Страница 64 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.6 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Запишите с помощью букв свойство арифметического действия, которое зашифровано данными равенствами:

а) $6 \cdot 0 = 0,$

$1,8 \cdot 0 = 0,$

$-7 \cdot 0 = 0;$

б) $-1 \cdot 36 = -36,$

$0,5 \cdot (-1) = -0,5,$

$-3 \cdot (-1) = 3;$

в) $12 \cdot 1 = 12,$

$1 \cdot (-8) = -8,$

$1 \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{7};$

г) $1,7 + 0 = 1,7,$

$-6 + 0 = -6,$

$\frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3};$

В данном пункте приведены примеры умножения различных чисел (целого положительного $6$, десятичной дроби $1,8$ и целого отрицательного $-7$) на ноль. Во всех случаях результатом является ноль. Это иллюстрирует свойство умножения любого числа на ноль: произведение любого числа и нуля равно нулю.

Если обозначить произвольное число буквой $a$, то это свойство можно записать в виде следующего равенства:

Ответ: $a \cdot 0 = 0$

В примерах показано умножение различных чисел на $-1$. При умножении числа на $-1$ оно меняется на противоположное: положительное число $36$ становится отрицательным $-36$, положительная дробь $0,5$ становится отрицательной $-0,5$, а отрицательное число $-3$ становится положительным $3$. Это свойство умножения на минус единицу.

Если обозначить любое число буквой $a$, а противоположное ему число как $-a$, то данное свойство можно записать в виде формулы:

Ответ: $a \cdot (-1) = -a$

Здесь представлены примеры умножения различных чисел (целого положительного $12$, целого отрицательного $-8$ и обыкновенной дроби $\frac{2}{7}$) на единицу. Во всех случаях число в результате не изменяется. Это иллюстрирует свойство умножения на единицу. Число $1$ является нейтральным элементом для операции умножения.

Если обозначить любое число буквой $a$, то это свойство можно записать следующим равенством:

Ответ: $a \cdot 1 = a$

В этом пункте приведены примеры сложения различных чисел (десятичной дроби $1,7$, целого отрицательного $-6$ и обыкновенной дроби $\frac{1}{3}$) с нулём. В результате сложения с нулём число не меняется. Это свойство сложения с нулём. Число $0$ является нейтральным элементом для операции сложения.

Если обозначить любое число буквой $a$, то это свойство можно записать в виде формулы:

Ответ: $a + 0 = a$

3.7 Приведите три числовых примера, иллюстрирующие буквенное равенство:

а) $\frac{y}{y} = 1$;

б) $a + (-a) = 0$;

в) $-(-x) = x.$

а) Данное равенство $\frac{y}{y} = 1$ иллюстрирует свойство деления числа на само себя. Это верно для любого числа $y$, кроме нуля ($y \neq 0$). Приведем три примера:

1. Пусть $y = 8$. Подставим это значение в равенство: $\frac{8}{8} = 1$. Равенство выполняется.

2. Пусть $y = -15$. Подставим это значение в равенство: $\frac{-15}{-15} = 1$. Равенство выполняется, так как деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное.

3. Пусть $y = 2.5$. Подставим это значение в равенство: $\frac{2.5}{2.5} = 1$. Равенство выполняется.

Ответ: $\frac{8}{8}=1$; $\frac{-15}{-15}=1$; $\frac{2.5}{2.5}=1$.

б) Данное равенство $a + (-a) = 0$ иллюстрирует свойство суммы противоположных чисел. Сумма любого числа и числа, ему противоположного, всегда равна нулю. Приведем три примера:

1. Пусть $a = 12$. Тогда противоположное ему число $-a = -12$. Подставим в равенство: $12 + (-12) = 12 - 12 = 0$. Равенство выполняется.

2. Пусть $a = -7$. Тогда противоположное ему число $-a = -(-7) = 7$. Подставим в равенство: $(-7) + 7 = 0$. Равенство выполняется.

3. Пусть $a = \frac{1}{3}$. Тогда противоположное ему число $-a = -\frac{1}{3}$. Подставим в равенство: $\frac{1}{3} + (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0$. Равенство выполняется.

Ответ: $12 + (-12)=0$; $(-7) + 7=0$; $\frac{1}{3} + (-\frac{1}{3})=0$.

в) Данное равенство $-(-x) = x$ иллюстрирует свойство двойного отрицания. Число, противоположное противоположному числу $x$, равно самому числу $x$. Приведем три примера:

1. Пусть $x = 25$. Подставим в равенство: $-(-25)$. Противоположным числу $-25$ является $25$. Таким образом, $-(-25) = 25$. Равенство выполняется.

2. Пусть $x = -9$. Подставим в равенство: $-(-(-9))$. Сначала находим $-(-9)$, что равно $9$. Затем находим число, противоположное $9$, что равно $-9$. Таким образом, $-(-(-9)) = -9$. Равенство выполняется.

3. Пусть $x = 0$. Подставим в равенство: $-(-0)$. Число, противоположное $0$, есть $0$. Таким образом, $-(-0) = -(0) = 0$. Равенство выполняется.

Ответ: $-(-25)=25$; $-(-(-9))=-9$; $-(-0)=0$.

3.8 Как можно устно умножить какое-нибудь число на 1,5? Запишите соответствующее правило с помощью букв.

Как можно устно умножить какое-нибудь число на 1,5?

Чтобы устно умножить какое-либо число на 1,5, нужно к этому числу прибавить его половину. Этот способ очень удобен для вычислений в уме, так как найти половину числа (разделить на 2) и выполнить сложение обычно проще, чем умножать на десятичную дробь.

