Страница 75 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.52 Составьте два выражения для вычисления площади фигуры (рис. 3.8, а, б) и покажите, как одно из этих выражений можно преобразовать в другое.

а) Выражения:

$a(b+c)$

$ab+ac$

Преобразование:

$a(b+c) = ab+ac$

б) Выражения:

$a(m+n+k)$

$am+an+ak$

Преобразование:

$a(m+n+k) = am+an+ak$

Рис. 3.8

а)

Площадь фигуры, изображенной на рисунке 3.8, а, можно вычислить двумя способами, так как она представляет собой прямоугольник, разделенный на две части.

Первое выражение: Можно найти площадь каждого из двух меньших прямоугольников и сложить полученные значения. Площадь левого прямоугольника с высотой $a$ и шириной $b$ равна $S_1 = a \cdot b$. Площадь правого прямоугольника с высотой $a$ и шириной $c$ равна $S_2 = a \cdot c$. Общая площадь фигуры $S$ — это сумма площадей этих двух прямоугольников: $S = ab + ac$.

Второе выражение: Можно рассматривать фигуру как один большой прямоугольник. Его высота равна $a$, а общая ширина равна сумме ширин его частей, то есть $b + c$. Площадь этого большого прямоугольника равна $S = a(b + c)$.

Преобразование: Чтобы показать, как одно выражение преобразуется в другое, воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения. Раскроем скобки во втором выражении:

$a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Таким образом, второе выражение $a(b + c)$ после раскрытия скобок становится идентичным первому выражению $ab + ac$.

Ответ: Два выражения для вычисления площади: $ab + ac$ и $a(b + c)$. Преобразование одного в другое: $a(b + c) = ab + ac$.

б)

Площадь фигуры, изображенной на рисунке 3.8, б, можно также вычислить двумя способами, так как она представляет собой прямоугольник, разделенный на три части.

Первое выражение: Можно найти площадь каждого из трех меньших прямоугольников и сложить их. Площади этих прямоугольников равны $am$, $an$ и $ak$. Общая площадь фигуры $S$ — это сумма площадей этих трех прямоугольников: $S = am + an + ak$.

Второе выражение: Можно рассматривать фигуру как один большой прямоугольник. Его высота равна $a$, а общая ширина равна сумме ширин его частей: $m + n + k$. Площадь этого большого прямоугольника равна $S = a(m + n + k)$.

Преобразование: Как и в предыдущем случае, для преобразования одного выражения в другое используем распределительное свойство умножения. Раскроем скобки во втором выражении:

$a(m + n + k) = a \cdot m + a \cdot n + a \cdot k$

В результате раскрытия скобок второе выражение $a(m + n + k)$ преобразуется в первое $am + an + ak$.

Ответ: Два выражения для вычисления площади: $am + an + ak$ и $a(m + n + k)$. Преобразование одного в другое: $a(m + n + k) = am + an + ak$.

3.53 Раскройте скобки в произведении:

а) $8(x + 3);$

б) $2(a - 1);$

в) $-9(a - 4);$

г) $-7(b + 5);$

д) $12(a - b);$

е) $-3(x - y).$

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $8(x + 3)$, необходимо использовать распределительный закон умножения. Для этого нужно умножить множитель перед скобками (8) на каждое слагаемое внутри скобок (x и 3):
$8(x + 3) = 8 \cdot x + 8 \cdot 3 = 8x + 24$.
Ответ: $8x + 24$

б) Раскроем скобки в выражении $2(a - 1)$, применив распределительный закон. Умножим множитель 2 на каждый член в скобках (a и -1):
$2(a - 1) = 2 \cdot a - 2 \cdot 1 = 2a - 2$.
Ответ: $2a - 2$

в) В выражении $-9(a - 4)$ нужно умножить множитель $-9$ на каждый член в скобках (a и -4), обращая внимание на знаки:
$-9(a - 4) = (-9) \cdot a - (-9) \cdot 4 = -9a + 36$.
Ответ: $-9a + 36$

г) Для раскрытия скобок в $-7(b + 5)$ умножим $-7$ на каждое слагаемое в скобках (b и 5):
$-7(b + 5) = (-7) \cdot b + (-7) \cdot 5 = -7b - 35$.
Ответ: $-7b - 35$

