Страница 74 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.45 Какое из следующих равенств верно:

1) $a-(b+c-d) = a-b+c-d$;

2) $a-(b+c-d) = a-b-c-d$;

3) $a-(b+c-d) = a-b-c+d$?

Чтобы определить, какое из равенств является верным, необходимо раскрыть скобки в левой части выражения $a - (b + c - d)$.

Согласно правилу раскрытия скобок, если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. В выражении $(b + c - d)$ слагаемые имеют следующие знаки: $+b$, $+c$, $-d$.

Применим это правило:

$a - (b + c - d) = a - (+b) - (+c) - (-d) = a - b - c + d$

Теперь проанализируем каждое из предложенных равенств.

1) $a - (b + c - d) = a - b + c - d$

Мы получили, что $a - (b + c - d) = a - b - c + d$. Правая часть данного равенства, $a - b + c - d$, не совпадает с нашим результатом. Знаки перед слагаемыми $c$ и $d$ неверны. Равенство неверно.

Ответ: неверно.

2) $a - (b + c - d) = a - b - c - d$

Мы получили, что $a - (b + c - d) = a - b - c + d$. Правая часть данного равенства, $a - b - c - d$, не совпадает с нашим результатом. Знак перед слагаемым $d$ неверен. Равенство неверно.

Ответ: неверно.

3) $a - (b + c - d) = a - b - c + d$

Мы получили, что $a - (b + c - d) = a - b - c + d$. Правая часть этого равенства полностью совпадает с результатом, полученным после раскрытия скобок. Равенство верно.

Ответ: верно.

3.46 Раскройте скобки и упростите получившееся выражение:

а) $(x + y) + (y - x);$

б) $(a - b) - (a - b);$

в) $(c - d) - (c + d);$

г) $(u + v) - (v - u);$

д) $m - (n - p - m);$

е) $(a + b) - (b + c) - (a - c);$

ж) $(k + m) - (k - m) + (m - k);$

з) $(b + 1) - (a - 1) - (b - a).

а) Чтобы упростить выражение $(x+y)+(y-x)$, сначала раскроем скобки. Так как перед обеими скобками стоит знак «+», знаки слагаемых внутри скобок при раскрытии не меняются: $x+y+y-x$. Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью): $(x-x)+(y+y)$. Выполнив вычисления в каждой группе, получим $0+2y$, что равно $2y$.
Ответ: $2y$

б) В выражении $(a-b)-(a-b)$ раскроем скобки. Перед первой скобкой знак «+» (подразумевается), поэтому знаки не меняем. Перед второй скобкой стоит знак «-», поэтому все знаки внутри нее меняем на противоположные: $a-b-a+b$. Сгруппируем подобные слагаемые: $(a-a)+(-b+b)$. Результат сложения в каждой группе равен нулю: $0+0=0$.
Ответ: $0$

в) В выражении $(c-d)-(c+d)$ раскрываем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «-», поэтому знаки слагаемых внутри нее ($c$ и $d$) меняются на противоположные: $c-d-c-d$. Группируем подобные члены: $(c-c)+(-d-d)$. Выполняем вычисления: $c-c=0$ и $-d-d=-2d$. Итоговый результат: $0-2d=-2d$.
Ответ: $-2d$

г) Для упрощения выражения $(u+v)-(v-u)$ раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «-», поэтому знаки внутри нее меняются на противоположные: $u+v-v-(-u)$, что равно $u+v-v+u$. Сгруппируем подобные слагаемые: $(u+u)+(v-v)$. Вычисляем сумму в каждой группе: $2u+0=2u$.
Ответ: $2u$

д) В выражении $m-(n-p-m)$ раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак «-», знаки всех членов внутри скобок ($n, -p, -m$) изменятся на противоположные: $m-n+p+m$. Сгруппируем подобные слагаемые: $(m+m)-n+p$. Выполнив сложение, получим $2m-n+p$.
Ответ: $2m-n+p$

е) В выражении $(a+b)-(b+c)-(a-c)$ раскроем все скобки. Перед второй и третьей скобками стоит знак «-», поэтому знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные: $a+b-b-c-a+c$. Сгруппируем подобные слагаемые: $(a-a)+(b-b)+(-c+c)$. Вычисления дают $0+0+0=0$.
Ответ: $0$

ж) Упростим выражение $(k+m)-(k-m)+(m-k)$. Раскрываем скобки. Перед второй скобкой стоит «-» (меняем знаки), перед третьей — «+» (сохраняем знаки): $k+m-k+m+m-k$. Группируем подобные слагаемые: $(k-k-k)+(m+m+m)$. Вычисляем и получаем $-k+3m$. Для удобства записи можно поменять слагаемые местами: $3m-k$.
Ответ: $3m-k$

з) В выражении $(b+1)-(a-1)-(b-a)$ раскроем скобки. Перед второй и третьей скобками стоит знак «-», поэтому знаки всех членов внутри них меняем на противоположные: $b+1-a+1-b+a$. Сгруппируем подобные слагаемые: $(b-b)+(-a+a)+(1+1)$. Выполняем вычисления: $0+0+2=2$.
Ответ: $2$

3.47 РАССУЖДАЕМ Восстановите сумму в скобках:

а) $x - (...) = x - a + b - c;$

б) $x - y = (x - a) + (...).$

а) Чтобы найти выражение в скобках, обозначим его за $Y$. Исходное уравнение выглядит так: $x - Y = x - a + b - c$.

