Страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.20 Замените выражение равным, не содержащим скобок:

а) $a + (-b);$

б) $a - (-b);$

в) $-c + (-a);$

г) $-x - (-y);$

д) $a - (-b) + (-c);$

е) $-x + (-y) + (-z) - d;$

ж) $a - c - (-b) - (-d);$

з) $a - (-x) + (-y) - (-c).$

Подсказка. Знак «—» перед скобкой означает вычитание; замените вычитание сложением.

а) В выражении $a + (-b)$ сложение отрицательного числа эквивалентно вычитанию положительного. Знак «+» перед скобкой позволяет убрать скобки, сохранив знак слагаемого внутри них.
$a + (-b) = a - b$.
Ответ: $a - b$

б) В выражении $a - (-b)$ вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению положительного. Знак «-» перед скобкой меняет знак слагаемого внутри скобок на противоположный.
$a - (-b) = a + b$.
Ответ: $a + b$

в) В выражении $-c + (-a)$ знак «+» перед скобкой не меняет знак слагаемого внутри нее.
$-c + (-a) = -c - a$.
Ответ: $-c - a$

г) В выражении $-x - (-y)$ знак «-» перед скобкой меняет знак слагаемого внутри нее на противоположный.
$-x - (-y) = -x + y$.
Ответ: $-x + y$

д) В выражении $a - (-b) + (-c)$ раскрываем скобки последовательно. Знак «-» перед скобкой $(-b)$ меняет ее знак на «+». Знак «+» перед скобкой $(-c)$ оставляет знак «-».
$a - (-b) + (-c) = a + b - c$.
Ответ: $a + b - c$

е) В выражении $-x + (-y) + (-z) - d$ знаки «+» перед скобками не меняют знаки слагаемых внутри них.
$-x + (-y) + (-z) - d = -x - y - z - d$.
Ответ: $-x - y - z - d$

ж) В выражении $a - c - (-b) - (-d)$ знаки «-» перед скобками меняют знаки слагаемых внутри них на противоположные.
$a - c - (-b) - (-d) = a - c + b + d$.
Ответ: $a - c + b + d$

з) В выражении $a - (-x) + (-y) - (-c)$ раскрываем скобки, учитывая знаки перед ними. Знак «-» меняет знак в скобке на противоположный, а знак «+» — сохраняет.
$a - (-x) + (-y) - (-c) = a + x - y + c$.
Ответ: $a + x - y + c$

3.21 Преобразуйте выражение в равное, изменив каким-либо способом порядок слагаемых:

а) $a + b + c;$

б) $-x + y - z;$

в) $x - a - c + d;$

г) $7 + 2a - 5c;$

д) $b - 3d + 10;$

е) $-5m + 3n - 1.$

Задача состоит в том, чтобы применить переместительное свойство сложения, которое гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a + b = b + a$). Вычитание можно рассматривать как сложение с отрицательным числом ($a - b = a + (-b)$), поэтому члены выражения можно свободно переставлять вместе с их знаками.

а) В выражении $a + b + c$ три слагаемых. Согласно переместительному свойству сложения, мы можем поменять их местами. Например, поменяем местами $b$ и $c$.

$a + b + c = a + c + b$

Ответ: $a + c + b$.

б) В выражении $-x + y - z$ слагаемыми являются $-x$, $y$ и $-z$. Их можно переставлять. Например, если поставить положительное слагаемое $y$ на первое место, получим:

$-x + y - z = y - x - z$

Ответ: $y - x - z$.

в) Выражение $x - a - c + d$ является суммой слагаемых $x$, $-a$, $-c$ и $d$. Переставим их, например, сгруппировав положительные слагаемые вместе в начале:

$x - a - c + d = x + d - a - c$

Ответ: $x + d - a - c$.

г) Слагаемые в выражении $7 + 2a - 5c$ это $7$, $2a$ и $-5c$. Изменим их порядок, чтобы выражение начиналось с члена, содержащего переменную $a$:

$7 + 2a - 5c = 2a + 7 - 5c$

Ответ: $2a + 7 - 5c$.

д) В выражении $b - 3d + 10$ переставим слагаемые $b$, $-3d$ и $10$. Например, поставим на первое место свободный член $10$:

$b - 3d + 10 = 10 + b - 3d$

Ответ: $10 + b - 3d$.

е) Выражение $-5m + 3n - 1$ является суммой слагаемых $-5m$, $3n$ и $-1$. Поменяем их порядок, начав с положительного слагаемого $3n$:

$-5m + 3n - 1 = 3n - 5m - 1$

Ответ: $3n - 5m - 1$.

3.22 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО В каком случае преобразование выражения $a-b+c-d$ выполнено неверно?

1) $a-b+c-d = a+c-b-d$
2) $a-b+c-d = a-d+c-b$
3) $a-b+c-d = -b+a-d+c$
4) $a-b+c-d = b-a-d+c$

Чтобы найти неверно выполненное преобразование выражения $a - b + c - d$, проанализируем каждое из предложенных равенств. Исходное выражение является алгебраической суммой слагаемых: $(+a)$, $(-b)$, $(+c)$ и $(-d)$. По переместительному закону сложения мы можем менять слагаемые местами, не изменяя их знаков.

В правой части равенства $a + c - b - d$ находятся слагаемые $+a$, $+c$, $-b$, $-d$. Это те же слагаемые, что и в левой части, но в другом порядке. Знаки при всех переменных сохранены. Следовательно, преобразование выполнено верно.

