Страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.68 В конноспортивной школе на 5 лошадей за 30 дней расходуется 1000 кг овса. На сколько дней хватит 200 кг овса для 10 лошадей при той же норме?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить несколько действий, чтобы определить, на сколько дней хватит нового запаса овса.

1. Найдем, сколько килограммов овса съедают 5 лошадей за 1 день.
По условию, 1000 кг овса расходуется за 30 дней. Следовательно, дневной расход для 5 лошадей составляет:
$1000 \text{ кг} \div 30 \text{ дней} = \frac{1000}{30} = \frac{100}{3}$ кг/день.

2. Найдем норму потребления овса для одной лошади в день.
Разделим дневной расход на количество лошадей, чтобы найти, сколько съедает одна лошадь:
$\frac{100}{3} \text{ кг} \div 5 \text{ лошадей} = \frac{100}{3 \cdot 5} = \frac{100}{15} = \frac{20}{3}$ кг на одну лошадь в день.

3. Рассчитаем, сколько овса потребуется для 10 лошадей в день.
Теперь умножим норму потребления одной лошади на новое количество лошадей:
$\frac{20}{3} \text{ кг/лошадь} \cdot 10 \text{ лошадей} = \frac{200}{3}$ кг в день.

4. Найдем, на сколько дней хватит 200 кг овса для 10 лошадей.
Наконец, разделим имеющийся запас овса на рассчитанный дневной расход для 10 лошадей:
$200 \text{ кг} \div \frac{200}{3} \text{ кг/день} = 200 \cdot \frac{3}{200} = 3$ дня.

Ответ: 200 кг овса для 10 лошадей хватит на 3 дня.

2.69 При строительстве здания 3 строителя за 8 ч выложили из кирпичей фрагмент стены объёмом $6 \text{ м}^3$. За какое время смогла бы выложить фрагмент стены объёмом $15 \text{ м}^3$ бригада из 4 человек, если их производительность на $20\%$ выше?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти производительность труда одного строителя из первой бригады, а затем, используя эти данные, рассчитать время работы для второй бригады.

1. Найдём производительность одного строителя из первой бригады
Первая бригада состоит из 3 строителей ($N_1=3$), которые за 8 часов ($T_1=8$ ч) выложили стену объёмом 6 м³ ($V_1=6$ м³).
Производительность (скорость работы) одного строителя ($P_1$) можно найти по формуле: $P = \frac{V}{N \times T}$.
$P_1 = \frac{6 \ м^3}{3 \times 8 \ ч} = \frac{6}{24} \frac{м^3}{ч} = 0.25 \ м^3/ч$ на одного строителя.

2. Найдём производительность одного строителя из второй бригады
По условию, производительность строителей во второй бригаде на 20% выше. Это означает, что их производительность ($P_2$) составляет 120% от производительности строителей первой бригады, то есть в 1,2 раза больше.
$P_2 = P_1 \times 1.2 = 0.25 \ м^3/ч \times 1.2 = 0.3 \ м^3/ч$ на одного строителя.

3. Рассчитаем время, необходимое второй бригаде для выполнения работы
Вторая бригада состоит из 4 человек ($N_2=4$), и им необходимо выложить фрагмент стены объёмом 15 м³ ($V_2=15$ м³).
Время ($T_2$), которое им потребуется, можно найти по формуле: $T = \frac{V}{P \times N}$.
$T_2 = \frac{15 \ м^3}{0.3 \ м^3/ч \times 4} = \frac{15 \ м^3}{1.2 \ м^3/ч} = 12.5 \ ч$.
Время 12.5 часов можно представить как 12 часов и 30 минут.

Ответ: 12.5 часов.

2.70 Для 15 человек, отправляющихся в экспедицию на 20 дней, заготовили 300 бутылок воды.

а) Сколько бутылок воды при той же норме надо добавить к уже заготовленным, если в экспедицию отправится 20 человек на 30 дней?

б) На сколько дней хватит 500 бутылок воды, если в экспедицию отправится 10 человек?

в) Сколько человек можно отправить в 10-дневную экспедицию, если заготовлено 200 бутылок воды?

Для решения всех подзадач сначала определим норму потребления воды на одного человека в день. По исходным данным, для 15 человек на 20 дней потребовалось 300 бутылок воды.
Сначала вычислим общее количество «человеко-дней» в экспедиции:
$15 \text{ человек} \times 20 \text{ дней} = 300 \text{ человеко-дней}$
Теперь найдем норму потребления ($Н$) на одного человека в день, разделив общее количество бутылок на количество человеко-дней:
$Н = \frac{300 \text{ бутылок}}{300 \text{ человеко-дней}} = 1 \text{ бутылка в день на человека}$
Эта норма будет использоваться для всех последующих расчетов.

