операцию можно рассчитать последовательно: из вашей начальной суммы $x$ вычесть базовую цену $y$, затем прибавить сумму скидки $z$ (она возвращается вам) и, наконец, вычесть налог $t$. В этом случае итоговая сумма на вашем счету будет $x - y + z - t$.
Равенство $x - (y - z + t) = x - y + z - t$ показывает, что результат не зависит от порядка вычислений: можно сначала рассчитать общую сумму к оплате и вычесть ее, а можно применять вычеты и начисления последовательно.
Ответ: Равенство можно интерпретировать как правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус: чтобы из числа вычесть сумму, можно последовательно вычесть или прибавить каждое слагаемое из этой суммы с противоположным знаком.

3.91 Как можно истолковать на «языке объёмов» равенство $ (xy)z = x(yz) $?

Данное равенство $(xy)z = x(yz)$ является алгебраическим выражением ассоциативного (сочетательного) закона умножения. На «языке объёмов» его можно истолковать как вычисление объёма одного и того же тела — прямоугольного параллелепипеда — двумя различными способами.

Представим себе прямоугольный параллелепипед (похожий на кирпич или коробку), длины рёбер которого, выходящие из одной вершины, равны $x$, $y$ и $z$. Объём такого тела, как известно, равен произведению трёх его измерений.

1. Интерпретация левой части: $(xy)z$

Выражение в скобках, $xy$, можно рассматривать как площадь прямоугольника со сторонами $x$ и $y$. Геометрически это площадь основания нашего параллелепипеда. Обозначим её $S_{осн} = xy$.

Далее, мы умножаем эту площадь основания на третье измерение — высоту $z$. Таким образом, выражение $(xy)z$ представляет собой объём параллелепипеда, вычисленный по формуле «площадь основания умножить на высоту»: $V = S_{осн} \cdot z$.

2. Интерпретация правой части: $x(yz)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках, $yz$. Его можно рассматривать как площадь другого прямоугольника — со сторонами $y$ и $z$. Геометрически это площадь одной из боковых граней нашего параллелепипеда. Обозначим её $S_{бок} = yz$.

Далее, мы умножаем площадь этой боковой грани на оставшееся третье измерение — $x$. Таким образом, выражение $x(yz)$ представляет собой объём того же самого параллелепипеда, но вычисленный иным способом: мы берём площадь боковой грани и умножаем её на «глубину» (или длину) $x$.

Вывод

Поскольку оба выражения, $(xy)z$ и $x(yz)$, описывают объём одного и того же физического объекта — прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $x$, $y$ и $z$, — то результат вычислений должен быть одинаковым. Равенство демонстрирует, что для нахождения объёма не имеет значения, какую грань выбрать в качестве основания и в какой последовательности перемножать длины рёбер.

Ответ: Равенство $(xy)z = x(yz)$ можно истолковать как тождество двух способов вычисления объёма одного и того же прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $x$, $y$ и $z$. Левая часть $(xy)z$ — это вычисление объёма через умножение площади основания (со сторонами $x, y$) на высоту $z$. Правая часть $x(yz)$ — это вычисление объёма через умножение площади боковой грани (со сторонами $y, z$) на третье ребро $x$. Равенство справедливо, так как объём тела не зависит от способа его расчёта.

3.92 С помощью какого-либо «языка» дайте истолкование равенства

$x : (yz) = (x : y) : z.$

Для истолкования данного равенства $x : (yz) = (x : y) : z$ можно воспользоваться «языком» практических задач, например, из области торговли и расчетов.

Представим следующую ситуацию. Пусть:
$x$ — это общая сумма денег, уплаченная за покупку (например, в рублях);
$y$ — это количество одинаковых коробок с товаром, которые были куплены;
$z$ — это количество единиц товара в каждой коробке.

Теперь проанализируем обе части равенства в контексте этой ситуации.

Интерпретация левой части равенства: $x : (yz)$
Произведение $yz$ представляет собой общее количество единиц товара во всех купленных коробках. Например, если куплено $y=5$ коробок, и в каждой по $z=10$ ручек, то общее количество ручек равно $5 \cdot 10 = 50$. Выражение $x : (yz)$ означает деление общей стоимости всей покупки $x$ на общее количество единиц товара $yz$. В результате мы получаем стоимость одной единицы товара (цену одной ручки).

Интерпретация правой части равенства: $(x : y) : z$
Выражение в скобках, $x : y$, представляет собой деление общей стоимости покупки $x$ на количество коробок $y$. Результатом этого действия является стоимость одной коробки. Например, если за 5 коробок заплатили $x=1000$ рублей, то одна коробка стоит $1000 : 5 = 200$ рублей. Затем полученный результат (стоимость одной коробки) делится на $z$ — количество единиц товара в этой коробке. То есть, мы делим стоимость коробки на количество ручек в ней. Результатом этого второго деления также будет стоимость одной единицы товара (цена одной ручки).