В правой части $a - d + c - b$ находятся слагаемые $+a$, $-d$, $+c$, $-b$. Сравнивая с исходными слагаемыми $+a$, $-b$, $+c$, $-d$, видим, что это та же группа слагаемых, просто переставленных местами. Преобразование выполнено верно.

В правой части $-b + a - d + c$ находятся слагаемые $-b$, $+a$, $-d$, $+c$. Это снова те же слагаемые, что и в исходном выражении, с теми же знаками, но в другой последовательности. Преобразование выполнено верно.

В правой части $b - a - d + c$ находятся слагаемые $+b$, $-a$, $-d$, $+c$. Сравним их с исходными слагаемыми: $+a$, $-b$, $+c$, $-d$. В этом случае знаки при переменных $a$ и $b$ изменены на противоположные: было $+a$, стало $-a$; было $-b$, стало $+b$. Так как знаки были изменены, равенство в общем случае неверно. Следовательно, преобразование выполнено неверно. Для примера, пусть $a=2$ и $b=1$, тогда $a-b = 2-1 = 1$, а $b-a = 1-2 = -1$.

Ответ: 4

3.23 Для каждого выражения из первой строки найдите равное ему выражение из второй строки.

А) $m+m+m$Б) $m+m+m+m+m$В) $mmm$Г) $mmmmm$

1) $m+5$2) $m^3$3) $5m$4) $m^5$5) $m+3$6) $3m$

А) Выражение $m + m + m$ представляет собой сумму трех одинаковых слагаемых $m$. По определению умножения, такая сумма равна произведению числа слагаемых на само слагаемое. Таким образом, $m + m + m = 3 \times m = 3m$. В второй строке этому выражению соответствует выражение под номером 6.
Ответ: 6) $3m$

Б) Выражение $m + m + m + m + m$ представляет собой сумму пяти одинаковых слагаемых $m$. По аналогии с предыдущим пунктом, это можно записать как произведение числа 5 на слагаемое $m$. Таким образом, $m + m + m + m + m = 5 \times m = 5m$. В второй строке этому выражению соответствует выражение под номером 3.
Ответ: 3) $5m$

В) Выражение $mmm$ представляет собой произведение трех одинаковых множителей $m$. По определению степени, такое произведение равно основанию $m$ в степени, равной количеству множителей. Таким образом, $mmm = m \times m \times m = m^3$. В второй строке этому выражению соответствует выражение под номером 2.
Ответ: 2) $m^3$

Г) Выражение $mmmmm$ представляет собой произведение пяти одинаковых множителей $m$. По определению степени, это можно записать как основание $m$ в пятой степени. Таким образом, $mmmmm = m \times m \times m \times m \times m = m^5$. В второй строке этому выражению соответствует выражение под номером 4.
Ответ: 4) $m^5$

3.24 Чему равен периметр фигуры, изображённой на рисунке 3.5, а, б?

а) $4a + 8b$

б) $6a + 8b + 2c$

Рис. 3.5

а) Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. Чтобы найти периметр фигуры, изображенной на рисунке а, необходимо посчитать количество сторон каждого размера и сложить их длины. У данной фигуры есть 4 стороны длиной $a$ и 8 сторон длиной $b$. Таким образом, формула для вычисления периметра $P_a$ будет следующей:
$P_a = (a + a + a + a) + (b + b + b + b + b + b + b + b) = 4a + 8b$.
Ответ: $4a + 8b$.

б) Для фигуры на рисунке б поступим аналогичным образом. Периметр $P_б$ — это сумма длин всех ее сторон. Фигура состоит из отрезков трех разных длин: 6 сторон длиной $a$, 4 стороны длиной $b$ и 2 стороны длиной $c$. Сложим длины всех этих сторон, чтобы найти общий периметр:
$P_б = (a+a+a+a+a+a) + (b+b+b+b) + (c+c) = 6a + 4b + 2c$.
Ответ: $6a + 4b + 2c$.

3.25 Из проволоки нужно согнуть каркас прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.6, а, б). Составьте выражение для вычисления длины проволоки, которая для этого потребуется.

а) $12x$

б) $8x + 4y$

Рис. 3.6

а) На рисунке а изображен каркас куба. Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения (длина, ширина и высота) равны. В данном случае все ребра куба имеют длину $x$. У куба 12 ребер. Чтобы найти общую длину проволоки, необходимой для изготовления каркаса, нужно умножить количество ребер на длину одного ребра.
Общая длина $L$ равна:
$L = 12 \cdot x = 12x$
Ответ: $12x$.

б) На рисунке б изображен каркас прямоугольного параллелепипеда. У этого параллелепипеда длина и ширина основания равны $x$, а высота равна $y$. Прямоугольный параллелепипед имеет 12 ребер. Их можно сгруппировать по длине:
- Ребра оснований (верхнего и нижнего). Всего их 8 штук, и длина каждого равна $x$. Их суммарная длина составляет $8 \cdot x = 8x$.
- Вертикальные ребра (боковые). Всего их 4 штуки, и длина каждого равна $y$. Их суммарная длина составляет $4 \cdot y = 4y$.
Общая длина проволоки $L$ равна сумме длин всех ребер:
$L = 8x + 4y$
Выражение также можно записать, вынеся общий множитель за скобки: $L = 4(2x + y)$.
Ответ: $8x + 4y$.