Страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.71 Упростите:

a) $2ab - 3ba + 5a - a;$

б) $abc + bca + cab;$

в) $xy - x + y - yx;$

г) $xyz - yzx - xzy - zxy.$

Чтобы упростить выражение $2ab - 3ba + 5a - a$, нужно найти и сложить подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.
В выражении есть две группы подобных слагаемых:
1. Слагаемые с буквенной частью $ab$. Учитывая, что от перестановки множителей произведение не меняется, $ba = ab$. Значит, $2ab$ и $-3ba$ — подобные.
2. Слагаемые с буквенной частью $a$: $5a$ и $-a$.
Сгруппируем и сложим их:
$2ab - 3ba + 5a - a = (2ab - 3ab) + (5a - a)$
Теперь выполним вычисления в каждой группе:
$(2 - 3)ab + (5 - 1)a = -1ab + 4a = -ab + 4a$.
Для более стандартной записи можно поменять слагаемые местами: $4a - ab$.
Ответ: $4a - ab$

Рассмотрим выражение $abc + bca + cab$.
В силу переместительного закона умножения, порядок множителей не имеет значения, поэтому $abc = bca = cab$.
Это означает, что все три слагаемых являются подобными. Коэффициент каждого слагаемого равен 1.
Сложим их:
$abc + bca + cab = 1abc + 1abc + 1abc = (1 + 1 + 1)abc = 3abc$.
Ответ: $3abc$

Упростим выражение $xy - x + y - yx$.
Найдем подобные слагаемые. Слагаемые $xy$ и $-yx$ являются подобными, так как $xy = yx$. Слагаемые $-x$ и $y$ не являются подобными друг другу или другим членам выражения.
Сгруппируем подобные слагаемые:
$xy - x + y - yx = (xy - yx) - x + y$
Приведем подобные слагаемые:
$(1xy - 1xy) - x + y = (1 - 1)xy - x + y = 0 \cdot xy - x + y = 0 - x + y = y - x$.
Ответ: $y - x$

Рассмотрим выражение $xyz - yzx - xzy - zxy$.
Так как умножение коммутативно, порядок переменных в произведении не важен: $xyz = yzx = xzy = zxy$.
Следовательно, все четыре слагаемых являются подобными. Приведем их к одному виду, например $xyz$, и сложим их коэффициенты: $1, -1, -1, -1$.
$xyz - yzx - xzy - zxy = 1xyz - 1xyz - 1xyz - 1xyz$
Сложим коэффициенты:
$(1 - 1 - 1 - 1)xyz = -2xyz$.
Ответ: $-2xyz$

3.72 Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях букв:

а) $3.7a - 2.5b - 7.5b + 0.3a + 10$ при $a = -1.5$, $b = 0.12$;

б) $-1.6x + 0.2y + 2.6x - 0.1 - 3.2y$ при $x = \frac{1}{2}$, $y = -\frac{2}{3}$.

а) $3,7a - 2,5b - 7,5b + 0,3a + 10$

Сначала упростим выражение. Для этого сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью):

$(3,7a + 0,3a) + (-2,5b - 7,5b) + 10 = 4a - 10b + 10$

Теперь подставим в полученное выражение значения переменных $a = -1,5$ и $b = 0,12$:

$4 \cdot (-1,5) - 10 \cdot 0,12 + 10$

Выполним вычисления по порядку:

$4 \cdot (-1,5) = -6$

$10 \cdot 0,12 = 1,2$

$-6 - 1,2 + 10 = -7,2 + 10 = 2,8$

Ответ: 2,8

б) $-1,6x + 0,2y + 2,6x - 0,1 - 3,2y$

Сначала упростим выражение, сгруппировав и приведя подобные слагаемые:

$(-1,6x + 2,6x) + (0,2y - 3,2y) - 0,1 = x - 3y - 0,1$

Теперь подставим в полученное выражение значения переменных $x = \frac{1}{2}$ и $y = -\frac{2}{3}$.

Для удобства вычислений можно представить обыкновенную дробь $x = \frac{1}{2}$ в виде десятичной: $x=0,5$.

