Страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сформулируйте правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» и знак «–». Проиллюстрируйте их на примере выражений $3x + (2y - z)$ и $3x - (2y - z)$.

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+»

Если перед скобками стоит знак «+», то при раскрытии скобок этот знак и сами скобки опускаются, а все слагаемые, которые были в скобках, записываются с теми же знаками. Это правило можно выразить общей формулой: $a + (b - c) = a + b - c$.

Проиллюстрируем это на примере выражения $3x + (2y - z)$.

Перед скобкой стоит знак «+», поэтому мы просто убираем скобки и знак «+» перед ними, не меняя знаки у слагаемых внутри скобок. Слагаемое $2y$ остается со знаком плюс, а слагаемое $z$ — со знаком минус.

$3x + (2y - z) = 3x + 2y - z$

Ответ: $3x + 2y - z$

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»

Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок этот знак и сами скобки опускаются, а все слагаемые, которые были в скобках, меняют свои знаки на противоположные. Плюс меняется на минус, а минус — на плюс. Это правило можно выразить общей формулой: $a - (b - c) = a - b + c$.

Проиллюстрируем это на примере выражения $3x - (2y - z)$.

Перед скобкой стоит знак «-», поэтому мы убираем скобки и знак «-» перед ними, но при этом меняем знаки у всех слагаемых внутри скобок на противоположные. Слагаемое $2y$ (которое имеет неявный знак «+») становится $-2y$. Слагаемое $-z$ становится $+z$.

$3x - (2y - z) = 3x - 2y + z$

Ответ: $3x - 2y + z$

На основании какого закона раскрывают скобки в произведении $3x(2y - z)$? Сформулируйте соответствующее правило и выполните преобразование.

На основании какого закона раскрывают скобки в произведении $3x(2y - z)$?

Раскрытие скобок в данном выражении производится на основании распределительного закона умножения относительно вычитания. Этот закон является одним из основополагающих в алгебре и позволяет умножать одно выражение на сумму или разность других выражений.

Ответ: Распределительный закон умножения относительно вычитания.

Сформулируйте соответствующее правило.

Правило, основанное на распределительном законе, формулируется так: чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения алгебраически сложить.

Для конкретного случая умножения на разность, как в задании, правило звучит следующим образом: чтобы умножить множитель на разность, нужно умножить этот множитель на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе. В виде формулы это записывается так: $a(b - c) = ab - ac$.

Ответ: Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и сложить полученные произведения. В виде формулы для данного случая: $a(b - c) = ab - ac$.

Выполните преобразование.

Применим сформулированное правило к выражению $3x(2y - z)$. Следуя формуле $a(b - c) = ab - ac$, где $a = 3x$, $b = 2y$ и $c = z$, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Умножаем множитель $3x$ на уменьшаемое $2y$. Получаем $3x \cdot 2y = 6xy$.

Шаг 2: Умножаем множитель $3x$ на вычитаемое $z$. Получаем $3x \cdot z = 3xz$.

Шаг 3: Вычитаем второе произведение из первого. Получаем $6xy - 3xz$.

Полная запись преобразования: $3x(2y - z) = 3x \cdot 2y - 3x \cdot z = 6xy - 3xz$.

Ответ: $3x(2y - z) = 6xy - 3xz$.

3.44 Раскройте скобки:

а) $a + (b - c + d)$;

б) $a - (b - c - d)$;

в) $a - (b + c + d)$;

г) $a + (b + c - d)$;

д) $(a - b) + (c - d)$;

е) $(x + y) - (z + t)$;

ж) $(m - n) - (k - t)$;

з) $(t + s) + (-p - m)$.

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $a + (b - c + d)$, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать скобки, а знаки слагаемых внутри скобок оставить без изменений.
$a + (b - c + d) = a + b - c + d$.
Ответ: $a + b - c + d$

б) Чтобы раскрыть скобки в выражении $a - (b - c - d)$, перед которыми стоит знак «−», нужно убрать скобки, а знаки всех слагаемых внутри скобок изменить на противоположные.
$a - (b - c - d) = a - b + c + d$.
Ответ: $a - b + c + d$

в) В выражении $a - (b + c + d)$ перед скобками стоит знак «−», поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные.
$a - (b + c + d) = a - b - c - d$.
Ответ: $a - b - c - d$

г) В выражении $a + (b + c - d)$ перед скобками стоит знак «+», поэтому при раскрытии скобок знаки слагаемых сохраняются.
$a + (b + c - d) = a + b + c - d$.
Ответ: $a + b + c - d$

д) В выражении $(a - b) + (c - d)$ нужно раскрыть две пары скобок. Если перед скобками не стоит знак, это означает, что там знак «+». Перед второй парой скобок также стоит знак «+». Следовательно, знаки всех слагаемых остаются без изменений.
$(a - b) + (c - d) = a - b + c - d$.
Ответ: $a - b + c - d$

е) В выражении $(x + y) - (z + t)$ раскрываем первую пару скобок, сохраняя знаки. Перед второй парой скобок стоит знак «−», поэтому знаки слагаемых $z$ и $t$ меняются на противоположные.
$(x + y) - (z + t) = x + y - z - t$.
Ответ: $x + y - z - t$

ж) В выражении $(m - n) - (k - t)$ раскрываем первую пару скобок, сохраняя знаки. Перед второй парой скобок стоит знак «−», поэтому знаки слагаемых $k$ и $-t$ меняются на противоположные.
$(m - n) - (k - t) = m - n - k + t$.
Ответ: $m - n - k + t$

з) В выражении $(t + s) + (-p - m)$ перед обеими парами скобок стоит знак «+» (в первом случае он подразумевается). Следовательно, при раскрытии скобок все знаки слагаемых сохраняются.
$(t + s) + (-p - m) = t + s - p - m$.
Ответ: $t + s - p - m$