Наша цель — выразить $Y$. Для этого сначала вычтем $x$ из обеих частей равенства:

$x - Y - x = x - a + b - c - x$

$-Y = -a + b - c$

Теперь умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $Y$. При этом знаки всех слагаемых в правой части изменятся на противоположные:

$Y = -(-a + b - c)$

$Y = a - b + c$

Таким образом, выражение в скобках — это $a - b + c$. Проверим, подставив его в исходное равенство:

$x - (a - b + c) = x - a + b - c$

Равенство выполняется.

Ответ: $a - b + c$

б) Обозначим искомое выражение в скобках за $Z$. Исходное уравнение: $x - y = (x - a) + Z$.

Чтобы найти $Z$, нужно из левой части уравнения вычесть выражение $(x - a)$:

$Z = (x - y) - (x - a)$

Теперь раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:

$Z = x - y - x + a$

Приведем подобные слагаемые ($x$ и $-x$ взаимно уничтожаются):

$Z = -y + a$

Для удобства записи можно поменять слагаемые местами: $Z = a - y$.

Проверим, подставив найденное выражение в исходное равенство:

$(x - a) + (a - y) = x - a + a - y = x - y$

Равенство выполняется.

Ответ: $a - y$

3.48 Запишите и упростите сумму:

а) трёх последовательных натуральных чисел, начиная с числа $n$;

б) пяти последовательных натуральных чисел, начиная с $n$;

в) трёх последовательных натуральных чисел, среднее из которых равно $n$;

г) пяти последовательных натуральных чисел, среднее из которых равно $n$.

а) Три последовательных натуральных числа, начиная с числа $n$, можно записать как $n$, $n+1$ и $n+2$.
Найдём их сумму:
$S = n + (n+1) + (n+2)$
Теперь упростим полученное выражение, раскрыв скобки и сгруппировав подобные слагаемые:
$S = n + n + 1 + n + 2 = (n + n + n) + (1 + 2) = 3n + 3$.
Ответ: $3n + 3$.

б) Пять последовательных натуральных чисел, начиная с числа $n$, можно записать как $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$ и $n+4$.
Найдём их сумму:
$S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)$
Упростим выражение:
$S = (n + n + n + n + n) + (1 + 2 + 3 + 4) = 5n + 10$.
Ответ: $5n + 10$.

в) Если среднее из трёх последовательных натуральных чисел равно $n$, то это число находится посередине. Предыдущее число будет на единицу меньше ($n-1$), а следующее — на единицу больше ($n+1$).
Таким образом, три последовательных числа — это $(n-1)$, $n$ и $(n+1)$. (При этом $n$ должно быть натуральным числом, большим или равным 2, чтобы $n-1$ было натуральным).
Найдём их сумму:
$S = (n-1) + n + (n+1)$
Упростим выражение:
$S = n - 1 + n + n + 1 = (n + n + n) + (-1 + 1) = 3n$.
Ответ: $3n$.

г) Если среднее из пяти последовательных натуральных чисел равно $n$, то это число является третьим в последовательности. Два предыдущих числа — это $(n-2)$ и $(n-1)$, а два последующих — $(n+1)$ и $(n+2)$.
Таким образом, пять последовательных чисел — это $(n-2)$, $(n-1)$, $n$, $(n+1)$ и $(n+2)$. (При этом $n$ должно быть натуральным числом, большим или равным 3, чтобы $n-2$ было натуральным).
Найдём их сумму:
$S = (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2)$
Упростим выражение:
$S = (n+n+n+n+n) + (-2 - 1 + 1 + 2) = 5n$.
Ответ: $5n$.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (3.49–3.51)

3.49 а) Чему равен периметр прямоугольника, одна сторона которого равна $x$ см, а другая — на 2 см больше? На 3 см меньше?

б) Чему равен периметр треугольника, одна сторона которого равна $a$ см, вторая — на 1 см больше первой, а третья — на 2 см меньше второй?

а)

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$, где $l$ и $w$ — длины его смежных сторон. По условию, одна сторона равна $x$ см. В задаче рассматриваются два случая для второй стороны.

Случай 1: вторая сторона на 2 см больше.
В этом случае длина второй стороны составляет $(x + 2)$ см.
Периметр прямоугольника равен:
$P = 2 \cdot (x + (x + 2)) = 2 \cdot (2x + 2) = 4x + 4$ см.

Случай 2: вторая сторона на 3 см меньше.
В этом случае длина второй стороны составляет $(x - 3)$ см.
Периметр прямоугольника равен:
$P = 2 \cdot (x + (x - 3)) = 2 \cdot (2x - 3) = 4x - 6$ см.

Ответ: $(4x + 4)$ см; $(4x - 6)$ см.

