Страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.44 Решите задачу, составив пропорцию:

1) В библиотеке 8 тыс. книг. Книги для детей составляют 35% всех книг. Сколько в библиотеке книг для взрослых?

2) В первый день открытия библиотеки в неё записались 42 читателя, что составило 17,5% всех читателей библиотеки, записавшихся к концу месяца. Сколько читателей стало в библиотеке через месяц после её открытия?

3) Из 300 читателей библиотеки 108 человек — школьники. Какой процент всех читателей составляют школьники?

Образец. В городе 72 тыс. жителей. Из них 18% — дети до десяти лет. Сколько детей до десяти лет живёт в этом городе?

Решение. Примем всё население города за 100% и запишем кратко условие задачи:

$72 \, 000 - 100\%$

$x - 18\%.$

Составим пропорцию:

$\frac{72 \, 000}{x} = \frac{100}{18}$

Найдём $x$: $x = \frac{72 \, 000 \cdot 18}{100} = 12 \, 960$.

Ответ. В городе 12 960 детей до десяти лет.

1) Примем общее количество книг в библиотеке, равное 8 тысячам, то есть 8000 книг, за 100%. Книги для детей составляют 35% от всех книг. Следовательно, процент книг для взрослых можно найти, вычтя из общего процента процент книг для детей:

$100\% - 35\% = 65\%$

Теперь, зная, что 65% книг предназначены для взрослых, составим пропорцию, где $x$ — количество книг для взрослых.

$8000 \text{ книг} \ — \ 100\%$

$x \text{ книг} \ — \ 65\%$

Из пропорции получаем уравнение:

$\frac{8000}{x} = \frac{100}{65}$

Найдем $x$:

$x = \frac{8000 \cdot 65}{100} = 80 \cdot 65 = 5200$

Ответ: в библиотеке 5200 книг для взрослых.

2) Примем общее количество читателей, записавшихся в библиотеку к концу месяца, за 100%. Обозначим это неизвестное количество через $x$.

По условию задачи, 42 читателя, которые записались в первый день, составляют 17,5% от общего числа читателей за месяц. Составим пропорцию:

$x \text{ читателей} \ — \ 100\%$

$42 \text{ читателя} \ — \ 17,5\%$

Из пропорции получаем уравнение:

$\frac{x}{42} = \frac{100}{17,5}$

Найдем $x$:

$x = \frac{42 \cdot 100}{17,5} = \frac{4200}{17,5} = \frac{42000}{175} = 240$

Ответ: через месяц после открытия в библиотеке стало 240 читателей.

3) Примем общее число читателей библиотеки, равное 300 человекам, за 100%.

Нам нужно найти, какой процент от общего числа читателей составляют 108 школьников. Обозначим этот неизвестный процент через $x$. Составим пропорцию:

$300 \text{ читателей} \ — \ 100\%$

$108 \text{ читателей} \ — \ x\%$

Из пропорции получаем уравнение:

$\frac{300}{108} = \frac{100}{x}$

Найдем $x$:

$x = \frac{108 \cdot 100}{300} = \frac{108}{3} = 36$

Ответ: школьники составляют 36% всех читателей.

2.45 Составьте различные пропорции, используя следующие произведения:

а) $4 \cdot 8 = 2 \cdot 16;$

б) $25 \cdot 3 = 15 \cdot 5;$

в) $6 \cdot 9 = 3 \cdot 18;$

г) $4,8 \cdot 0,4 = 1,6 \cdot 1,2.$

а) Чтобы составить пропорции из равенства произведений, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Если дано равенство $a \cdot d = b \cdot c$, то из него можно составить пропорцию вида $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (где $a, d$ — крайние члены, а $b, c$ — средние) и другие вариации.

Для равенства $4 \cdot 8 = 2 \cdot 16$ (проверим: $32 = 32$), мы можем составить несколько различных пропорций, меняя местами средние или крайние члены, или оба одновременно.

Вот несколько возможных пропорций:
1. $\frac{4}{2} = \frac{16}{8}$ (проверка: $4 \cdot 8 = 2 \cdot 16 \implies 32=32$)
2. $\frac{4}{16} = \frac{2}{8}$ (проверка: $4 \cdot 8 = 16 \cdot 2 \implies 32=32$)
3. $\frac{8}{2} = \frac{16}{4}$ (проверка: $8 \cdot 4 = 2 \cdot 16 \implies 32=32$)
4. $\frac{8}{16} = \frac{2}{4}$ (проверка: $8 \cdot 4 = 16 \cdot 2 \implies 32=32$)

Ответ: $\frac{4}{2} = \frac{16}{8}$; $\frac{4}{16} = \frac{2}{8}$; $\frac{8}{2} = \frac{16}{4}$; $\frac{8}{16} = \frac{2}{4}$.

