Страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Какие величины называют прямо пропорциональными? Приведите примеры прямо пропорциональных величин. Запишите общую формулу прямо пропорциональной зависимости.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Это означает, что отношение соответствующих значений таких величин постоянно. Это постоянное число называют коэффициентом пропорциональности.

Ответ: Прямо пропорциональными называют две величины, при увеличении (уменьшении) одной из которых в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Примерами прямо пропорциональных величин являются:

• Пройденный путь и время движения при постоянной скорости. Если скорость объекта не меняется, то путь $s$ прямо пропорционален времени $t$. Формула: $s = v \cdot t$, где $v$ — постоянная скорость. Увеличив время движения вдвое, мы увеличим пройденный путь также вдвое.
• Стоимость товара и его количество при постоянной цене. Общая стоимость покупки $C$ прямо пропорциональна количеству товара $n$, если цена за единицу товара $p$ постоянна. Формула: $C = p \cdot n$. Покупая в три раза больше яблок, мы заплатим в три раза больше.
• Периметр квадрата и длина его стороны. Периметр квадрата $P$ прямо пропорционален длине его стороны $a$. Формула: $P = 4a$. Если увеличить сторону квадрата в 5 раз, его периметр также увеличится в 5 раз.

Ответ: Примеры: 1) пройденный путь и время движения при постоянной скорости; 2) стоимость товара и его количество при постоянной цене; 3) периметр квадрата и длина его стороны.

Прямо пропорциональная зависимость между двумя переменными величинами $y$ и $x$ описывается общей формулой:

$y = kx$

В этой формуле:

• $y$ и $x$ — это зависимые друг от друга переменные величины.
• $k$ — это постоянное, не равное нулю число ($k \ne 0$), которое называется коэффициентом пропорциональности.

Из данной формулы также следует, что отношение прямо пропорциональных величин постоянно и равно коэффициенту пропорциональности: $\frac{y}{x} = k$.

Ответ: $y = kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности ($k \ne 0$).

2 Сформулируйте свойство прямо пропорциональных величин. Для зависимости пути от времени движения, рассмотренной в объяснительном тексте п. 2.2, назовите переменные величины, постоянную величину. Чему равно отношение соответственных значений пропорциональных величин? Чему равен коэффициент пропорциональности?

Сформулируйте свойство прямо пропорциональных величин.
Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Если величины $y$ и $x$ прямо пропорциональны, их зависимость выражается формулой $y = kx$, где $k$ — постоянное число, называемое коэффициентом пропорциональности. Основное свойство прямо пропорциональных величин заключается в том, что отношение их соответственных значений постоянно. То есть, если $y_1$ соответствует $x_1$, а $y_2$ соответствует $x_2$, то их отношение $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k$.
Ответ: Основное свойство прямо пропорциональных величин заключается в том, что отношение их соответственных значений является постоянной величиной.

Для зависимости пути от времени движения, рассмотренной в объяснительном тексте п. 2.2, назовите переменные величины, постоянную величину.
Зависимость пройденного пути $s$ от времени движения $t$ при постоянной скорости $v$ описывается формулой $s = v \cdot t$. В этой зависимости путь $s$ и время $t$ — это величины, которые изменяются в процессе движения, поэтому они являются переменными. Скорость $v$ в данном контексте (для равномерного движения) считается неизменной, следовательно, она является постоянной величиной.
Ответ: Переменные величины — пройденный путь ($s$) и время движения ($t$). Постоянная величина — скорость ($v$).

Чему равно отношение соответственных значений пропорциональных величин?
В рассматриваемой зависимости пропорциональными величинами являются путь $s$ и время $t$. Их отношение можно найти из формулы $s = v \cdot t$. Если разделить обе части уравнения на $t$ (при $t \ne 0$), получим $\frac{s}{t} = v$. Так как скорость $v$ является постоянной величиной, то и отношение пути ко времени постоянно и равно скорости.
Ответ: Отношение соответственных значений пропорциональных величин (пути ко времени) равно постоянной скорости движения $v$.

Чему равен коэффициент пропорциональности?
Коэффициент пропорциональности — это постоянный множитель $k$ в общей формуле прямой пропорциональности $y = kx$. В формуле зависимости пути от времени $s = v \cdot t$, роль зависимой переменной $y$ играет путь $s$, а роль независимой переменной $x$ — время $t$. Сравнивая формулу $s = v \cdot t$ с общей формулой $y = kx$, можно сделать вывод, что коэффициентом пропорциональности является скорость $v$.
Ответ: Коэффициент пропорциональности в данной зависимости равен скорости движения $v$.