д) Раскроем скобки в выражении $12(a - b)$ с помощью распределительного закона. Умножим 12 на каждый член в скобках (a и -b):
$12(a - b) = 12 \cdot a - 12 \cdot b = 12a - 12b$.
Ответ: $12a - 12b$

е) В выражении $-3(x - y)$ умножим множитель $-3$ на каждый член в скобках (x и -y), учитывая правило знаков (минус на минус дает плюс):
$-3(x - y) = (-3) \cdot x - (-3) \cdot y = -3x + 3y$.
Ответ: $-3x + 3y$

3.54 Выполните умножение:

а) $a(b - x);$

б) $x(x + y);$

в) $(b - a) \cdot (-2);$

г) $(10 - a) \cdot 4;$

д) $y(x - y - z);$

е) $(a - m + n) \cdot (-5).$

а) Чтобы умножить одночлен $a$ на многочлен $(b - x)$, необходимо применить распределительный закон умножения. Это означает, что нужно умножить $a$ на каждый член, находящийся в скобках.
$a(b - x) = a \cdot b + a \cdot (-x) = ab - ax$.
Ответ: $ab - ax$

б) Умножаем одночлен $x$ на каждый член многочлена $(x + y)$ в соответствии с распределительным законом.
$x(x + y) = x \cdot x + x \cdot y = x^2 + xy$.
Ответ: $x^2 + xy$

в) Умножаем многочлен $(b - a)$ на одночлен $(-2)$. Каждый член в скобках умножается на $(-2)$.
$(b - a) \cdot (-2) = b \cdot (-2) + (-a) \cdot (-2) = -2b + 2a$.
Для удобства принято записывать выражение, начиная с положительного члена: $2a - 2b$.
Ответ: $2a - 2b$

г) Умножаем многочлен $(10 - a)$ на число $4$. Каждый член в скобках умножается на $4$.
$(10 - a) \cdot 4 = 10 \cdot 4 + (-a) \cdot 4 = 40 - 4a$.
Ответ: $40 - 4a$

д) Умножаем одночлен $y$ на многочлен $(x - y - z)$. Умножаем $y$ на каждый из трех членов в скобках.
$y(x - y - z) = y \cdot x + y \cdot (-y) + y \cdot (-z) = xy - y^2 - yz$.
Ответ: $xy - y^2 - yz$

е) Умножаем многочлен $(a - m + n)$ на число $(-5)$. Каждый член в скобках умножается на $(-5)$.
$(a - m + n) \cdot (-5) = a \cdot (-5) + (-m) \cdot (-5) + n \cdot (-5) = -5a + 5m - 5n$.
Ответ: $-5a + 5m - 5n$

3.55 Раскройте скобки в произведении:

а) $\frac{1}{4}(4x - 16);$

б) $-\frac{1}{3}(3x + 12);$

в) $(2x - 3y) \cdot (-3);$

г) $2m(m - n);$

д) $2x(a + 3b - c);$

е) $-c(x - 2y + 3z).$

а) Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $ \frac{1}{4}(4x - 16) $, необходимо использовать распределительный закон умножения $ a(b - c) = ab - ac $. Каждый член в скобках умножается на множитель перед скобками.

Умножаем $ \frac{1}{4} $ на $ 4x $:

$ \frac{1}{4} \cdot 4x = \frac{4}{4}x = x $

Умножаем $ \frac{1}{4} $ на $ -16 $:

$ \frac{1}{4} \cdot (-16) = -\frac{16}{4} = -4 $

Результат: $ x - 4 $.

Ответ: $ x - 4 $

б) В выражении $ -\frac{1}{3}(3x + 12) $ мы также применяем распределительный закон $ a(b + c) = ab + ac $, учитывая отрицательный знак множителя.

Умножаем $ -\frac{1}{3} $ на $ 3x $:

$ -\frac{1}{3} \cdot 3x = -\frac{3}{3}x = -x $

Умножаем $ -\frac{1}{3} $ на $ 12 $:

$ -\frac{1}{3} \cdot 12 = -\frac{12}{3} = -4 $

Результат: $ -x - 4 $.