б) Для равенства $25 \cdot 3 = 15 \cdot 5$ (проверим: $75 = 75$), составим пропорции по аналогии с предыдущим пунктом:

1. $\frac{25}{15} = \frac{5}{3}$
2. $\frac{25}{5} = \frac{15}{3}$
3. $\frac{3}{15} = \frac{5}{25}$
4. $\frac{3}{5} = \frac{15}{25}$

Ответ: $\frac{25}{15} = \frac{5}{3}$; $\frac{25}{5} = \frac{15}{3}$; $\frac{3}{15} = \frac{5}{25}$; $\frac{3}{5} = \frac{15}{25}$.

в) Для равенства $6 \cdot 9 = 3 \cdot 18$ (проверим: $54 = 54$), составим пропорции:

1. $\frac{6}{3} = \frac{18}{9}$
2. $\frac{6}{18} = \frac{3}{9}$
3. $\frac{9}{3} = \frac{18}{6}$
4. $\frac{9}{18} = \frac{3}{6}$

Ответ: $\frac{6}{3} = \frac{18}{9}$; $\frac{6}{18} = \frac{3}{9}$; $\frac{9}{3} = \frac{18}{6}$; $\frac{9}{18} = \frac{3}{6}$.

г) Для равенства $4,8 \cdot 0,4 = 1,6 \cdot 1,2$ (проверим: $1,92 = 1,92$), составим пропорции:

1. $\frac{4,8}{1,6} = \frac{1,2}{0,4}$
2. $\frac{4,8}{1,2} = \frac{1,6}{0,4}$
3. $\frac{0,4}{1,6} = \frac{1,2}{4,8}$
4. $\frac{0,4}{1,2} = \frac{1,6}{4,8}$

Ответ: $\frac{4,8}{1,6} = \frac{1,2}{0,4}$; $\frac{4,8}{1,2} = \frac{1,6}{0,4}$; $\frac{0,4}{1,6} = \frac{1,2}{4,8}$; $\frac{0,4}{1,2} = \frac{1,6}{4,8}$.

2.46 Для каждой тройки чисел найдите четвёртое число так, чтобы из этих четырёх чисел можно было составить пропорцию:

a) 20, 5, 7;

б) 10, 16, 3.

Сколько таких чисел вы нашли в каждом случае?

Пропорция — это равенство двух отношений, которое можно записать в виде $a : b = c : d$ или в виде дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов: $a \cdot d = b \cdot c$.

Для заданной тройки чисел и неизвестного четвертого числа $x$, четыре числа $\{a, b, c, x\}$ могут образовать пропорцию. Это означает, что произведение двух из них будет равно произведению двух других. Рассмотрим все возможные группировки для каждого случая.

Пусть даны числа 20, 5, 7. Искомое четвертое число обозначим через $x$. Существует три возможных случая для составления пропорции:

1. Произведение чисел 20 и $x$ равно произведению 5 и 7. Из этой пары произведений можно составить пропорцию, например, $20:5=7:x$.
$20 \cdot x = 5 \cdot 7$
$20x = 35$
$x = \frac{35}{20} = \frac{7}{4} = 1,75$.

2. Произведение чисел 5 и $x$ равно произведению 20 и 7. Из этой пары произведений можно составить пропорцию, например, $5:7=20:x$.
$5 \cdot x = 20 \cdot 7$
$5x = 140$
$x = \frac{140}{5} = 28$.

3. Произведение чисел 7 и $x$ равно произведению 20 и 5. Из этой пары произведений можно составить пропорцию, например, $7:5=20:x$.
$7 \cdot x = 20 \cdot 5$
$7x = 100$
$x = \frac{100}{7}$.

Ответ: В данном случае можно найти 3 таких числа: $1,75$; $28$; $\frac{100}{7}$.

Пусть даны числа 10, 16, 3. Искомое четвертое число обозначим через $x$. Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим три возможных случая:

1. Произведение чисел 10 и $x$ равно произведению 16 и 3.
$10 \cdot x = 16 \cdot 3$
$10x = 48$
$x = \frac{48}{10} = \frac{24}{5} = 4,8$.

2. Произведение чисел 16 и $x$ равно произведению 10 и 3.
$16 \cdot x = 10 \cdot 3$
$16x = 30$
$x = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} = 1,875$.

3. Произведение чисел 3 и $x$ равно произведению 10 и 16.
$3 \cdot x = 10 \cdot 16$
$3x = 160$
$x = \frac{160}{3}$.

Ответ: В данном случае можно найти 3 таких числа: $4,8$; $1,875$; $\frac{160}{3}$.

