Страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.32 После специального ухода за кустами садовод с 6 кустов смородины получил такой же урожай, как прежде с 8 кустов. На сколько процентов повысилась урожайность кустов? (Ответ округлите до единиц.)

Пусть $У_{старая}$ — это первоначальная урожайность одного куста, а $У_{новая}$ — урожайность одного куста после специального ухода.

Общий урожай, который садовод получал прежде, равен произведению урожайности одного куста на количество кустов: $8 \cdot У_{старая}$.

После специального ухода общий урожай с 6 кустов стал равен: $6 \cdot У_{новая}$.

По условию задачи, общий урожай в обоих случаях одинаков. Следовательно, мы можем составить равенство: $8 \cdot У_{старая} = 6 \cdot У_{новая}$

Чтобы найти, как изменилась урожайность, выразим отношение новой урожайности к старой: $\frac{У_{новая}}{У_{старая}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Это означает, что $У_{новая} = \frac{4}{3} \cdot У_{старая}$.

Теперь найдем, на сколько процентов повысилась урожайность. Для этого воспользуемся формулой процентного изменения, где за 100% принимается старая урожайность: $\frac{У_{новая} - У_{старая}}{У_{старая}} \times 100\%$

Подставим в формулу найденное соотношение: $\frac{\frac{4}{3}У_{старая} - У_{старая}}{У_{старая}} \times 100\% = \frac{(\frac{4}{3} - 1)У_{старая}}{У_{старая}} \times 100\%$

Сократив $У_{старая}$, получим: $(\frac{4}{3} - 1) \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% \approx 33,333...\%$

Согласно условию, ответ необходимо округлить до единиц. Округляя $33,333...\%$, получаем 33%.

Ответ: 33.

2.33 Пряники стали продавать в новой упаковке, при этом масса пряников была увеличена на 25% по сравнению с массой в старой упаковке. На сколько процентов подешевели пряники, если стоимость упаковки осталась прежней?

Для решения этой задачи нам необходимо сравнить цену за единицу массы пряников до и после изменения упаковки. Назовем эту величину удельной ценой.

Пусть $m_1$ — начальная масса пряников в старой упаковке, а $C$ — стоимость этой упаковки. Тогда удельная цена пряников была:

$Ц_1 = \frac{C}{m_1}$

После изменений масса пряников в новой упаковке, $m_2$, увеличилась на 25%. Это значит, что новая масса составляет 125% от старой:

$m_2 = m_1 + 0.25 \times m_1 = 1.25 \times m_1$

Стоимость новой упаковки осталась прежней, равной $C$. Новая удельная цена, $Ц_2$, теперь рассчитывается так:

$Ц_2 = \frac{C}{m_2}$

Подставим выражение для $m_2$ в эту формулу, чтобы связать новую удельную цену со старой:

$Ц_2 = \frac{C}{1.25 \times m_1} = \frac{1}{1.25} \times \frac{C}{m_1}$

Так как $\frac{C}{m_1}$ — это старая удельная цена $Ц_1$, мы получаем:

$Ц_2 = \frac{1}{1.25} \times Ц_1$

Рассчитаем значение коэффициента $\frac{1}{1.25}$:

$\frac{1}{1.25} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5} = 0.8$

Таким образом, новая удельная цена составляет 80% от старой: $Ц_2 = 0.8 \times Ц_1$.

Чтобы найти, на сколько процентов подешевели пряники, нужно найти процентное снижение цены. Снижение равно разнице между старой и новой ценой, отнесенной к старой цене:

Процентное снижение = $\frac{Ц_1 - Ц_2}{Ц_1} \times 100\%$

Подставим $Ц_2 = 0.8 \times Ц_1$ в формулу:

Процентное снижение = $\frac{Ц_1 - 0.8 \times Ц_1}{Ц_1} \times 100\% = \frac{0.2 \times Ц_1}{Ц_1} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$

Ответ: пряники подешевели на 20%.

