Страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.41 Подставьте в выражение $ab$ вместо переменных $a$ и $b$ указанные выражения и выполните преобразования:

а) $a = 3xy, b = -2xy;$ б) $a = -0.1x, b = 20xz.$

а) Подставим в исходное выражение $ab$ заданные значения $a=3xy$ и $b=-2xy$.
$ab = (3xy) \cdot (-2xy)$
Для выполнения преобразования (упрощения) сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и переменные:
$ab = (3 \cdot (-2)) \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y)$
Вычисляем произведение коэффициентов: $3 \cdot (-2) = -6$.
Вычисляем произведение переменных, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$x \cdot x = x^1 \cdot x^1 = x^{1+1} = x^2$
$y \cdot y = y^1 \cdot y^1 = y^{1+1} = y^2$
Собираем все вместе:
$ab = -6x^2y^2$
Ответ: $-6x^2y^2$.

б) Подставим в исходное выражение $ab$ заданные значения $a=-0,1x$ и $b=20xz$.
$ab = (-0,1x) \cdot (20xz)$
Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и переменные:
$ab = (-0,1 \cdot 20) \cdot (x \cdot x) \cdot z$
Вычисляем произведение коэффициентов: $-0,1 \cdot 20 = -2$.
Вычисляем произведение переменных:
$x \cdot x = x^2$
Переменная $z$ остается без изменений.
Собираем все вместе:
$ab = -2x^2z$
Ответ: $-2x^2z$.

3.42 Подставьте в каждое из выражений $2x$, $x^2$, $x^3$ вместо переменной $x$ выражение $-y$ и упростите получившееся выражение.

2x
Подставим в выражение $2x$ вместо переменной $x$ выражение $-y$.
Получаем: $2 \cdot (-y)$.
Упростим, выполнив умножение:
$2 \cdot (-y) = -2y$.
Ответ: $-2y$

$x^2$
Подставим в выражение $x^2$ вместо переменной $x$ выражение $-y$.
Получаем: $(-y)^2$.
Упростим, возведя в квадрат. При возведении в четную степень (в данном случае 2) знак минус меняется на плюс, так как $(-1)^2 = 1$:
$(-y)^2 = (-1 \cdot y)^2 = (-1)^2 \cdot y^2 = 1 \cdot y^2 = y^2$.
Ответ: $y^2$

$x^3$
Подставим в выражение $x^3$ вместо переменной $x$ выражение $-y$.
Получаем: $(-y)^3$.
Упростим, возведя в куб. При возведении в нечетную степень (в данном случае 3) знак минус сохраняется, так как $(-1)^3 = -1$:
$(-y)^3 = (-1 \cdot y)^3 = (-1)^3 \cdot y^3 = -1 \cdot y^3 = -y^3$.
Ответ: $-y^3$

3.43 Составьте формулу для вычисления площади S фигуры (рис. 3.7, а, б).

а) $S = ab - 3cd$

б) $S = ab - 3cd$

Рис. 3.7

а)

Для того чтобы составить формулу для вычисления площади S фигуры, воспользуемся методом дополнения до прямоугольника.
1. Мысленно достроим фигуру до большого прямоугольника со сторонами a и b. Площадь этого полного прямоугольника вычисляется по формуле $S_{полный} = a \cdot b$.
2. Площадь исходной фигуры (S) будет равна площади полного прямоугольника за вычетом площади "вырезанной" части в правом верхнем углу.
3. Найдем площадь вырезанной части ($S_{вырез}$). Её можно разбить на два прямоугольника. Первый, примыкающий к правому краю, имеет ширину d и высоту, равную сумме двух вертикальных ступенек, то есть $c+c=2c$. Его площадь равна $d \cdot 2c = 2cd$. Второй прямоугольник имеет ширину d и высоту c. Его площадь равна $cd$.
4. Общая площадь вырезанной части составляет: $S_{вырез} = 2cd + cd = 3cd$.
5. Теперь найдем площадь исходной фигуры, вычитая площадь вырезанной части из площади полного прямоугольника: $S = S_{полный} - S_{вырез} = ab - 3cd$.

Ответ: $S = ab - 3cd$

б)

Для второй фигуры применим тот же метод.
1. Достроим фигуру до большого прямоугольника. Его высота равна a, а ширина — b. Площадь полного прямоугольника: $S_{полный} = a \cdot b$.
2. Найдем площадь вырезанной ступенчатой части в правом верхнем углу. Её можно разбить на три горизонтальных прямоугольника.
3. Верхний вырезанный прямоугольник имеет высоту d и ширину, равную сумме трех горизонтальных ступенек, то есть $c+c+c=3c$. Его площадь равна $d \cdot 3c = 3cd$. Средний прямоугольник имеет высоту d и ширину $2c$, его площадь — $2cd$. Нижний прямоугольник имеет высоту d и ширину c, его площадь — $cd$.
4. Общая площадь вырезанной части: $S_{вырез} = 3cd + 2cd + cd = 6cd$.
5. Площадь искомой фигуры S равна: $S = S_{полный} - S_{вырез} = ab - 6cd$.

Ответ: $S = ab - 6cd$