Страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.63 Всего имеется 350 г семян. Их надо насыпать в три пакета так, чтобы масса семян в первом пакете составила 50% массы семян во втором, а масса семян во втором пакете составила 50% массы семян в третьем. Сколько семян будет в каждом пакете?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть масса семян в третьем пакете равна $x$ граммов.

Согласно условию, масса семян во втором пакете составляет 50% массы семян в третьем. 50% — это 0,5. Значит, масса семян во втором пакете равна $0,5x$ граммов.

Масса семян в первом пакете составляет 50% массы семян во втором. Следовательно, масса семян в первом пакете равна $0,5 \cdot (0,5x) = 0,25x$ граммов.

Общая масса семян во всех трех пакетах составляет 350 г. Составим уравнение, сложив массы семян в каждом пакете:
$m_{1} + m_{2} + m_{3} = 350$
$0,25x + 0,5x + x = 350$

Теперь решим это уравнение. Сложим все части, содержащие $x$:
$1,75x = 350$

Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 1,75:
$x = \frac{350}{1,75}$
$x = 200$
Таким образом, масса семян в третьем пакете составляет 200 г.

Теперь, зная $x$, найдем массу семян в остальных пакетах:
Масса во втором пакете: $0,5x = 0,5 \cdot 200 = 100$ г.
Масса в первом пакете: $0,25x = 0,25 \cdot 200 = 50$ г.

Проверим: $50 \text{ г} + 100 \text{ г} + 200 \text{ г} = 350 \text{ г}$. Все верно.

Ответ: в первом пакете будет 50 г семян, во втором — 100 г, а в третьем — 200 г.

2.64 Фермер купил три газонокосилки, заплатив за них 32000 р. За каждую из них он дал продавцу одно и то же количество купюр, причём за первую газонокосилку он заплатил купюрами достоинством в 1000 р., за вторую — в 500 р., за третью — в 100 р. Сколько стоит каждая газонокосилка?

Для решения задачи обозначим одинаковое количество купюр, которое фермер заплатил за каждую газонокосилку, переменной $n$.

Исходя из условия, стоимость каждой газонокосилки можно выразить через $n$:
Стоимость первой газонокосилки: $1000 \cdot n$ рублей.
Стоимость второй газонокосилки: $500 \cdot n$ рублей.
Стоимость третьей газонокосилки: $100 \cdot n$ рублей.

Общая стоимость всех трех газонокосилок составляет 32000 рублей. Мы можем составить уравнение, сложив стоимости всех покупок:
$1000 \cdot n + 500 \cdot n + 100 \cdot n = 32000$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $n$. Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$n \cdot (1000 + 500 + 100) = 32000$
$n \cdot 1600 = 32000$
Разделим обе части уравнения на 1600:
$n = \frac{32000}{1600} = 20$
Таким образом, фермер использовал по 20 купюр для оплаты каждой газонокосилки.

Зная количество купюр, мы можем вычислить точную стоимость каждой газонокосилки.

Стоимость первой газонокосилки
Фермер заплатил 20 купюр по 1000 рублей.
$20 \cdot 1000 = 20000$ рублей.
Ответ: 20000 рублей.

Стоимость второй газонокосилки
Фермер заплатил 20 купюр по 500 рублей.
$20 \cdot 500 = 10000$ рублей.
Ответ: 10000 рублей.

Стоимость третьей газонокосилки
Фермер заплатил 20 купюр по 100 рублей.
$20 \cdot 100 = 2000$ рублей.
Ответ: 2000 рублей.

2.65 Фирмам A, B и C принадлежит 75% акций некоторого предприятия, которые распределены между ними в отношении $4 : 12 : 9$. Остальными 350 000 акций владеют работники этого предприятия. Сколько акций имеет каждая из фирм?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем процент акций, принадлежащий работникам предприятия. Поскольку фирмам А, В и С принадлежит 75% акций, то на долю работников приходится остальная часть:

$100\% - 75\% = 25\%$

2. В условии сказано, что работникам принадлежит 350 000 акций, что составляет 25% от общего числа. Найдем общее количество акций (обозначим его за $N$):

$0.25 \cdot N = 350\ 000$

Отсюда общее количество акций:

$N = \frac{350\ 000}{0.25} = 1\ 400\ 000$ акций.

3. Теперь определим, сколько всего акций принадлежит трем фирмам. Это 75% от общего количества:

$1\ 400\ 000 \cdot 0.75 = 1\ 050\ 000$ акций.

4. Эти 1 050 000 акций распределены между фирмами А, В и С в отношении 4:12:9. Чтобы найти количество акций каждой фирмы, сначала найдем общее количество долей:

$4 + 12 + 9 = 25$ долей.

5. Рассчитаем, сколько акций приходится на одну долю:

$\frac{1\ 050\ 000}{25} = 42\ 000$ акций.

6. Теперь мы можем найти количество акций для каждой фирмы.

Фирма А

Фирме А принадлежит 4 доли. Количество ее акций составляет:

$4 \cdot 42\ 000 = 168\ 000$ акций.

Ответ: 168 000 акций.

Фирма В

Фирме В принадлежит 12 долей. Количество ее акций составляет:

$12 \cdot 42\ 000 = 504\ 000$ акций.

Ответ: 504 000 акций.