$0,5 - 3 \cdot (-\frac{2}{3}) - 0,1$

Выполним вычисления:

$3 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{3 \cdot 2}{3} = -2$

Подставим результат обратно в выражение:

$0,5 - (-2) - 0,1 = 0,5 + 2 - 0,1 = 2,5 - 0,1 = 2,4$

Ответ: 2,4

3.73 Раскройте скобки и упростите выражение:

а) $(2y + z) - (z - 2y);$

б) $(x + 3) - (5x - 7);$

в) $(2a - 1) + (3 - 4a);$

г) $(a + b) - (a - b) - (b - a);$

д) $3m - (2m - 3) + (2 - m);$

е) $(3y - 1) - (2y - 2) + (y - 3).$

а) Раскроем скобки в выражении $(2y + z) - (z - 2y)$. Первые скобки можно просто убрать. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому при их раскрытии знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные: $z$ станет $-z$, а $-2y$ станет $+2y$.
$(2y + z) - (z - 2y) = 2y + z - z + 2y$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2y + 2y) + (z - z) = 4y + 0 = 4y$
Ответ: $4y$

б) Раскроем скобки в выражении $(x + 3) - (5x - 7)$. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых $5x$ и $-7$ меняются на $-5x$ и $+7$ соответственно.
$(x + 3) - (5x - 7) = x + 3 - 5x + 7$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав слагаемые с $x$ и числовые слагаемые:
$(x - 5x) + (3 + 7) = -4x + 10$
Ответ: $-4x + 10$

в) Раскроем скобки в выражении $(2a - 1) + (3 - 4a)$. Так как перед вторыми скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри них не меняются.
$(2a - 1) + (3 - 4a) = 2a - 1 + 3 - 4a$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2a - 4a) + (-1 + 3) = -2a + 2$
Ответ: $-2a + 2$

г) Раскроем скобки в выражении $(a + b) - (a - b) - (b - a)$. Перед второй и третьей скобками стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри этих скобок меняются на противоположные.
$(a + b) - (a - b) - (b - a) = a + b - a + b - b + a$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые для переменных $a$ и $b$:
$(a - a + a) + (b + b - b) = a + b$
Ответ: $a + b$

д) Упростим выражение $3m - (2m - 3) + (2 - m)$. Раскроем скобки. Перед первыми скобками стоит знак минус (знаки меняются), перед вторыми — плюс (знаки сохраняются).
$3m - (2m - 3) + (2 - m) = 3m - 2m + 3 + 2 - m$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав слагаемые с $m$ и числовые слагаемые:
$(3m - 2m - m) + (3 + 2) = (3 - 2 - 1)m + 5 = 0 \cdot m + 5 = 5$
Ответ: $5$

е) Раскроем скобки в выражении $(3y - 1) - (2y - 2) + (y - 3)$. Перед вторыми скобками стоит минус, поэтому знаки слагаемых $2y$ и $-2$ меняются на противоположные. Перед третьими скобками стоит плюс, поэтому знаки слагаемых $y$ и $-3$ не меняются.
$(3y - 1) - (2y - 2) + (y - 3) = 3y - 1 - 2y + 2 + y - 3$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(3y - 2y + y) + (-1 + 2 - 3) = (3 - 2 + 1)y + (1 - 3) = 2y - 2$
Ответ: $2y - 2$

3.74 Упростите выражение:

а) $2(a + b) + 3(a + b) + 2a;$

б) $5(x - z) - 2(x + z);$

в) $2(2r - 3s) - 3(r - 2s);$

г) $6(2a + c) + 2(6a - c) - 4c;$

д) $3(x - 1) + (x - 2) - x;$

е) $5n - 3(n + 2) + (n - 6);$

ж) $m - (2m - 6) + 3(m - 3);$

з) $2(3x + 1) - (x - 2) - 3x.$

а) $2(a + b) + 3(a + b) + 2a$
Раскроем скобки в выражении:
$2(a + b) + 3(a + b) + 2a = (2a + 2b) + (3a + 3b) + 2a$
Теперь уберем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
$(2a + 3a + 2a) + (2b + 3b)$
Выполним сложение:
$7a + 5b$
Ответ: $7a + 5b$

б) $5(x - z) - 2(x + z)$
Раскроем скобки. Обратим внимание, что перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки внутри нее изменятся на противоположные:
$5(x - z) - 2(x + z) = 5x - 5z - 2x - 2z$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(5x - 2x) + (-5z - 2z)$
Выполним вычитание:
$3x - 7z$
Ответ: $3x - 7z$

в) $2(2r - 3s) - 3(r - 2s)$
Раскроем скобки, учитывая знаки:
$2(2r - 3s) - 3(r - 2s) = (4r - 6s) - (3r - 6s) = 4r - 6s - 3r + 6s$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(4r - 3r) + (-6s + 6s)$
Выполним действия:
$r + 0 = r$
Ответ: $r$

г) $6(2a + c) + 2(6a - c) - 4c$
Раскроем скобки:
$6(2a + c) + 2(6a - c) - 4c = (12a + 6c) + (12a - 2c) - 4c = 12a + 6c + 12a - 2c - 4c$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(12a + 12a) + (6c - 2c - 4c)$
Выполним действия:
$24a + (4c - 4c) = 24a + 0 = 24a$
Ответ: $24a$

д) $3(x - 1) + (x - 2) - x$
Раскроем скобки:
$3(x - 1) + (x - 2) - x = 3x - 3 + x - 2 - x$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(3x + x - x) + (-3 - 2)$
Выполним действия:
$3x - 5$
Ответ: $3x - 5$

