Страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.20 Велосипедист проехал расстояние от станции до турбазы за 30 мин.

а) За какое время пройдёт это же расстояние турист, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

б) За какое время проедет это же расстояние мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

Для решения данной задачи мы будем использовать зависимость между расстоянием ($S$), скоростью ($v$) и временем ($t$), которая выражается формулой $S = v \cdot t$. Расстояние от станции до турбазы во всех случаях одинаковое.

Обозначим время движения велосипедиста как $t_{в}$, а его скорость как $v_{в}$. По условию, $t_{в} = 30$ минут.

а) За какое время пройдёт это же расстояние турист, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

Пусть $t_{т}$ — время туриста, а $v_{т}$ — его скорость.По условию, скорость туриста в 3 раза меньше скорости велосипедиста, то есть $v_{т} = \frac{v_{в}}{3}$.

Расстояние, которое проехал велосипедист: $S = v_{в} \cdot t_{в} = v_{в} \cdot 30$.Расстояние, которое прошёл турист: $S = v_{т} \cdot t_{т}$.

Поскольку расстояние одинаковое, мы можем приравнять эти два выражения:$v_{в} \cdot 30 = v_{т} \cdot t_{т}$

Подставим в это уравнение выражение для скорости туриста $v_{т} = \frac{v_{в}}{3}$:$v_{в} \cdot 30 = \frac{v_{в}}{3} \cdot t_{т}$

Сократим обе части уравнения на $v_{в}$ (так как скорость не равна нулю):$30 = \frac{t_{т}}{3}$

Отсюда выразим время туриста:$t_{т} = 30 \cdot 3 = 90$ минут.

Так как в одном часе 60 минут, то 90 минут — это 1 час 30 минут.

Альтернативное рассуждение: Время и скорость при постоянном расстоянии являются обратно пропорциональными величинами. Если скорость уменьшается в 3 раза, то время, необходимое для преодоления того же расстояния, увеличивается в 3 раза.$t_{т} = 30 \text{ мин} \cdot 3 = 90$ минут.

Ответ: 90 минут (или 1 час 30 минут).

б) За какое время проедет это же расстояние мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

Пусть $t_{м}$ — время мотоциклиста, а $v_{м}$ — его скорость.По условию, скорость мотоциклиста в 5 раз больше скорости велосипедиста, то есть $v_{м} = 5 \cdot v_{в}$.

Расстояние, которое проехал велосипедист: $S = v_{в} \cdot 30$.Расстояние, которое проехал мотоциклист: $S = v_{м} \cdot t_{м}$.

Приравняем выражения для расстояния:$v_{в} \cdot 30 = v_{м} \cdot t_{м}$

Подставим в уравнение выражение для скорости мотоциклиста $v_{м} = 5 \cdot v_{в}$:$v_{в} \cdot 30 = (5 \cdot v_{в}) \cdot t_{м}$

Сократим обе части уравнения на $v_{в}$:$30 = 5 \cdot t_{м}$

Отсюда выразим время мотоциклиста:$t_{м} = \frac{30}{5} = 6$ минут.

Альтернативное рассуждение: Так как скорость и время обратно пропорциональны, если скорость увеличивается в 5 раз, то время движения уменьшается в 5 раз.$t_{м} = \frac{30 \text{ мин}}{5} = 6$ минут.

Ответ: 6 минут.

2.21 Шесть насосов выкачивают всю воду из бассейна за 10 ч.

a) Сколько надо таких же насосов, чтобы выкачать воду из этого бассейна за 5 ч; за 15 ч?

б) За какое время выкачают всю воду из этого бассейна 3 таких же насоса? 9 таких же насосов?

Это задача на обратную пропорциональность. Чем больше насосов работает, тем меньше времени требуется для выполнения одной и той же работы (выкачивания всей воды из бассейна).