б)

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, $P = s_1 + s_2 + s_3$.

Определим длины сторон треугольника согласно условию задачи:
Первая сторона: $s_1 = a$ см.
Вторая сторона (на 1 см больше первой): $s_2 = a + 1$ см.
Третья сторона (на 2 см меньше второй): $s_3 = s_2 - 2 = (a + 1) - 2 = a - 1$ см.

Теперь найдем периметр, сложив длины всех сторон:
$P = s_1 + s_2 + s_3 = a + (a + 1) + (a - 1) = a + a + 1 + a - 1 = 3a$ см.

Ответ: $3a$ см.

3.50 a) На первой полке стоят $x$ книг, на второй — на 3 книги больше, а на третьей — на 5 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на трёх полках? Ответьте на вопрос при $x = 15$; $x = 23$.

б) В первом книжном шкафу $a$ книг, во втором — на 15 книг меньше, а в третьем — на 40 книг больше, чем во втором. Сколько книг в трёх шкафах? Ответьте на вопрос при $a = 120$; $a = 95$.

Обозначим количество книг на каждой из трёх полок.

На первой полке, согласно условию, стоит $x$ книг.

На второй полке на 3 книги больше, чем на первой, следовательно, на ней $(x + 3)$ книг.

На третьей полке на 5 книг меньше, чем на первой, следовательно, на ней $(x - 5)$ книг.

Чтобы найти общее количество книг на трёх полках, сложим количество книг на каждой полке. Составим выражение:

$x + (x + 3) + (x - 5)$

Теперь упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$x + x + 3 + x - 5 = (x + x + x) + (3 - 5) = 3x - 2$

Таким образом, общее количество книг на трёх полках выражается формулой $3x - 2$.

Теперь найдём конкретное количество книг для заданных значений $x$.

При $x = 15$:

$3 \cdot 15 - 2 = 45 - 2 = 43$ (книги).

При $x = 23$:

$3 \cdot 23 - 2 = 69 - 2 = 67$ (книг).

Ответ: всего на трёх полках $3x - 2$ книги; при $x = 15$ на полках 43 книги, при $x = 23$ — 67 книг.

Обозначим количество книг в каждом из трёх шкафов.

В первом шкафу, согласно условию, находится $a$ книг.

Во втором шкафу на 15 книг меньше, чем в первом, следовательно, в нём $(a - 15)$ книг.

В третьем шкафу на 40 книг больше, чем во втором, следовательно, в нём $(a - 15) + 40$ книг. Упростим это выражение: $a - 15 + 40 = a + 25$ книг.

Чтобы найти общее количество книг в трёх шкафах, сложим количество книг в каждом шкафу. Составим выражение:

$a + (a - 15) + (a + 25)$

Теперь упростим полученное выражение:

$a + a - 15 + a + 25 = (a + a + a) + (-15 + 25) = 3a + 10$

Таким образом, общее количество книг в трёх шкафах выражается формулой $3a + 10$.

Теперь найдём конкретное количество книг для заданных значений $a$.

При $a = 120$:

$3 \cdot 120 + 10 = 360 + 10 = 370$ (книг).

При $a = 95$:

$3 \cdot 95 + 10 = 285 + 10 = 295$ (книг).

Ответ: всего в трёх шкафах $3a + 10$ книг; при $a = 120$ в шкафах 370 книг, при $a = 95$ — 295 книг.

3.51 a) Два велосипедиста едут навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый до встречи проехал $l$ км, а второй — на $m$ км больше. Чему равно расстояние между А и В?

б) Расстояние между пунктами $s$ км. Турист идёт из одного пункта в другой. Пройдя $x$ км, что составило большую часть пути, он сделал остановку. Сколько километров ему осталось пройти? На сколько километров оставшееся расстояние меньше пройденного?

а)

Пусть $S_1$ — расстояние, которое проехал первый велосипедист, а $S_2$ — расстояние, которое проехал второй.
Согласно условию, $S_1 = l$ км.
Второй велосипедист проехал на $m$ км больше, чем первый, следовательно, его расстояние равно $S_2 = l + m$ км.
Расстояние между пунктами A и B равно сумме расстояний, которые преодолел каждый велосипедист до встречи. Обозначим искомое расстояние как $S_{AB}$.
$S_{AB} = S_1 + S_2 = l + (l + m) = 2l + m$ км.
Ответ: расстояние между А и В равно $2l + m$ км.

б)

Общее расстояние между пунктами составляет $s$ км. Турист прошёл $x$ км.
Чтобы найти, сколько километров ему осталось пройти, необходимо из общего расстояния вычесть пройденное:
Оставшееся расстояние = $s - x$ км.
Чтобы найти, на сколько километров оставшееся расстояние меньше пройденного, нужно из пройденного расстояния вычесть оставшееся. По условию, пройденный путь $x$ — это большая часть, значит $x > s - x$.
Разница = (пройденное расстояние) - (оставшееся расстояние) = $x - (s - x) = x - s + x = 2x - s$ км.
Ответ: туристу осталось пройти $s - x$ км; оставшееся расстояние меньше пройденного на $2x - s$ км.