3 Какие величины называют обратно пропорциональными? Приведите примеры обратно пропорциональных величин. Запишите общую формулу обратно пропорциональной зависимости: $y = \frac{k}{x}$

Какие величины называют обратно пропорциональными?

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз вторая уменьшается во столько же раз, и наоборот, при уменьшении одной величины вторая увеличивается во столько же раз.
Ключевой особенностью таких величин является то, что их произведение всегда является постоянным числом (константой), не равным нулю. Если $x$ и $y$ — обратно пропорциональные величины, то их связь можно выразить как $x \cdot y = k$, где $k$ — постоянное число (коэффициент пропорциональности).

Ответ: Обратно пропорциональными называют две величины, для которых увеличение одной в несколько раз приводит к уменьшению другой во столько же раз. Их произведение остается постоянным.

Приведите примеры обратно пропорциональных величин.

Примеры обратно пропорциональных величин встречаются как в математике, так и в повседневной жизни:

• Скорость и время. При движении на фиксированное расстояние ($S$), скорость ($v$) и время ($t$) являются обратно пропорциональными. Чем выше скорость, тем меньше времени требуется, чтобы преодолеть это расстояние. Формула: $v \cdot t = S$.
• Количество работников и время выполнения работы. Если объем работы постоянен, то чем больше людей (одинаковой производительности) ее выполняют, тем меньше времени на это потребуется.
• Цена товара и его количество. На фиксированную сумму денег можно купить тем меньше товара, чем выше его цена. Например, если у вас есть 1000 рублей, вы можете купить 2 кг конфет по 500 рублей/кг или 4 кг конфет по 250 рублей/кг.
• Длина и ширина прямоугольника. При заданной постоянной площади ($A$) прямоугольника, его длина ($a$) и ширина ($b$) находятся в обратной пропорциональности. Если увеличить длину, то для сохранения той же площади придется уменьшить ширину. Формула: $a \cdot b = A$.

Ответ: Примеры: 1) скорость и время при фиксированном расстоянии; 2) количество рабочих и время выполнения задачи; 3) цена товара и количество, которое можно купить на одну и ту же сумму.

Запишите общую формулу обратно пропорциональной зависимости.

Если величина $y$ обратно пропорциональна величине $x$, то эту зависимость можно записать с помощью следующей общей формулы:
$y = \frac{k}{x}$
В этой формуле:

• $x$ и $y$ — это переменные величины.
• $k$ — это постоянный, не равный нулю коэффициент, который называется коэффициентом обратной пропорциональности.

Эту же формулу можно представить в виде произведения:
$x \cdot y = k$

Ответ: Общая формула обратно пропорциональной зависимости: $y = \frac{k}{x}$ (или $x \cdot y = k$), где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю.

4 Сформулируйте свойство обратно пропорциональных величин. Для зависимости времени движения от его скорости, рассмотренной в объяснительном тексте п. 2.2, назовите переменные величины, постоянную величину. Чему равно произведение соответственных значений обратно пропорциональных величин?

Сформулируйте свойство обратно пропорциональных величин.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая величина уменьшается (или увеличивается) во столько же раз. Свойство обратно пропорциональных величин заключается в том, что произведение соответственных значений этих величин есть величина постоянная. Если величины $x$ и $y$ обратно пропорциональны, то их зависимость можно выразить формулой $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянное число, не равное нулю, называемое коэффициентом обратной пропорциональности. Из этой формулы следует, что произведение $x \cdot y = k$.
Ответ: Произведение соответственных значений двух обратно пропорциональных величин является постоянной величиной (константой).

Для зависимости времени движения от его скорости, рассмотренной в объяснительном тексте п. 2.2, назовите переменные величины, постоянную величину.
Зависимость времени движения ($t$) от скорости ($v$) при прохождении некоторого расстояния ($s$) выражается формулой $s = v \cdot t$. Чтобы рассмотреть зависимость времени от скорости, необходимо предположить, что расстояние является фиксированным (постоянным). В этом случае при изменении скорости будет изменяться и время, необходимое для прохождения этого расстояния. Следовательно, скорость и время являются переменными величинами.
Ответ: Переменные величины — это время движения ($t$) и скорость ($v$). Постоянная величина — это расстояние ($s$).

Чему равно произведение соответственных значений обратно пропорциональных величин?
Как следует из свойства обратной пропорциональности, произведение соответственных значений таких величин равно постоянной величине — коэффициенту пропорциональности ($k$). В контексте задачи о движении, где время ($t$) и скорость ($v$) являются обратно пропорциональными величинами, их произведение равно постоянной величине — пройденному расстоянию ($s$). Это следует из формулы $v \cdot t = s$.
Ответ: Произведение соответственных значений обратно пропорциональных величин равно коэффициенту обратной пропорциональности.

