Страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.9 Из физической формулы выразите переменную m:

a) $\rho = \frac{m}{V}$;

б) $a = \frac{F}{m}$;

в) $Q = cmt$;

г) $E = \frac{mv^2}{2}$.

а) Исходная формула для плотности: $ \rho = \frac{m}{V} $. В этой формуле $ \rho $ — это плотность, $ m $ — масса, а $ V $ — объем.

Чтобы выразить переменную $ m $, нам нужно избавиться от знаменателя $ V $ в правой части уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на $ V $:

$ \rho \cdot V = \frac{m}{V} \cdot V $

В правой части $ V $ в числителе и знаменателе сокращаются, и мы получаем выражение для массы $ m $:

$ m = \rho V $

Ответ: $ m = \rho V $

б) Исходная формула — это второй закон Ньютона: $ a = \frac{F}{m} $. Здесь $ a $ — ускорение, $ F $ — сила, а $ m $ — масса.

Чтобы выразить массу $ m $, которая находится в знаменателе, можно воспользоваться свойством пропорции или последовательно выполнить преобразования. Сначала умножим обе части уравнения на $ m $:

$ a \cdot m = \frac{F}{m} \cdot m $

$ a \cdot m = F $

Теперь, чтобы выделить $ m $, разделим обе части полученного уравнения на ускорение $ a $:

$ \frac{a \cdot m}{a} = \frac{F}{a} $

$ m = \frac{F}{a} $

Ответ: $ m = \frac{F}{a} $

в) Исходная формула для количества теплоты: $ Q = cmt $. В этой формуле $ Q $ — количество теплоты, $ c $ — удельная теплоемкость вещества, $ m $ — масса, а $ t $ — изменение температуры.

Переменная $ m $ является одним из множителей в произведении $ cmt $. Чтобы выразить $ m $, необходимо разделить обе части уравнения на остальные множители, то есть на $ c $ и $ t $:

$ \frac{Q}{ct} = \frac{cmt}{ct} $

В правой части множители $ c $ и $ t $ сокращаются, и мы получаем искомое выражение для массы $ m $:

$ m = \frac{Q}{ct} $

Ответ: $ m = \frac{Q}{ct} $

г) Исходная формула для кинетической энергии: $ E = \frac{mv^2}{2} $. Здесь $ E $ — энергия, $ m $ — масса, а $ v $ — скорость.

Чтобы выразить массу $ m $, сначала избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 2:

$ E \cdot 2 = \frac{mv^2}{2} \cdot 2 $

$ 2E = mv^2 $

Теперь масса $ m $ является множителем в произведении $ mv^2 $. Чтобы найти $ m $, разделим обе части уравнения на $ v^2 $:

$ \frac{2E}{v^2} = \frac{mv^2}{v^2} $

$ m = \frac{2E}{v^2} $

Ответ: $ m = \frac{2E}{v^2} $

2.10 Наблюдатель во время грозы считает, сколько секунд ($t$) прошло между вспышкой молнии и раскатом грома, и определяет, на каком расстоянии ($S$) он находится от эпицентра грозы. Составьте формулу для вычисления этого расстояния в километрах, если известно, что звук распространяется в воздухе со скоростью 330 м/с. Определите по этой формуле, на каком расстоянии от эпицентра грозы вы находитесь, если между вспышкой молнии и громом вы насчитали 6 с.

$S = \frac{330 \cdot t}{1000}$

$S = \frac{330 \cdot 6}{1000}$

Составление формулы для вычисления расстояния в километрах

Скорость света чрезвычайно высока, поэтому мы видим вспышку молнии практически мгновенно. Задержка по времени $t$ (в секундах), которую мы измеряем, — это время, которое требуется звуку грома, чтобы преодолеть расстояние $S$ от эпицентра грозы до наблюдателя.