2.34 а) В связи с увеличением числа учащихся школьная столовая стала закупать в 1,2 раза больше муки для пирожков. Как изменились расходы столовой на муку, если она подорожала с 20 до 30 р. за килограмм?

б) Из-за неурожая какао-бобов, используемых в производстве шоколада, страна-поставщик увеличила их цену в 1,5 раза. В связи с этим кондитерская фабрика «Шоколад» вместо 20 т какао-бобов в день стала перерабатывать 16 т. Как изменились ежедневные затраты фабрики на закупку какао-бобов?

в) Стоимость минуты телефонного разговора по мобильной связи была снижена на 20%. Как при этом изменятся расходы Николая на телефон, если он сократит время разговоров в 2 раза?

а) Для решения этой задачи нужно сравнить расходы столовой на муку до и после изменений. Расходы вычисляются как произведение количества муки на ее цену за килограмм.
Пусть $V_1$ - начальное количество муки, которое закупала столовая, а $P_1$ - начальная цена за килограмм.
Начальные расходы столовой составляли: $R_1 = V_1 \times P_1$.
По условию, $P_1 = 20$ р. за кг.
После изменений количество закупаемой муки стало в 1,2 раза больше, то есть $V_2 = 1.2 \times V_1$.
Цена муки выросла до 30 р. за кг, то есть $P_2 = 30$ р.
Новые расходы столовой: $R_2 = V_2 \times P_2 = (1.2 \times V_1) \times 30 = 36 \times V_1$.
Чтобы узнать, как изменились расходы, найдем отношение новых расходов к начальным:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{36 \times V_1}{20 \times V_1} = \frac{36}{20} = 1.8$.
Это означает, что расходы столовой на муку увеличились в 1,8 раза.
Ответ: расходы столовой на муку увеличились в 1,8 раза.

б) Ежедневные затраты фабрики равны произведению количества перерабатываемых какао-бобов на их цену.
Пусть $P_1$ - начальная цена какао-бобов за тонну. Начальный объем переработки был $V_1 = 20$ т в день.
Начальные ежедневные затраты: $Z_1 = V_1 \times P_1 = 20 \times P_1$.
После изменений цена увеличилась в 1,5 раза, то есть новая цена $P_2 = 1.5 \times P_1$.
Объем переработки сократился до $V_2 = 16$ т в день.
Новые ежедневные затраты: $Z_2 = V_2 \times P_2 = 16 \times (1.5 \times P_1) = 24 \times P_1$.
Сравним новые затраты с начальными, найдя их отношение:
$\frac{Z_2}{Z_1} = \frac{24 \times P_1}{20 \times P_1} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} = 1.2$.
Следовательно, ежедневные затраты фабрики увеличились в 1,2 раза.
Ответ: ежедневные затраты фабрики увеличились в 1,2 раза.

в) Расходы на телефонную связь вычисляются как произведение времени разговоров на стоимость одной минуты.
Пусть $T_1$ - начальное время разговоров, а $P_1$ - начальная стоимость минуты.
Начальные расходы Николая: $R_1 = T_1 \times P_1$.
Стоимость минуты была снижена на 20%. Это значит, что новая стоимость составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от начальной.
Новая стоимость минуты: $P_2 = (1 - 0.20) \times P_1 = 0.8 \times P_1$.
Время разговоров сократилось в 2 раза, то есть новое время $T_2 = \frac{T_1}{2} = 0.5 \times T_1$.
Новые расходы Николая: $R_2 = T_2 \times P_2 = (0.5 \times T_1) \times (0.8 \times P_1) = 0.4 \times T_1 \times P_1$.
Чтобы определить, как изменятся расходы, найдем отношение новых расходов к начальным:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{0.4 \times T_1 \times P_1}{T_1 \times P_1} = 0.4$.
Новые расходы составляют 0,4 от начальных. Чтобы найти, во сколько раз расходы уменьшились, разделим начальные расходы на новые:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{0.4} = 2.5$.
Расходы Николая на телефон уменьшатся в 2,5 раза.
Ответ: расходы Николая на телефон уменьшатся в 2,5 раза.