Ответ: $ -x - 4 $

в) В выражении $ (2x - 3y) \cdot (-3) $ множитель $ -3 $ стоит после скобок, но правило остается тем же: $ (a - b)c = ac - bc $.

Умножаем $ 2x $ на $ -3 $:

$ 2x \cdot (-3) = -6x $

Умножаем $ -3y $ на $ -3 $:

$ -3y \cdot (-3) = 9y $

Складываем полученные произведения: $ -6x + 9y $. Для удобства можно записать с положительного члена: $ 9y - 6x $.

Ответ: $ 9y - 6x $

г) В выражении $ 2m(m - n) $ умножаем $ 2m $ на каждый член в скобках.

Умножаем $ 2m $ на $ m $:

$ 2m \cdot m = 2m^2 $

Умножаем $ 2m $ на $ -n $:

$ 2m \cdot (-n) = -2mn $

Результат: $ 2m^2 - 2mn $.

Ответ: $ 2m^2 - 2mn $

д) В выражении $ 2x(a + 3b - c) $ в скобках три члена. Множитель $ 2x $ умножается на каждый из них.

$ 2x \cdot a + 2x \cdot 3b + 2x \cdot (-c) $

Вычисляем каждое произведение:

$ 2x \cdot a = 2ax $

$ 2x \cdot 3b = 6bx $

$ 2x \cdot (-c) = -2cx $

Собираем всё вместе: $ 2ax + 6bx - 2cx $.

Ответ: $ 2ax + 6bx - 2cx $

е) В выражении $ -c(x - 2y + 3z) $ умножаем каждый член в скобках на $ -c $, обращая внимание на знаки.

$ (-c) \cdot x + (-c) \cdot (-2y) + (-c) \cdot 3z $

Вычисляем каждое произведение:

$ (-c) \cdot x = -cx $

$ (-c) \cdot (-2y) = 2cy $ (минус на минус дает плюс)

$ (-c) \cdot 3z = -3cz $

Результат: $ -cx + 2cy - 3cz $.

Ответ: $ -cx + 2cy - 3cz $

3.56 Упростите:

а) $c(a+1)-c;$

б) $\frac{1}{4}(8b-2)-1;$

в) $m(1+m)-(m-1);$

г) $\frac{1}{3}(3k+9)-k.$

а) Чтобы упростить выражение $c(a + 1) - c$, необходимо раскрыть скобки, используя распределительное свойство умножения. Для этого умножим $c$ на каждый член, находящийся в скобках:
$c \cdot a + c \cdot 1 - c$
Выполнив умножение, получим:
$ac + c - c$
Далее приводим подобные слагаемые. В данном случае $c$ и $-c$ являются подобными слагаемыми, и их сумма равна нулю ($c - c = 0$):
$ac + 0 = ac$
Ответ: $ac$

б) Для упрощения выражения $\frac{1}{4}(8b - 2) - 1$, сначала раскроем скобки. Умножим дробь $\frac{1}{4}$ на каждый член в скобках:
$\frac{1}{4} \cdot 8b - \frac{1}{4} \cdot 2 - 1$
Выполним вычисления:
$\frac{8}{4}b - \frac{2}{4} - 1 = 2b - \frac{1}{2} - 1$
Теперь приведем подобные слагаемые (числовые константы). Вычтем 1 из $-\frac{1}{2}$:
$-\frac{1}{2} - 1 = -0.5 - 1 = -1.5$
Таким образом, итоговое выражение имеет вид:
$2b - 1.5$
Ответ: $2b - 1.5$

в) Чтобы упростить выражение $m(1 + m) - (m - 1)$, выполним действия по порядку. Сначала раскроем первые скобки, умножив $m$ на $1$ и на $m$:
$m \cdot 1 + m \cdot m - (m - 1) = m + m^2 - (m - 1)$
Затем раскроем вторые скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех членов внутри скобок меняются на противоположные:
$m + m^2 - m + 1$
Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $m$ и $-m$ в сумме дают ноль ($m - m = 0$):
$m^2 + (m - m) + 1 = m^2 + 0 + 1 = m^2 + 1$
Ответ: $m^2 + 1$