е) $5n - 3(n + 2) + (n - 6)$
Раскроем скобки, помня о знаке минус перед второй скобкой:
$5n - 3(n + 2) + (n - 6) = 5n - (3n + 6) + n - 6 = 5n - 3n - 6 + n - 6$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(5n - 3n + n) + (-6 - 6)$
Выполним действия:
$3n - 12$
Ответ: $3n - 12$

ж) $m - (2m - 6) + 3(m - 3)$
Раскроем скобки. Перед первой скобкой стоит минус, поэтому знаки меняются. Вторую скобку умножаем на 3:
$m - (2m - 6) + 3(m - 3) = m - 2m + 6 + 3m - 9$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(m - 2m + 3m) + (6 - 9)$
Выполним действия:
$2m - 3$
Ответ: $2m - 3$

з) $2(3x + 1) - (x - 2) - 3x$
Раскроем скобки:
$2(3x + 1) - (x - 2) - 3x = (6x + 2) - x + 2 - 3x$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(6x - x - 3x) + (2 + 2)$
Выполним действия:
$(5x - 3x) + 4 = 2x + 4$
Ответ: $2x + 4$

3.75 Упростите:

а) $b(m - 7) - 7b;$

б) $x(c + 1) + c(x - 1);$

в) $y(x - 4) + x(3 - y);$

г) $m(k - 3) - k(m - 5);$

д) $a(1 - b) - a(1 + b);$

е) $b(2d - 5) - b(d + 5).$

а) Чтобы упростить выражение $b(m - 7) - 7b$, сначала раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения: $a(b+c) = ab + ac$.

$b \cdot m - b \cdot 7 - 7b = bm - 7b - 7b$

Теперь приведем подобные слагаемые. Подобными здесь являются $-7b$ и $-7b$.

$bm - (7b + 7b) = bm - 14b$

Ответ: $bm - 14b$

б) Упростим выражение $x(c + 1) + c(x - 1)$. Раскроем скобки в каждом слагаемом.

$x \cdot c + x \cdot 1 + c \cdot x - c \cdot 1 = xc + x + cx - c$

Приведем подобные слагаемые. Учитывая, что $xc = cx$ (коммутативное свойство умножения), слагаемые $xc$ и $cx$ являются подобными.

$(xc + cx) + x - c = 2xc + x - c$

Ответ: $2xc + x - c$

в) Упростим выражение $y(x - 4) + x(3 - y)$. Раскроем скобки.

$y \cdot x - y \cdot 4 + x \cdot 3 - x \cdot y = yx - 4y + 3x - xy$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $yx$ и $-xy$ являются противоположными, так как $yx = xy$, поэтому их сумма равна нулю.

$(yx - xy) - 4y + 3x = 0 - 4y + 3x = 3x - 4y$

Ответ: $3x - 4y$

г) Упростим выражение $m(k - 3) - k(m - 5)$. Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед вторым слагаемым.

$m \cdot k - m \cdot 3 - (k \cdot m - k \cdot 5) = mk - 3m - km + 5k$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $mk$ и $-km$ являются противоположными, так как $mk = km$, и их сумма равна нулю.

$(mk - km) - 3m + 5k = 0 - 3m + 5k = 5k - 3m$

Ответ: $5k - 3m$

д) Упростим выражение $a(1 - b) - a(1 + b)$. Раскроем скобки.

$a \cdot 1 - a \cdot b - (a \cdot 1 + a \cdot b) = a - ab - a - ab$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $a$ и $-a$ в сумме дают ноль. Слагаемые $-ab$ и $-ab$ также являются подобными.

$(a - a) + (-ab - ab) = 0 - 2ab = -2ab$

Ответ: $-2ab$

е) Упростим выражение $b(2d - 5) - b(d + 5)$. Раскроем скобки.

$b \cdot 2d - b \cdot 5 - (b \cdot d + b \cdot 5) = 2bd - 5b - bd - 5b$

Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с переменными $bd$ и слагаемые с переменной $b$.

$(2bd - bd) + (-5b - 5b) = bd - 10b$

Ответ: $bd - 10b$

3.76 Фермер занял под картофель 15 соток, а его соседи — 18 соток и 12 соток. Запишите выражения для определения будущего урожая картофеля в каждом хозяйстве и общего урожая картофеля во всех трёх хозяйствах, если в среднем с каждой сотки планируется собрать $M$ кг.

Урожай фермера: $15M$ кг.

Урожай первого соседа: $18M$ кг.

Урожай второго соседа: $12M$ кг.

Общий урожай: $(15 + 18 + 12)M = 45M$ кг.

Сколько примерно тонн картофеля всего будет собрано, если $M = 120; M = 200$?