5 Дайте определение пропорции. Приведите пример пропорции и назовите её крайние и средние члены.

Дайте определение пропорции

Пропорция — это верное равенство двух отношений. Если отношение числа $a$ к числу $b$ равно отношению числа $c$ к числу $d$, то равенство $a : b = c : d$ или его запись в виде дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (где $b \neq 0$ и $d \neq 0$) называют пропорцией. Читается это как: «$a$ относится к $b$ так же, как $c$ относится к $d$».

Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Для пропорции $a:b=c:d$ это свойство записывается в виде формулы: $a \cdot d = b \cdot c$. Это свойство позволяет проверять, является ли равенство пропорцией, а также находить неизвестный член пропорции.

Приведите пример пропорции и назовите её крайние и средние члены

В качестве примера пропорции рассмотрим равенство: $15 : 3 = 35 : 7$.

Это равенство является верной пропорцией, так как значение отношения в левой части ($15 : 3 = 5$) равно значению отношения в правой части ($35 : 7 = 5$).

Члены пропорции имеют специальные названия в зависимости от их расположения. В общей записи $a : b = c : d$:
- Члены $a$ и $d$, стоящие по краям, называются крайними членами.
- Члены $b$ и $c$, находящиеся в середине, называются средними членами.

В нашем примере $15 : 3 = 35 : 7$:
- Крайние члены — это числа $15$ и $7$.
- Средние члены — это числа $3$ и $35$.

Проверим для этого примера основное свойство пропорции:
Произведение крайних членов: $15 \cdot 7 = 105$.
Произведение средних членов: $3 \cdot 35 = 105$.
Поскольку $105 = 105$, основное свойство выполняется.

Ответ: Пропорция — это равенство двух отношений, которое в общем виде записывается как $a:b = c:d$. Пример пропорции: $15 : 3 = 35 : 7$. В этой пропорции числа $15$ и $7$ являются крайними членами, а числа $3$ и $35$ — средними членами.

6 Сформулируйте основное свойство пропорции. Как найти неизвестный член пропорции $\frac{a}{8} = \frac{5}{4}$?

Сформулируйте основное свойство пропорции

Пропорция — это равенство двух отношений. В общем виде пропорцию записывают как $a : b = c : d$ или в виде дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. В этой записи $a$ и $d$ называются крайними членами пропорции, а $b$ и $c$ — средними членами.

Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Для пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ это свойство можно записать в виде формулы: $a \cdot d = b \cdot c$. Это правило также известно как «правило креста» или перекрестное умножение.

Ответ: Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Как найти неизвестный член пропорции $\frac{a}{8}=\frac{5}{4}$?

Чтобы найти неизвестный член $a$ в пропорции $\frac{a}{8} = \frac{5}{4}$, необходимо применить основное свойство пропорции. В этой пропорции крайними членами являются $a$ и $4$, а средними членами — $8$ и $5$.

Согласно основному свойству, произведение крайних членов равно произведению средних. Составим на основе этого уравнение: $a \cdot 4 = 8 \cdot 5$

Далее, решим это уравнение. Сначала вычислим произведение в правой части: $4a = 40$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $a$, то есть на 4: $a = \frac{40}{4}$

$a = 10$

Для проверки можно подставить найденное значение $a=10$ в исходную пропорцию: $\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$. Сократив дробь $\frac{10}{8}$ на 2, получим $\frac{5}{4}$, что подтверждает верность равенства: $\frac{5}{4} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $a = 10$.

7 Придумайте задачу на пропорциональное деление какой-либо величины.

Условие задачи

Три бригады строителей вместе заработали 1 500 000 рублей за постройку дома. Эти деньги нужно разделить между бригадами пропорционально времени, которое каждая из них отработала. Первая бригада работала 3 недели, вторая — 5 недель, а третья — 2 недели. Какую сумму получит каждая бригада?

Решение

Это задача на пропорциональное деление. Общую сумму денег (1 500 000 рублей) нужно разделить в отношении 3:5:2, где числа соответствуют количеству недель работы каждой бригады.

1. Сначала найдем общее количество условных частей, на которые будет делиться вся сумма. Для этого сложим числа в отношении:

$3 + 5 + 2 = 10$ (частей)

Таким образом, вся сумма в 1 500 000 рублей составляет 10 равных частей.

2. Теперь определим, какая сумма денег приходится на одну часть. Разделим общую сумму на общее количество частей:

$1\ 500\ 000 \text{ рублей} \div 10 = 150\ 000 \text{ рублей}$

Следовательно, одна часть составляет 150 000 рублей.

