Страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Объясните, как образовано «длинное» отношение $6 : 4 : 2$ в задаче 1.

«Длинное» отношение, или непрерывная пропорция, вида $a : b : c$ используется для выражения соотношения между тремя и более величинами. Отношение $6 : 4 : 2$, упомянутое в задаче 1, скорее всего, было образовано путем объединения двух простых отношений, которые имеют общий член.

Поскольку условия самой задачи 1 отсутствуют, мы можем реконструировать процесс на основе типичного математического подхода. Предположим, в задаче фигурировали три величины (назовем их условно А, Б и В), и были даны их попарные соотношения. Например, могли быть даны следующие отношения: отношение А к Б как $3 : 2$ и отношение Б к В как $4 : 2$.

Общей величиной в этих двух отношениях является Б. Для того чтобы объединить их в одно непрерывное отношение $А : Б : В$, необходимо, чтобы число, соответствующее Б, было одинаковым в обеих пропорциях.

В первом отношении ($А : Б = 3 : 2$) величине Б соответствует число 2. Во втором отношении ($Б : В = 4 : 2$) ей соответствует число 4. Чтобы уравнять эти значения, мы находим их наименьшее общее кратное, которое равно 4.

Далее мы приводим первое отношение к нужному виду, умножая обе его части на 2:

$(3 \cdot 2) : (2 \cdot 2) = 6 : 4$

Теперь отношение А к Б выражается как $6 : 4$. Второе отношение $Б : В = 4 : 2$ уже имеет 4 в качестве члена, соответствующего Б, поэтому его изменять не нужно.

Получив два отношения с одинаковым средним членом ($А : Б = 6 : 4$ и $Б : В = 4 : 2$), мы можем объединить их в одну «длинную» пропорцию:

$А : Б : В = 6 : 4 : 2$

Именно таким образом и образуются подобные отношения. Хотя отношение $6 : 4 : 2$ можно сократить до $3 : 2 : 1$, разделив все члены на 2, в контексте решения задачи оно, вероятно, возникло именно в этой форме на основе исходных данных.

Ответ: «Длинное» отношение $6 : 4 : 2$ образуется путем объединения двух простых отношений, имеющих общий член (например, $3 : 2$ и $4 : 2$). Для этого отношения приводятся к общему знаменателю для связующего члена. В данном случае, отношение $3 : 2$ домножается на 2, чтобы получить $6 : 4$, после чего его можно объединить с отношением $4 : 2$, так как их общая часть (число 4) стала одинаковой, формируя итоговое отношение $6 : 4 : 2$.

Тест включает 30 задач: 6 задач по арифметике, 15 — по алгебре, остальные — по геометрии. В каком отношении в тесте находятся арифметические, алгебраические и геометрические задачи?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти количество задач по геометрии, а затем составить и упростить отношение количеств задач по всем трем предметам.

1. Найдем количество задач по геометрии.Всего в тесте 30 задач. Известно, что 6 из них — по арифметике, а 15 — по алгебре. Количество задач по геометрии равно разности между общим количеством задач и суммой задач по арифметике и алгебре:$30 - 6 - 15 = 9$Таким образом, в тесте 9 задач по геометрии.

2. Составим отношение.Теперь найдем отношение количества арифметических, алгебраических и геометрических задач.Количество задач по арифметике: 6.Количество задач по алгебре: 15.Количество задач по геометрии: 9.

Искомое отношение: $6 : 15 : 9$.

3. Упростим отношение.Чтобы упростить отношение, необходимо разделить все его члены на их наибольший общий делитель (НОД). Для чисел 6, 15 и 9 наибольший общий делитель равен 3.Разделим каждый член отношения на 3:$(6 \div 3) : (15 \div 3) : (9 \div 3) = 2 : 5 : 3$

Следовательно, отношение арифметических, алгебраических и геометрических задач в тесте составляет $2:5:3$.

Ответ: $2:5:3$

Объясните происхождение и смысл слова «пропорциональный».

Происхождение

Слово «пропорциональный» — это прилагательное, образованное от существительного «пропорция». В русский язык слово «пропорция» пришло из латинского языка (proportio) через немецкий (Proportion) или польский (proporcja).

Латинское слово proportio состоит из двух частей: приставки pro-, означающей «соответственно», «сообразно», «в соотношении с», и существительного portio, которое переводится как «часть» или «доля».