Например, чтобы умножить 84 на 1,5:
1. Находим половину от 84: $84 \div 2 = 42$.
2. Прибавляем эту половину к исходному числу: $84 + 42 = 126$.
Результат: $84 \cdot 1,5 = 126$.

Запишите соответствующее правило с помощью букв.

Это правило можно легко вывести математически. Представим число 1,5 в виде суммы $1 + 0,5$. Пусть $a$ — это произвольное число. Применяя распределительный закон умножения, получаем следующее выражение:
$a \cdot 1,5 = a \cdot (1 + 0,5) = a \cdot 1 + a \cdot 0,5$

Поскольку умножение на 0,5 равносильно делению на 2, то $a \cdot 0,5 = \frac{a}{2}$. Таким образом, правило, записанное с помощью букв, выглядит так:
$a \cdot 1,5 = a + \frac{a}{2}$

Ответ: Чтобы устно умножить число на 1,5, нужно к этому числу прибавить его половину. Соответствующее правило, записанное с помощью букв: $a \cdot 1,5 = a + \frac{a}{2}$.

3.9 Запишите с помощью букв правило, которое зашифровано данными равенствами:

а) $\frac{1}{7} + \frac{3}{7} = \frac{1+3}{7},$
$\frac{2}{11} + \frac{6}{11} = \frac{2+6}{11},$
$\frac{3}{2} + \frac{9}{2} = \frac{3+9}{2};$

б) $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2-1}{3},$
$\frac{5}{12} - \frac{8}{12} = \frac{5-8}{12},$
$\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3-1}{5};$

в) $\frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{2 \cdot 4}{3},$
$\frac{5}{8} \cdot 13 = \frac{5 \cdot 13}{8},$
$\frac{4}{3} \cdot 12 = \frac{4 \cdot 12}{3};$

г) $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 7},$
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3},$
$\frac{11}{5} \cdot \frac{2}{9} = \frac{11 \cdot 2}{5 \cdot 9}.$

а) Данные равенства иллюстрируют правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Обозначим первую дробь как $ \frac{a}{c} $, а вторую как $ \frac{b}{c} $. Тогда правило в буквенном виде будет выглядеть следующим образом.

Ответ: $ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $

б) Здесь зашифровано правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Чтобы из одной дроби вычесть другую с таким же знаменателем, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним. Если представить дроби в виде $ \frac{a}{c} $ и $ \frac{b}{c} $, то формула для этого правила будет такой.

Ответ: $ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $

в) В этих примерах показано правило умножения дроби на целое число. Чтобы умножить дробь на число, нужно ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений. Обозначим дробь как $ \frac{a}{b} $, а целое число как $ n $. В виде формулы это правило записывается так.

Ответ: $ \frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b} $

г) Эти равенства показывают правило деления одной дроби на другую. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Другими словами, числитель первой дроби умножается на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби — на числитель второй. Для дробей $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $ правило выглядит следующим образом.

Ответ: $ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $

3.10 Выполните действия с дробями, записанными в буквенном виде:

а) $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c}$;

б) $\frac{m}{n} : \frac{a}{n}$;

в) $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}$;

г) $\frac{a}{b} \cdot bc$;

д) $(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c}) : \frac{a}{c}$;

е) $(\frac{m}{n} : \frac{m}{a}) : \frac{a}{b}$.

а) Чтобы умножить две дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{b \cdot c}$

Сокращаем общий множитель $b$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a \cdot \cancel{b}}{\cancel{b} \cdot c} = \frac{a}{c}$

Ответ: $\frac{a}{c}$

б) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$\frac{m}{n} \div \frac{a}{n} = \frac{m}{n} \cdot \frac{n}{a} = \frac{m \cdot n}{n \cdot a}$

Сокращаем общий множитель $n$ в числителе и знаменателе:

$\frac{m \cdot \cancel{n}}{\cancel{n} \cdot a} = \frac{m}{a}$

Ответ: $\frac{m}{a}$

в) Умножаем числители и знаменатели дробей.

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a}$

Так как от перемены мест множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$), числитель и знаменатель равны. Сокращаем общие множители $a$ и $b$.

$\frac{\cancel{a} \cdot \cancel{b}}{\cancel{b} \cdot \cancel{a}} = 1$

Ответ: $1$

г) Чтобы умножить дробь на выражение, можно представить это выражение в виде дроби со знаменателем 1.

$\frac{a}{b} \cdot bc = \frac{a}{b} \cdot \frac{bc}{1} = \frac{a \cdot bc}{b \cdot 1}$

Сокращаем общий множитель $b$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a \cdot \cancel{b}c}{\cancel{b}} = ac$

Ответ: $ac$

д) Сначала выполним действие в скобках (умножение), а затем деление.

1. Умножение в скобках:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{b \cdot c} = \frac{a}{c}$

2. Деление:

$\frac{a}{c} \div \frac{a}{c}$

Любое выражение (кроме нуля), разделенное на само себя, равно 1. Также можно выполнить деление, умножив на обратную дробь:

$\frac{a}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{a \cdot c}{c \cdot a} = 1$

Ответ: $1$

е) Выполняем действия последовательно, начиная с операции в скобках.

1. Деление в скобках:

$\frac{m}{n} \div \frac{m}{a} = \frac{m}{n} \cdot \frac{a}{m} = \frac{m \cdot a}{n \cdot m}$

Сокращаем общий множитель $m$:

$\frac{\cancel{m} \cdot a}{n \cdot \cancel{m}} = \frac{a}{n}$

2. Второе деление:

$\frac{a}{n} \div \frac{a}{b} = \frac{a}{n} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{n \cdot a}$

Сокращаем общий множитель $a$:

$\frac{\cancel{a} \cdot b}{n \cdot \cancel{a}} = \frac{b}{n}$

Ответ: $\frac{b}{n}$