Таким образом, равенство $x : (yz) = (x : y) : z$ демонстрирует два эквивалентных способа расчета цены одной единицы товара. Можно сначала посчитать общее количество товара и разделить на него общую стоимость, а можно сначала найти цену одной упаковки (коробки) и разделить ее на количество товара в этой упаковке. Итоговый результат будет одинаковым, что и подтверждает справедливость равенства в предложенной интерпретации.

Пример:
Допустим, за $y=4$ упаковки печенья, в каждой из которых по $z=6$ пачек, заплатили $x=480$ рублей. Найдем цену одной пачки печенья.
Способ 1 (левая часть): Сначала найдем общее количество пачек: $4 \cdot 6 = 24$ пачки. Затем найдем цену одной пачки: $480 : 24 = 20$ рублей.
Способ 2 (правая часть): Сначала найдем цену одной упаковки: $480 : 4 = 120$ рублей. Затем найдем цену одной пачки в упаковке: $120 : 6 = 20$ рублей.
Как видим, $480 : (4 \cdot 6) = (480 : 4) : 6$, и оба выражения равны 20.

Ответ: Равенство $x : (yz) = (x : y) : z$ можно истолковать на «языке» расчетов при покупке товаров. Если $x$ — общая стоимость покупки, $y$ — количество одинаковых упаковок, а $z$ — количество единиц товара в каждой упаковке, то левая часть равенства представляет собой вычисление цены одной единицы товара путем деления общей стоимости на общее количество товара ($yz$). Правая часть представляет собой вычисление цены одной единицы товара путем нахождения сначала цены одной упаковки ($x:y$), а затем деления этой цены на количество товара в упаковке ($z$). Равенство показывает, что оба способа расчета приводят к одному и тому же результату — цене одной единицы товара.

3.93 Запишите равенство $x + (y - x) = y$, заменив знак «плюс» знаком умножения, а знак «минус» знаком деления — двоеточием или чертой дроби. Верно ли полученное равенство?

Дано исходное равенство: $x + (y - x) = y$.

По условию задачи, необходимо заменить в этом равенстве знак «плюс» на знак умножения, а знак «минус» на знак деления (двоеточием или чертой дроби).

Выполним замену. Знак «+» между $x$ и скобкой $(y - x)$ меняем на знак умножения «$\cdot$». Знак «-» внутри скобки между $y$ и $x$ меняем на знак деления, который запишем в виде дробной черты.

Получаем новое равенство: $x \cdot \frac{y}{x} = y$

Теперь проверим, является ли это равенство верным. Для этого нужно упростить левую часть. Выражение $x \cdot \frac{y}{x}$ можно представить как $\frac{x \cdot y}{x}$.

При условии, что $x \neq 0$ (так как на ноль делить нельзя, а в выражении $\frac{y}{x}$ переменная $x$ находится в знаменателе), мы можем сократить $x$ в числителе и знаменателе: $\frac{\cancel{x} \cdot y}{\cancel{x}} = y$

В результате упрощения левой части мы получаем $y$. Таким образом, равенство принимает вид: $y = y$

Это тождество, которое верно для любых значений $y$ и для всех $x \neq 0$. Следовательно, полученное равенство верно.

Ответ: Новое равенство $x \cdot \frac{y}{x} = y$ верно при условии, что $x \neq 0$.

3.94 Запишите равенство $(xy) : (zt) = (x : z) (y : t)$, заменив знак деления знаком «минус», а знак умножения знаком «плюс». Полученное равенство: $(x + y) - (z + t) = (x - z) + (y - t)$

Верно ли полученное равенство?

Однако опоры на реальный смысл арифметических действий, вообще говоря, недостаточно. Ну хотя бы потому, что и на «языке денег», и на «языке расстояний», и на «языке площадей» мы всегда рассматриваем только положительные числа, а часто даже и натуральные.

С точки зрения математики алгебраические преобразования, которыми мы пользуемся, нуждаются в более строгом обосновании. И оказывается, ваших знаний вполне достаточно для проведения нужных доказательств. Надо только суметь воспользоваться этими знаниями.

Исходное равенство: $(xy) : (zt) = (x : z) (y : t)$.

Произведем замену знаков согласно условию: знак умножения (неявный между переменными и скобками) заменяем на знак «плюс», а знак деления (:) — на знак «минус».

В результате замены получаем следующее равенство:

$(x+y) - (z+t) = (x-z) + (y-t)$

Верно ли полученное равенство?

Чтобы проверить верность этого равенства, необходимо упростить обе его части, раскрыв скобки, и сравнить получившиеся выражения.

1. Упростим левую часть равенства:
$(x+y) - (z+t) = x + y - z - t$

2. Упростим правую часть равенства:
$(x-z) + (y-t) = x - z + y - t$

Сравним полученные выражения. Используя переместительное свойство сложения, мы можем записать правую часть как $x + y - z - t$.

$x + y - z - t = x + y - z - t$

Так как левая и правая части равенства тождественно равны, полученное равенство является верным при любых значениях переменных $x, y, z$ и $t$.

Ответ: полученное равенство $(x+y) - (z+t) = (x-z) + (y-t)$ является верным.