Таким образом, дословный перевод proportio — это «соотношение частей» или «соразмерность». Изначально это слово обозначало правильное, гармоничное соотношение частей целого между собой.

Смысл

Слово «пропорциональный» имеет два основных значения: общеупотребительное и строгое математическое.

В общем смысле, слово «пропорциональный» означает соразмерный, находящийся в правильном, гармоничном соотношении с чем-либо. Например, «пропорционально сложенный человек» — это человек, у которого размеры частей тела гармонируют друг с другом. Здесь ключевые идеи — это баланс, соответствие и гармония.

В математике, понятие «пропорциональный» описывает конкретную функциональную зависимость между двумя переменными величинами. Существует два основных вида такой зависимости:

Прямая пропорциональность. Две величины, $y$ и $x$, называют прямо пропорциональными, если их отношение постоянно. Это значит, что при увеличении одной величины в несколько раз, другая увеличивается во столько же раз. Такая зависимость описывается формулой $y = kx$, где $k$ — постоянное число (не равное нулю), называемое коэффициентом пропорциональности. Отношение $y/x$ всегда равно $k$.

Пример: Стоимость покупки ($y$) прямо пропорциональна количеству товара ($x$). Если цена одного килограмма яблок ($k$) равна 100 рублям, то стоимость 3 кг составит $y = 100 \cdot 3 = 300$ рублей. Отношение стоимости к количеству всегда будет 100.

Обратная пропорциональность. Две величины, $y$ и $x$, называют обратно пропорциональными, если их произведение постоянно. Это значит, что при увеличении одной величины в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз. Зависимость описывается формулой $y = k/x$, или $xy = k$, где $k$ — постоянный коэффициент.

Пример: Время в пути ($y$) обратно пропорционально скорости ($x$) при фиксированном расстоянии. Если расстояние ($k$) составляет 200 км, а скорость — 50 км/ч, то время в пути будет $y = 200/50 = 4$ часа. Если увеличить скорость до 100 км/ч, время сократится до $y = 200/100 = 2$ часов. Произведение скорости на время всегда равно 200.

Ответ: Слово «пропорциональный» происходит от латинского proportio («соотношение частей», «соразмерность»). Оно означает либо гармоничное соотношение частей в общем смысле, либо строгую математическую зависимость между величинами. В математике прямая пропорциональность означает, что отношение величин постоянно ($y/x = k$), а обратная — что их произведение постоянно ($xy = k$).

Сколько процентов выплаченной за работу суммы получил каждый из трёх участников, если она была распределена между ними в отношении 5 : 3 : 2 (фрагмент 2)?

Для решения этой задачи необходимо найти, какую долю от общей суммы составляет часть каждого участника, а затем выразить эту долю в процентах. Вся сумма, выплаченная за работу, принимается за 100%.

Сумма была распределена между тремя участниками в отношении $5 : 3 : 2$.

1. Сначала найдем общее количество частей, на которые была поделена вся сумма. Для этого сложим числа в отношении:

$5 + 3 + 2 = 10$ (частей)

Таким образом, вся сумма (100%) состоит из 10 равных частей.

2. Теперь рассчитаем, сколько процентов приходится на каждую часть:

$100\% / 10 \text{ частей} = 10\%$ за одну часть.

3. Теперь найдем процент для каждого участника, умножив количество его частей на процентное содержание одной части.

Первый участник

Первый участник получил 5 частей. Его доля в процентах составляет:

$5 \text{ частей} \times 10\%/\text{часть} = 50\%$

Также можно рассчитать через долю: он получил $\frac{5}{10}$ от всей суммы. Переведем в проценты:

$\frac{5}{10} \times 100\% = 50\%$

Ответ: 50%

Второй участник

Второй участник получил 3 части. Его доля в процентах составляет:

$3 \text{ части} \times 10\%/\text{часть} = 30\%$

Через долю: он получил $\frac{3}{10}$ от всей суммы.

$\frac{3}{10} \times 100\% = 30\%$

Ответ: 30%

Третий участник

Третий участник получил 2 части. Его доля в процентах составляет:

$2 \text{ части} \times 10\%/\text{часть} = 20\%$

Через долю: он получил $\frac{2}{10}$ от всей суммы.

$\frac{2}{10} \times 100\% = 20\%$

Ответ: 20%