3. Теперь рассчитаем, какую сумму получит каждая бригада, умножив количество их частей на сумму одной части:

Сумма для первой бригады (3 части): $3 \times 150\ 000 \text{ рублей} = 450\ 000 \text{ рублей}$

Сумма для второй бригады (5 частей): $5 \times 150\ 000 \text{ рублей} = 750\ 000 \text{ рублей}$

Сумма для третьей бригады (2 части): $2 \times 150\ 000 \text{ рублей} = 300\ 000 \text{ рублей}$

4. Для проверки сложим полученные суммы:

$450\ 000 + 750\ 000 + 300\ 000 = 1\ 500\ 000 \text{ рублей}$

Сумма совпадает с общим заработком, указанным в условии. Значит, задача решена верно.

Ответ: первая бригада получит 450 000 рублей, вторая бригада — 750 000 рублей, а третья бригада — 300 000 рублей.

1 Расстояние между двумя городами 600 км. Автомобиль выехал из одного города в другой. Запишите формулу для вычисления расстояния $s$, которое ему осталось проехать через $t$ ч, если он едет со скоростью $v$ км/ч.

Чтобы найти расстояние s, которое осталось проехать автомобилю, необходимо из общего расстояния между городами вычесть расстояние, которое он уже проехал.

1. Общее расстояние между городами по условию задачи составляет 600 км.

2. Расстояние, которое автомобиль уже проехал, можно рассчитать по формуле: расстояние = скорость × время. Используя переменные из задачи, пройденное расстояние равно $v \cdot t$.

3. Теперь, чтобы найти оставшееся расстояние s, вычтем из общего расстояния (600 км) уже пройденное расстояние ($v \cdot t$):

$s = 600 - v \cdot t$

Эта формула связывает оставшееся расстояние s (в км) со скоростью автомобиля v (в км/ч) и временем в пути t (в ч).

Ответ: $s = 600 - vt$

2 Используя формулу $F=\frac{9}{5}C+32$, выражающую зависимость между температурой, измеряемой по шкале Фаренгейта ($^\circ\text{F}$) и по шкале Цельсия ($^\circ\text{C}$), выразите в градусах Фаренгейта температуру кипения воды 100 $^\circ\text{C}$ и температуру замерзания воды 0 $^\circ\text{C}$.

Для того чтобы выразить температуру в градусах Фаренгейта, необходимо использовать данную в условии формулу: $F = \frac{9}{5}C + 32$, где $C$ — это температура в градусах Цельсия, а $F$ — температура в градусах Фаренгейта.

Температура кипения воды 100 °C

Подставим значение температуры кипения воды $C = 100$ в формулу:

$F = \frac{9}{5} \cdot 100 + 32$

Проведем вычисления поэтапно:

1. Сначала выполним умножение дроби на число: $\frac{9}{5} \cdot 100 = 9 \cdot \frac{100}{5} = 9 \cdot 20 = 180$.

2. Затем выполним сложение: $180 + 32 = 212$.

Таким образом, температура кипения воды по шкале Фаренгейта равна $212^\circ\text{F}$.

Ответ: $212^\circ\text{F}$.

Температура замерзания воды 0 °C

Теперь подставим в формулу значение температуры замерзания воды $C = 0$:

$F = \frac{9}{5} \cdot 0 + 32$

Выполним вычисления:

1. Умножение на ноль дает ноль: $\frac{9}{5} \cdot 0 = 0$.

2. Сложение с 32: $0 + 32 = 32$.

Следовательно, температура замерзания воды по шкале Фаренгейта равна $32^\circ\text{F}$.

Ответ: $32^\circ\text{F}$.

3 Пешеход за некоторое время прошёл 12 км. Какое расстояние проехал бы он за это же время на велосипеде, если бы его скорость была в 2,5 раза больше?

Эта задача на прямую пропорциональность. Расстояние, скорость и время связаны формулой $S = v \cdot t$, где $S$ – расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

По условию, время движения ($t$) для пешехода и велосипедиста одинаково. Это значит, что пройденное расстояние ($S$) напрямую зависит от скорости ($v$). Если скорость увеличивается в несколько раз, то и расстояние, пройденное за то же время, увеличится во столько же раз.

Дано, что пешеход прошел расстояние $S_{пешехода} = 12$ км.

Скорость велосипедиста в 2,5 раза больше скорости пешехода. Следовательно, расстояние, которое проедет велосипедист за то же время, будет также в 2,5 раза больше:

$S_{велосипедиста} = S_{пешехода} \cdot 2.5$

Подставим известные значения и вычислим:

$S_{велосипедиста} = 12 \text{ км} \cdot 2.5 = 30 \text{ км}$

Ответ: 30 км.