Фирма С

Фирме С принадлежит 9 долей. Количество ее акций составляет:

$9 \cdot 42\ 000 = 378\ 000$ акций.

Ответ: 378 000 акций.

2.66 Периметр треугольника $ABC$ равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника, если $AB$ относится к $BC$ как $3:5$, а $BC$ относится к $AC$ как $2:3$.

Обозначим длины сторон треугольника как $AB$, $BC$ и $AC$. Периметр треугольника $P_{ABC}$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

По условию задачи, периметр равен $15,5$ см, следовательно: $AB + BC + AC = 15,5$

Также из условия известны соотношения сторон: 1) $AB$ относится к $BC$ как $3$ к $5$, что можно записать в виде пропорции: $\frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$. 2) $BC$ относится к $AC$ как $2$ к $3$, что можно записать в виде пропорции: $\frac{BC}{AC} = \frac{2}{3}$.

Для решения задачи необходимо выразить длины всех сторон через одну общую часть. Для этого приведем два данных отношения к единому виду $AB : BC : AC$. Мы видим, что сторона $BC$ является общей для обоих отношений.

Приведем отношения к общему значению для части, соответствующей $BC$. Наименьшее общее кратное для $5$ и $2$ (значения, которым пропорциональна $BC$ в двух отношениях) равно $10$.

Домножим первое отношение на $2$: $AB : BC = 3 : 5 = (3 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 6 : 10$

Домножим второе отношение на $5$: $BC : AC = 2 : 3 = (2 \cdot 5) : (3 \cdot 5) = 10 : 15$

Теперь мы можем объединить эти отношения в одно: $AB : BC : AC = 6 : 10 : 15$

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности, тогда длины сторон равны: $AB = 6x$ $BC = 10x$ $AC = 15x$

Подставим эти выражения в формулу периметра: $6x + 10x + 15x = 15,5$

Решим полученное уравнение: $31x = 15,5$ $x = \frac{15,5}{31}$ $x = 0,5$

Теперь, зная коэффициент $x$, найдем длины каждой стороны: $AB = 6 \cdot 0,5 = 3$ см $BC = 10 \cdot 0,5 = 5$ см $AC = 15 \cdot 0,5 = 7,5$ см

Ответ: длины сторон треугольника равны $3$ см, $5$ см и $7,5$ см.

2.67 Призы на сумму 12 400 р. были присуждены трём призёрам соревнования так, что сумма, полученная вторым, составила $\frac{2}{3}$ от суммы, полученной первым. В то же время сумма, полученная вторым, относится к сумме, полученной третьим, как $1\frac{1}{3} : \frac{4}{5}$. Сколько рублей получил каждый призёр?

Для решения задачи введем переменные. Пусть:

• $x$ — сумма, полученная первым призёром, в рублях;
• $y$ — сумма, полученная вторым призёром, в рублях;
• $z$ — сумма, полученная третьим призёром, в рублях.

Согласно условию, общая сумма призов составляет 12 400 рублей. Составим первое уравнение:

$x + y + z = 12400$

Известно, что сумма, полученная вторым призёром, составила $\frac{2}{3}$ от суммы, полученной первым. Это дает нам второе уравнение:

$y = \frac{2}{3}x$

Также дано, что сумма, полученная вторым, относится к сумме, полученной третьим, как $1\frac{1}{3} : \frac{4}{5}$. Запишем это в виде пропорции:

$\frac{y}{z} = \frac{1\frac{1}{3}}{\frac{4}{5}}$

Упростим правую часть этого выражения. Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь выполним деление дробей:

$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{5}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{3}$

Таким образом, мы получаем соотношение $\frac{y}{z} = \frac{5}{3}$. Из этого соотношения выразим $z$ через $y$:

$z = \frac{3}{5}y$

Теперь у нас есть система из трех зависимостей. Выразим все переменные через одну, например, через $x$. У нас уже есть $y = \frac{2}{3}x$. Подставим это выражение в формулу для $z$:

$z = \frac{3}{5}y = \frac{3}{5} \left( \frac{2}{3}x \right) = \frac{6}{15}x = \frac{2}{5}x$

Теперь мы можем подставить выражения для $y$ и $z$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x + \frac{2}{3}x + \frac{2}{5}x = 12400$

Чтобы решить это уравнение, приведем все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 5 равен 15.

$\frac{15}{15}x + \frac{10}{15}x + \frac{6}{15}x = 12400$

$\frac{15 + 10 + 6}{15}x = 12400$

$\frac{31}{15}x = 12400$

Найдем значение $x$:

$x = 12400 \cdot \frac{15}{31}$

Поскольку $124 \div 31 = 4$, то $12400 \div 31 = 400$.

$x = 400 \cdot 15 = 6000$

Итак, первый призёр получил 6000 рублей.

Теперь найдем, сколько получили второй и третий призёры:

Сумма второго призёра: $y = \frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \cdot 6000 = 2 \cdot 2000 = 4000$ рублей.

Сумма третьего призёра: $z = \frac{2}{5}x = \frac{2}{5} \cdot 6000 = 2 \cdot 1200 = 2400$ рублей.

Проверим правильность решения, сложив все суммы:

$6000 + 4000 + 2400 = 12400$ рублей. Сумма сходится.

Ответ: Первый призёр получил 6000 рублей, второй – 4000 рублей, третий – 2400 рублей.