Запишите выражения для определения будущего урожая картофеля в каждом хозяйстве и общего урожая картофеля во всех трёх хозяйствах
Пусть $M$ — это среднее количество килограммов картофеля, которое планируется собрать с одной сотки.
Площади участков составляют 15 соток (фермер), 18 соток (первый сосед) и 12 соток (второй сосед).
Чтобы найти урожай для каждого хозяйства, нужно умножить его площадь на среднюю урожайность $M$.
1. Выражение для урожая фермера: $15 \cdot M$ кг.
2. Выражение для урожая первого соседа: $18 \cdot M$ кг.
3. Выражение для урожая второго соседа: $12 \cdot M$ кг.
Чтобы найти общий урожай, нужно сложить урожай со всех трёх участков:
Общий урожай = $15 \cdot M + 18 \cdot M + 12 \cdot M$.
Вынесем общий множитель $M$ за скобки:
$(15 + 18 + 12) \cdot M = 45 \cdot M$ кг.

Ответ: выражение для урожая фермера — $15 \cdot M$ кг, для первого соседа — $18 \cdot M$ кг, для второго соседа — $12 \cdot M$ кг. Выражение для общего урожая — $45 \cdot M$ кг.

Сколько примерно тонн картофеля всего будет собрано, если М = 120; М = 200?
Мы используем выражение для общего урожая $45 \cdot M$ и помним, что 1 тонна = 1000 кг.
1. При $M = 120$ кг/сотка:
Общий урожай в килограммах: $45 \cdot 120 = 5400$ кг.
Переведем в тонны: $5400 \text{ кг} \div 1000 = 5.4$ тонны.
2. При $M = 200$ кг/сотка:
Общий урожай в килограммах: $45 \cdot 200 = 9000$ кг.
Переведем в тонны: $9000 \text{ кг} \div 1000 = 9$ тонн.

Ответ: если $M = 120$, всего будет собрано 5.4 тонны картофеля; если $M = 200$, всего будет собрано 9 тонн картофеля.

3.77 Применяем алгебру

1) Сколько действий надо выполнить, чтобы вычислить значение выражения $ax + bx$?

Сколько действий надо выполнить, чтобы вычислить значение выражения $(a + b)x$?

Какое из этих двух выражений более удобно для вычислений с помощью калькулятора?

2) Вычислите с помощью калькулятора:

$18,11 \cdot 1,45 - 3,35 \cdot 1,45;$

$11,21 \cdot 2,25 + 17,5 \cdot 2,25 + 9,05 \cdot 2,25;$

$10,8 \cdot 3,86 + 10,8 \cdot 4,57 - 10,8 \cdot 1,75.$

1)

Чтобы вычислить значение выражения $ax + bx$, необходимо выполнить три арифметических действия:

1. Первое умножение: $a \cdot x$
2. Второе умножение: $b \cdot x$
3. Сложение результатов умножения: $(a \cdot x) + (b \cdot x)$

Чтобы вычислить значение выражения $(a + b)x$, которое является тождественно равным первому выражению согласно распределительному свойству умножения, необходимо выполнить два арифметических действия:

1. Сложение в скобках: $a + b$
2. Умножение результата сложения на $x$: $(a+b) \cdot x$

Для вычислений с помощью калькулятора более удобным является выражение $(a+b)x$, так как оно требует выполнения меньшего количества действий (2 вместо 3). Это не только ускоряет процесс вычислений, но и снижает вероятность ошибки при вводе чисел и операций.

Ответ: для вычисления $ax + bx$ требуется 3 действия, а для $(a + b)x$ — 2 действия. Выражение $(a+b)x$ удобнее для вычислений.

2)

Для упрощения вычислений применим распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания (вынесение общего множителя за скобки).

• $18,11 \cdot 1,45 - 3,35 \cdot 1,45$

  Общий множитель здесь — $1,45$. Вынесем его за скобки:

  $(18,11 - 3,35) \cdot 1,45 = 14,76 \cdot 1,45 = 21,402$

  Ответ: $21,402$

• $11,21 \cdot 2,25 + 17,5 \cdot 2,25 + 9,05 \cdot 2,25$

  Общий множитель здесь — $2,25$. Вынесем его за скобки:

  $(11,21 + 17,5 + 9,05) \cdot 2,25 = (28,71 + 9,05) \cdot 2,25 = 37,76 \cdot 2,25 = 84,96$

  Ответ: $84,96$

• $10,8 \cdot 3,86 + 10,8 \cdot 4,57 - 10,8 \cdot 1,75$

  Общий множитель здесь — $10,8$. Вынесем его за скобки:

  $10,8 \cdot (3,86 + 4,57 - 1,75) = 10,8 \cdot (8,43 - 1,75) = 10,8 \cdot 6,68 = 72,144$

  Ответ: $72,144$