Сначала определим "объем" всей работы. Если 6 насосов справляются за 10 часов, то суммарная работа составляет:

$6 \text{ насосов} \times 10 \text{ часов} = 60 \text{ насосо-часов}$

Это означает, что для выкачивания всей воды из бассейна требуется совершить работу, эквивалентную работе одного насоса в течение 60 часов. Эта величина является постоянной для всех подзадач.

Пусть $N$ — это количество насосов, а $T$ — время в часах. Тогда их произведение всегда будет равно 60:

$N \times T = 60$

а) Сколько надо таких же насосов, чтобы выкачать воду из этого бассейна за 5 ч; за 15 ч?

Используем выведенную формулу $N \times T = 60$, чтобы найти количество насосов $N$ для заданного времени $T$.

• Чтобы выкачать воду за 5 часов ($T=5$):

  $N \times 5 = 60$

  $N = \frac{60}{5} = 12$

  Следовательно, потребуется 12 насосов.

• Чтобы выкачать воду за 15 часов ($T=15$):

  $N \times 15 = 60$

  $N = \frac{60}{15} = 4$

  Следовательно, потребуется 4 насоса.

Ответ: чтобы выкачать воду за 5 часов, понадобится 12 насосов, а за 15 часов — 4 насоса.

б) За какое время выкачают всю воду из этого бассейна 3 таких же насоса? 9 таких же насосов?

Используем ту же формулу $N \times T = 60$, чтобы найти время $T$ для заданного количества насосов $N$.

• Для 3 насосов ($N=3$):

  $3 \times T = 60$

  $T = \frac{60}{3} = 20$

  Следовательно, 3 насоса справятся за 20 часов.

• Для 9 насосов ($N=9$):

  $9 \times T = 60$

  $T = \frac{60}{9} = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3}$

  Чтобы перевести дробную часть часа в минуты: $\frac{2}{3} \times 60 \text{ мин} = 40 \text{ мин}$.

  Следовательно, 9 насосов справятся за 6 часов 40 минут.

Ответ: 3 насоса выкачают воду за 20 часов; 9 насосов — за 6 часов 40 минут (или $6\frac{2}{3}$ часа).

2.22 a) Заготовленного запаса кормов хватит двум кроликам на 120 дней. На сколько дней такого же запаса кормов хватит 10 кроликам; 12 кроликам?

б) Три трактора могут вспахать поле за 18 ч. Сколько потребуется тракторов, чтобы вспахать это поле за 9 ч; за 27 ч?

а)

В этой задаче рассматривается обратная пропорциональность. Чем больше кроликов, тем на меньшее количество дней им хватит одного и того же запаса кормов. Общее количество корма остается неизменным.

1. Сначала найдем, на сколько "кормо-дней" рассчитан весь запас. Это эквивалентно тому, на сколько дней хватило бы корма одному кролику. Для этого умножим количество кроликов на количество дней:

$2 \text{ кролика} \times 120 \text{ дней} = 240 \text{ кормо-дней}$

2. Теперь, зная общий запас, можно рассчитать, на сколько дней его хватит для 10 кроликов. Для этого разделим общее количество кормо-дней на новое количество кроликов:

$240 \text{ кормо-дней} \div 10 \text{ кроликов} = 24 \text{ дня}$

3. Аналогично рассчитаем, на сколько дней этого же запаса хватит 12 кроликам:

$240 \text{ кормо-дней} \div 12 \text{ кроликов} = 20 \text{ дней}$

Ответ: для 10 кроликов запаса хватит на 24 дня, а для 12 кроликов — на 20 дней.

б)

Эта задача также на обратную пропорциональность. Чем больше тракторов работает одновременно, тем меньше времени им потребуется для выполнения одной и той же работы. Объем работы (вспашка поля) постоянен.

