Номер 3.43, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.43 Составьте формулу для вычисления площади S фигуры (рис. 3.7, а, б).

а) $S = ab - 3cd$

б) $S = ab - 3cd$

Рис. 3.7

а)

Для того чтобы составить формулу для вычисления площади S фигуры, воспользуемся методом дополнения до прямоугольника.
1. Мысленно достроим фигуру до большого прямоугольника со сторонами a и b. Площадь этого полного прямоугольника вычисляется по формуле $S_{полный} = a \cdot b$.
2. Площадь исходной фигуры (S) будет равна площади полного прямоугольника за вычетом площади "вырезанной" части в правом верхнем углу.
3. Найдем площадь вырезанной части ($S_{вырез}$). Её можно разбить на два прямоугольника. Первый, примыкающий к правому краю, имеет ширину d и высоту, равную сумме двух вертикальных ступенек, то есть $c+c=2c$. Его площадь равна $d \cdot 2c = 2cd$. Второй прямоугольник имеет ширину d и высоту c. Его площадь равна $cd$.
4. Общая площадь вырезанной части составляет: $S_{вырез} = 2cd + cd = 3cd$.
5. Теперь найдем площадь исходной фигуры, вычитая площадь вырезанной части из площади полного прямоугольника: $S = S_{полный} - S_{вырез} = ab - 3cd$.

Ответ: $S = ab - 3cd$

б)

Для второй фигуры применим тот же метод.
1. Достроим фигуру до большого прямоугольника. Его высота равна a, а ширина — b. Площадь полного прямоугольника: $S_{полный} = a \cdot b$.
2. Найдем площадь вырезанной ступенчатой части в правом верхнем углу. Её можно разбить на три горизонтальных прямоугольника.
3. Верхний вырезанный прямоугольник имеет высоту d и ширину, равную сумме трех горизонтальных ступенек, то есть $c+c+c=3c$. Его площадь равна $d \cdot 3c = 3cd$. Средний прямоугольник имеет высоту d и ширину $2c$, его площадь — $2cd$. Нижний прямоугольник имеет высоту d и ширину c, его площадь — $cd$.
4. Общая площадь вырезанной части: $S_{вырез} = 3cd + 2cd + cd = 6cd$.
5. Площадь искомой фигуры S равна: $S = S_{полный} - S_{вырез} = ab - 6cd$.

Ответ: $S = ab - 6cd$