г) Для упрощения выражения $\frac{1}{3}(3k + 9) - k$, начнем с раскрытия скобок. Умножим $\frac{1}{3}$ на каждый член в скобках:
$\frac{1}{3} \cdot 3k + \frac{1}{3} \cdot 9 - k$
Выполним умножение:
$\frac{3}{3}k + \frac{9}{3} - k = 1k + 3 - k = k + 3 - k$
Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $k$ и $-k$ взаимно уничтожаются ($k - k = 0$):
$(k - k) + 3 = 0 + 3 = 3$
Ответ: $3$

3.57 РАССУЖДАЕМ Расставьте скобки так, чтобы выражение в левой части равенства было равно выражению в правой части:

а) $x - x - x = x$;

б) $x - y - y - x = 2x$.

а)

Требуется расставить скобки в выражении $x - x - x$ так, чтобы оно стало равным $x$. Проверим варианты расстановки скобок:

1. Если поставить скобки вокруг первых двух членов: $(x - x) - x$. Сначала выполним действие в скобках: $x - x = 0$. Затем вычтем оставшийся член: $0 - x = -x$. Этот результат не равен $x$.

2. Если поставить скобки вокруг последних двух членов: $x - (x - x)$. Сначала выполним действие в скобках: $x - x = 0$. Затем выполним вычитание: $x - 0 = x$. Этот результат совпадает с правой частью равенства.

Таким образом, верная расстановка скобок: $x - (x - x) = x$.

Ответ: $x - (x - x) = x$.

б)

Требуется расставить скобки в выражении $x - y - y - x$ так, чтобы оно стало равным $2x$. Без скобок выражение равно $x - y - y - x = (x - x) - (y +

3.58 Упростите выражение:

a) $(ab - 1) - (ab + 1) - (a - b);$

б) $(m - mn) - (n - mn) + (m + n).$

а) Чтобы упростить выражение $(ab - 1) - (ab + 1) - (a - b)$, необходимо раскрыть скобки. Если перед скобкой стоит знак минус, то при раскрытии знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$(ab - 1) - (ab + 1) - (a - b) = ab - 1 - ab - 1 - a + b$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

$(ab - ab) + (-1 - 1) - a + b$

Выполним вычисления:

$ab - ab = 0$

$-1 - 1 = -2$

В результате получаем:

$0 - 2 - a + b = b - a - 2$

Ответ: $b - a - 2$

б) Упростим выражение $(m - mn) - (n - mn) + (m + n)$. Раскроем скобки, учитывая знаки перед ними.

$(m - mn) - (n - mn) + (m + n) = m - mn - n + mn + m + n$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(m + m) + (-mn + mn) + (-n + n)$

Выполним вычисления:

$m + m = 2m$

$-mn + mn = 0$

$-n + n = 0$

В результате получаем:

$2m + 0 + 0 = 2m$

Ответ: $2m$

3.59 a) В выражении $a + b + c$ выполните подстановку $a = x - y, b = y - z, c = x + z$ и упростите полученное выражение.

б) В выражении $a - b - c$ выполните подстановку $a = x + y, b = y + z, c = x - z$ и упростите полученное выражение.

а) В выражении $a + b + c$ заменим переменные $a$, $b$ и $c$ на соответствующие им выражения.
Дано: $a = x - y$, $b = y - z$, $c = x + z$.
Подставляем в исходное выражение:
$a + b + c = (x - y) + (y - z) + (x + z)$
Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
$x - y + y - z + x + z = (x + x) + (-y + y) + (-z + z) = 2x + 0 + 0 = 2x$
Ответ: $2x$

б) В выражении $a - b - c$ заменим переменные $a$, $b$ и $c$ на соответствующие им выражения.
Дано: $a = x + y$, $b = y + z$, $c = x - z$.
Подставляем в исходное выражение:
$a - b - c = (x + y) - (y + z) - (x - z)$
Раскроем скобки. Обратите внимание, что знаки в скобках, перед которыми стоит минус, меняются на противоположные:
$x + y - y - z - x + z$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(x - x) + (y - y) + (-z + z) = 0 + 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$