2.47 Найдите неизвестное число x, если:

а) $ \frac{2x}{9} = \frac{2}{3}; $

б) $ \frac{1}{5} = \frac{2}{5x}; $

в) $ \frac{1,5}{4x} = \frac{0,3}{10}; $

г) $ \frac{2}{x} = \frac{x}{8}. $

а)

Дано уравнение-пропорция: $\frac{2x}{9} = \frac{2}{3}$.
Чтобы найти неизвестное $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение): произведение крайних членов равно произведению средних.
$2x \cdot 3 = 9 \cdot 2$
$6x = 18$
Теперь разделим обе части уравнения на 6:
$x = \frac{18}{6}$
$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

б)

Дано уравнение: $\frac{1}{5} = \frac{2}{5x}$.
Применим правило перекрестного умножения для пропорций. Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй и знаменатель первой на числитель второй.
$1 \cdot 5x = 5 \cdot 2$
$5x = 10$
Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x$:
$x = \frac{10}{5}$
$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

в)

Дано уравнение: $\frac{1.5}{4x} = \frac{0.3}{10}$.
Используем свойство пропорции:
$1.5 \cdot 10 = 4x \cdot 0.3$
$15 = 1.2x$
Чтобы найти $x$, разделим 15 на 1.2:
$x = \frac{15}{1.2}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:
$x = \frac{150}{12}$
Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 6:
$x = \frac{150 \div 6}{12 \div 6} = \frac{25}{2}$
$x = 12.5$

Ответ: $x = 12.5$.

г)

Дано уравнение: $\frac{2}{x} = \frac{x}{8}$.
По основному свойству пропорции:
$2 \cdot 8 = x \cdot x$
$16 = x^2$
Это квадратное уравнение. Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из 16. Уравнение $x^2 = 16$ имеет два решения, так как и положительное, и отрицательное число в квадрате дают положительный результат:
$x_1 = \sqrt{16} = 4$
$x_2 = -\sqrt{16} = -4$
Оба значения удовлетворяют исходному уравнению, так как знаменатель $x$ не должен быть равен нулю, а наши корни ($4$ и $-4$) не равны нулю.

Ответ: $x = 4$ или $x = -4$.

2.48 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ На рисунке 2.9 изображён чертёж фасада дома, выполненный в некотором масштабе. Длина фасада реального дома равна 9 м. Выполните на чертеже необходимые измерения и определите:

a) высоту стен реального дома;

б) высоту дома с учётом крыши.

Рис. 2.9

Для решения задачи необходимо сначала измерить соответствующие размеры на чертеже (Рис. 2.9). Измерения можно провести обычной линейкой. Точные значения в сантиметрах могут отличаться в зависимости от масштаба отображения рисунка, но их соотношение останется неизменным. Проведем измерения:

• Длина фасада на чертеже ($L_{черт}$) — примерно 6,0 см.
• Высота стен на чертеже ($H_{стен.черт}$) — примерно 3,0 см.
• Общая высота дома с крышей на чертеже ($H_{дома.черт}$) — примерно 4,5 см.

По условию задачи, реальная длина фасада дома ($L_{реал}$) составляет 9 м. Используя эти данные, мы можем составить пропорцию для нахождения реальных высот.

а) высоту стен реального дома;

Чтобы найти реальную высоту стен ($H_{стен.реал}$), составим пропорцию, приравнивая отношение высоты к длине на чертеже и в реальности:

$\frac{H_{стен.реал}}{H_{стен.черт}} = \frac{L_{реал}}{L_{черт}}$

Подставим известные значения:

$\frac{H_{стен.реал}}{3,0 \text{ см}} = \frac{9 \text{ м}}{6,0 \text{ см}}$

Теперь выразим и вычислим искомую высоту стен:

$H_{стен.реал} = \frac{9 \text{ м} \times 3,0 \text{ см}}{6,0 \text{ см}} = \frac{27}{6} \text{ м} = 4,5 \text{ м}$

Ответ: реальная высота стен дома равна 4,5 м.

б) высоту дома с учётом крыши.

Аналогично, чтобы найти реальную общую высоту дома с крышей ($H_{дома.реал}$), составим такую же пропорцию:

$\frac{H_{дома.реал}}{H_{дома.черт}} = \frac{L_{реал}}{L_{черт}}$

Подставим известные значения:

$\frac{H_{дома.реал}}{4,5 \text{ см}} = \frac{9 \text{ м}}{6,0 \text{ см}}$

Выразим и вычислим искомую высоту дома:

$H_{дома.реал} = \frac{9 \text{ м} \times 4,5 \text{ см}}{6,0 \text{ см}} = \frac{40,5}{6} \text{ м} = 6,75 \text{ м}$

Ответ: реальная высота дома с учётом крыши равна 6,75 м.