1. Сначала найдем общий объем работы в "тракторо-часах". Это эквивалентно тому, сколько часов потребовалось бы одному трактору, чтобы вспахать все поле. Для этого умножим количество тракторов на время работы:

$3 \text{ трактора} \times 18 \text{ часов} = 54 \text{ тракторо-часа}$

2. Теперь рассчитаем, сколько тракторов потребуется, чтобы выполнить этот же объем работы за 9 часов. Для этого разделим общий объем работы на новое время:

$54 \text{ тракторо-часа} \div 9 \text{ часов} = 6 \text{ тракторов}$

3. Аналогично рассчитаем, сколько тракторов потребуется, чтобы вспахать поле за 27 часов:

$54 \text{ тракторо-часа} \div 27 \text{ часов} = 2 \text{ трактора}$

Ответ: чтобы вспахать поле за 9 часов, потребуется 6 тракторов; чтобы вспахать поле за 27 часов — 2 трактора.

2.23 Среди зависимостей, заданных формулой, определите те, которые являются обратной пропорциональностью, найдите произведение соответствующих значений переменных и объясните смысл этого произведения:

а) $h = \frac{60}{a^2}$, где $a$ — сторона квадрата, лежащего в основании параллелепипеда, $h$ — высота параллелепипеда;

б) $a = \frac{12}{h}$, где $h$ — ширина прямоугольника, $a$ — его длина;

в) $n = \frac{100}{m}$, где $m$ — грузоподъёмность машины, $n$ — число машин, необходимых для перевозки груза;

г) $n = \frac{M}{12}$, где $M$ — масса груза, который необходимо перевезти, $n$ — число машин, необходимых для перевозки груза.

а) Зависимость задана формулой $h = \frac{60}{a^2}$. Эта зависимость не является обратной пропорциональностью между переменными $h$ и $a$, поскольку $h$ обратно пропорциональна квадрату переменной $a$ ($a^2$), а не самой переменной $a$. Произведение переменных $h \cdot a = \frac{60}{a^2} \cdot a = \frac{60}{a}$ не является постоянным числом, оно зависит от значения $a$. Однако, если рассмотреть произведение $h$ на $a^2$, то оно будет постоянным: $h \cdot a^2 = 60$. Физический смысл этого произведения — объём параллелепипеда, так как $a^2$ — это площадь основания, а $h$ — высота.
Ответ: данная зависимость не является обратной пропорциональностью.

б) Зависимость задана формулой $a = \frac{12}{h}$. Эта зависимость является обратной пропорциональностью, так как она соответствует виду $y = \frac{k}{x}$, где $k=12$ — коэффициент пропорциональности.
Чтобы найти произведение соответственных значений переменных, умножим обе части уравнения на $h$:
$a \cdot h = 12$.
Смысл этого произведения: переменная $a$ — это длина прямоугольника, а $h$ — его ширина. Их произведение $a \cdot h$ равно площади прямоугольника. Таким образом, площадь прямоугольника является постоянной величиной и равна 12.
Ответ: зависимость является обратной пропорциональностью, произведение $a \cdot h = 12$, что соответствует площади прямоугольника.

в) Зависимость задана формулой $n = \frac{100}{m}$. Эта зависимость является обратной пропорциональностью, так как она соответствует виду $y = \frac{k}{x}$, где $k=100$.
Найдем произведение соответственных значений переменных, умножив обе части уравнения на $m$:
$n \cdot m = 100$.
Смысл этого произведения: переменная $n$ — это число машин, а $m$ — грузоподъемность каждой машины. Их произведение $n \cdot m$ равно общей массе груза, которую необходимо перевезти. Таким образом, общая масса груза постоянна и равна 100.
Ответ: зависимость является обратной пропорциональностью, произведение $n \cdot m = 100$, что соответствует общей массе перевозимого груза.

г) Зависимость задана формулой $n = \frac{M}{12}$. Эту формулу можно представить в виде $n = \frac{1}{12} \cdot M$. Это зависимость вида $y = kx$, которая является прямой пропорциональностью, а не обратной. При увеличении общей массы груза $M$ будет требоваться пропорционально большее число машин $n$.
Ответ: данная зависимость не является обратной пропорциональностью.