Связь между расстоянием, скоростью и временем описывается формулой:
$S = v \cdot t$

По условию задачи, скорость звука в воздухе $v = 330$ м/с. Подставив это значение, мы получим формулу для расчета расстояния в метрах:
$S_{метры} = 330 \cdot t$

Чтобы выразить расстояние в километрах ($S_{км}$), необходимо разделить значение в метрах на 1000, так как 1 км = 1000 м.
$S_{км} = \frac{S_{метры}}{1000} = \frac{330 \cdot t}{1000}$

Упростив выражение, получим искомую формулу:
$S_{км} = 0.33 \cdot t$

Ответ: Формула для вычисления расстояния $S$ в километрах, где $t$ — время в секундах: $S = 0.33 \cdot t$.

Определение расстояния до эпицентра грозы

Теперь воспользуемся выведенной формулой для конкретного случая, когда время задержки между вспышкой молнии и раскатом грома составило 6 секунд.

Дано:
$t = 6$ с

Подставим это значение в нашу формулу:
$S = 0.33 \cdot 6$

Выполним вычисление:
$S = 1.98$ км

Ответ: Если между вспышкой молнии и громом прошло 6 секунд, расстояние до эпицентра грозы составляет 1,98 км.

2.11 За время $t$ человек, длина шага которого равна $l$, сделал $n$ шагов. Составьте формулу, выражающую зависимость его скорости $v$ от переменных $t$, $l$ и $n$. Найдите по этой формуле скорость пешехода, выразив её в метрах в минуту и в километрах в час, если длина его шага 60 см и за 5 мин он сделал 700 шагов.

Составьте формулу, выражающую зависимость его скорости v от переменных t, l и n.

Скорость $v$ определяется как отношение пройденного пути $s$ ко времени $t$, то есть $v = \frac{s}{t}$. Общий пройденный путь $s$ равен произведению количества шагов $n$ на длину одного шага $l$, то есть $s = n \cdot l$. Подставив выражение для пути $s$ в формулу скорости, получаем искомую зависимость: $v = \frac{n \cdot l}{t}$.

Ответ: $v = \frac{n \cdot l}{t}$.

Найдите по этой формуле скорость пешехода, выразив её в метрах в минуту и в километрах в час, если длина его шага 60 см и за 5 мин он сделал 700 шагов.

Нам даны следующие значения: время $t = 5$ мин, длина шага $l = 60$ см, количество шагов $n = 700$.

Расчет скорости в метрах в минуту (м/мин):
Сначала переведем длину шага в метры: $l = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$.
Затем вычислим общий пройденный путь $s$: $s = n \cdot l = 700 \cdot 0.6 \text{ м} = 420 \text{ м}$.
Теперь можно рассчитать скорость, используя время $t = 5$ мин: $v = \frac{s}{t} = \frac{420 \text{ м}}{5 \text{ мин}} = 84$ м/мин.

Расчет скорости в километрах в час (км/ч):
Для перевода скорости из метров в минуту в километры в час используем соотношения: 1 км = 1000 м и 1 час = 60 мин.
$v = 84 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 84 \cdot \frac{1/1000 \text{ км}}{1/60 \text{ ч}} = 84 \cdot \frac{60}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{5040}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 5.04$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода равна 84 м/мин, или 5.04 км/ч.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (2.12–2.13)

2.12 Электропоезд проходит расстояние между соседними километровыми столбами за 1,5 мин. На сколько километров в час надо увеличить скорость, чтобы сократить это время на полминуты?

Для решения задачи необходимо сначала найти первоначальную скорость электропоезда, затем скорость, с которой он должен двигаться, чтобы сократить время, и, наконец, найти разницу между этими скоростями.

1. Находим первоначальную скорость ($v_1$)
Расстояние между километровыми столбами составляет $s = 1$ км. Время, за которое поезд проходит это расстояние, $t_1 = 1,5$ мин. Чтобы найти скорость в км/ч, переведем время из минут в часы. В одном часе 60 минут, поэтому: $t_1 = 1,5 \text{ мин} = \frac{1,5}{60} \text{ ч} = \frac{1}{40} \text{ ч}$.
Теперь вычислим первоначальную скорость по формуле $v = s/t$: $v_1 = \frac{1 \text{ км}}{1/40 \text{ ч}} = 40 \text{ км/ч}$.