а) Чтобы определить, сколько бутылок воды нужно добавить, сначала рассчитаем общее количество воды, необходимое для новой группы. В экспедицию отправятся 20 человек на 30 дней.
Общее количество необходимой воды = (количество человек) $\times$ (количество дней) $\times$ (норма на человека):
$20 \text{ человек} \times 30 \text{ дней} \times 1 \frac{\text{бутылка}}{\text{чел./день}} = 600 \text{ бутылок}$
Поскольку уже заготовлено 300 бутылок, необходимо добавить разницу:
$600 \text{ бутылок} - 300 \text{ бутылок} = 300 \text{ бутылок}$
Ответ: надо добавить 300 бутылок воды.

б) Чтобы выяснить, на сколько дней хватит 500 бутылок для 10 человек, сначала определим, сколько воды эта группа потребляет за один день:
$10 \text{ человек} \times 1 \frac{\text{бутылка}}{\text{чел./день}} = 10 \text{ бутылок в день}$
Теперь разделим общее количество бутылок на дневной расход, чтобы найти количество дней:
$\frac{500 \text{ бутылок}}{10 \text{ бутылок/день}} = 50 \text{ дней}$
Ответ: 500 бутылок воды хватит на 50 дней.

в) Чтобы рассчитать, сколько человек можно отправить в 10-дневную экспедицию с 200 бутылками воды, сначала определим, сколько воды понадобится одному человеку на всю экспедицию:
$10 \text{ дней} \times 1 \frac{\text{бутылка}}{\text{чел./день}} = 10 \text{ бутылок на человека за экспедицию}$
Теперь разделим общее количество заготовленной воды на норму для одного участника, чтобы найти максимальное количество человек:
$\frac{200 \text{ бутылок}}{10 \text{ бутылок/чел.}} = 20 \text{ человек}$
Ответ: можно отправить 20 человек.

2.71 Команда из трёх операторов, работая по 6 ч в день, за 4 дня набрала на компьютере 700 страниц рукописи. Оставшиеся 350 страниц требуется набрать за 2 дня, причём компьютерный зал будет предоставляться только на 2 ч в день. На сколько человек нужно увеличить команду, чтобы она смогла выполнить эту задачу?

Для решения задачи сначала определим производительность труда одного оператора.

1. Расчет производительности одного оператора

Команда из трех операторов, работая по 6 часов в день в течение 4 дней, затратила на работу следующее количество человеко-часов:
$T_1 = 3 \text{ оператора} \times 6 \frac{\text{часов}}{\text{день}} \times 4 \text{ дня} = 72$ человеко-часа.

За это время они набрали 700 страниц. Следовательно, производительность одного оператора (P) составляет:
$P = \frac{\text{Объем работы}}{\text{Затраченное время}} = \frac{700 \text{ страниц}}{72 \text{ человеко-часа}} = \frac{175}{18} \frac{\text{страниц}}{\text{час}}$.

2. Расчет необходимого количества операторов для второй части работы

Оставшиеся 350 страниц нужно набрать за 2 дня, работая по 2 часа в день.
Пусть $N$ — это новое количество операторов в команде.
Общее количество человеко-часов, которое отработает новая команда:
$T_2 = N \times 2 \frac{\text{часов}}{\text{день}} \times 2 \text{ дня} = 4N$ человеко-часов.

За это время они должны выполнить работу объемом 350 страниц. Используя найденную ранее производительность, составим уравнение:
Объем работы = Производительность $\times$ Затраченное время
$350 = P \times T_2$
$350 = \frac{175}{18} \times 4N$

Теперь решим это уравнение относительно $N$:
$350 = \frac{175 \times 4}{18} N$
$350 = \frac{700}{18} N$
$350 = \frac{350}{9} N$
$N = \frac{350 \times 9}{350}$
$N = 9$

Таким образом, для выполнения второй части работы требуется команда из 9 операторов.

3. Определение, на сколько человек нужно увеличить команду

Изначально в команде было 3 оператора. Для выполнения новой задачи требуется 9 операторов. Следовательно, команду нужно увеличить на:
$9 \text{ операторов} - 3 \text{ оператора} = 6 \text{ человек}$.

Ответ: команду нужно увеличить на 6 человек.