2. Находим новую скорость ($v_2$)
По условию, время нужно сократить на полминуты, то есть на $0,5$ мин. Новое время в пути $t_2$ составит: $t_2 = 1,5 \text{ мин} - 0,5 \text{ мин} = 1 \text{ мин}$.
Переведем новое время в часы: $t_2 = 1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч}$.
Теперь вычислим новую скорость, с которой поезд должен проехать 1 км: $v_2 = \frac{1 \text{ км}}{1/60 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч}$.

3. Находим разницу скоростей
Чтобы определить, на сколько нужно увеличить скорость, вычтем из новой скорости первоначальную: $\Delta v = v_2 - v_1 = 60 \text{ км/ч} - 40 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$.

Ответ: на 20 км/ч.

2.13 Легкоатлеты в процессе тренировки вырабатывают скоростную выносливость, увеличивая скорость во время бега. Например, бегун на дистанции 1500 м пробежал первые 250 м за 50 с, следующие 500 м за 95 с и оставшиеся 750 м за 140 с. Какую скорость (в км/ч) развил этот бегун на каждом из участков дистанции? (Ответы округлите до десятых. Воспользуйтесь калькулятором.)

Для определения скорости бегуна на каждом из участков дистанции необходимо применить формулу средней скорости $v = \frac{s}{t}$, где $s$ — это пройденное расстояние, а $t$ — время, за которое это расстояние было пройдено. Так как в задаче требуется указать скорость в км/ч, а данные приведены в метрах и секундах, необходимо выполнить перевод единиц измерения. Для перевода скорости из м/с в км/ч нужно умножить значение на коэффициент 3,6. Это связано с тем, что в 1 километре 1000 метров, а в 1 часе 3600 секунд, следовательно, $1 \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{1/1000 \text{ км}}{1/3600 \text{ ч}} = \frac{3600}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 3.6 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.

Скорость на первом участке

На первом участке бегун преодолел расстояние $s_1 = 250$ м за время $t_1 = 50$ с.

1. Рассчитаем скорость в м/с:

$v_1 = \frac{s_1}{t_1} = \frac{250 \text{ м}}{50 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

2. Переведем полученную скорость в км/ч:

$v_1 = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times 3.6 = 18 \text{ км/ч}$

Согласно условию, ответ необходимо округлить до десятых, поэтому скорость на первом участке составляет 18,0 км/ч.

Ответ: 18,0 км/ч.

Скорость на втором участке

На втором участке бегун преодолел расстояние $s_2 = 500$ м за время $t_2 = 95$ с.

1. Рассчитаем скорость в м/с:

$v_2 = \frac{s_2}{t_2} = \frac{500 \text{ м}}{95 \text{ с}} \approx 5.263 \text{ м/с}$

2. Переведем полученную скорость в км/ч:

$v_2 \approx 5.263 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times 3.6 \approx 18.947 \text{ км/ч}$

Округляя до десятых, получаем скорость на втором участке 18,9 км/ч.

Ответ: 18,9 км/ч.

Скорость на третьем участке

На последнем участке бегун преодолел расстояние $s_3 = 750$ м за время $t_3 = 140$ с.

1. Рассчитаем скорость в м/с:

$v_3 = \frac{s_3}{t_3} = \frac{750 \text{ м}}{140 \text{ с}} \approx 5.357 \text{ м/с}$

2. Переведем полученную скорость в км/ч:

$v_3 \approx 5.357 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times 3.6 \approx 19.285 \text{ км/ч}$

Округляя до десятых, получаем скорость на третьем участке 19,3 км/ч.

Ответ: 19,3 км/ч.