Страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2 Даны дроби $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $. Выберите из данных значений $a$ и $b$ такие, при которых $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $.

1) $a = 16, b = 15$

2) $a = -16, b = -15$

3) $a = -15, b = -16$

4) $a = -15, b = 16$

Чтобы решить задачу, необходимо проверить каждую из четырех предложенных пар значений $a$ и $b$, подставив их в неравенство $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.

1) $a = 16, b = 15$

Подставляем значения в неравенство: $\frac{1}{16} > \frac{1}{15}$.
Для положительных чисел, из двух дробей с одинаковыми числителями (равным 1) больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $16 > 15$, то $\frac{1}{16} < \frac{1}{15}$. Таким образом, неравенство неверно.
Ответ: неверно.

2) $a = -16, b = -15$

Подставляем значения: $\frac{1}{-16} > \frac{1}{-15}$, что эквивалентно $-\frac{1}{16} > -\frac{1}{15}$.
Как мы установили, $\frac{1}{16} < \frac{1}{15}$. При умножении обеих частей этого верного неравенства на отрицательное число $-1$, знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{1}{16} > -\frac{1}{15}$. Таким образом, это неравенство верно.
Ответ: верно.

3) $a = -15, b = -16$

Подставляем значения: $\frac{1}{-15} > \frac{1}{-16}$, что эквивалентно $-\frac{1}{15} > -\frac{1}{16}$.
Мы знаем, что $15 < 16$, следовательно $\frac{1}{15} > \frac{1}{16}$. Умножая обе части на $-1$, мы меняем знак неравенства: $-\frac{1}{15} < -\frac{1}{16}$. Таким образом, исходное неравенство неверно.
Ответ: неверно.

4) $a = -15, b = 16$

Подставляем значения: $\frac{1}{-15} > \frac{1}{16}$.
В левой части неравенства находится отрицательное число, а в правой — положительное. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного, поэтому данное неравенство неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, единственным вариантом, который удовлетворяет исходному неравенству, является второй.
Ответ: 2

3 Найдите значение выражения $ \frac{0,3 \cdot 0,25}{0,45} $.

Чтобы найти значение данного выражения, можно пойти несколькими путями. Рассмотрим один из самых простых — избавление от десятичных дробей.

Исходное выражение: $\frac{0.3 \cdot 0.25}{0.45}$.

Сначала вычислим произведение в числителе: $0.3 \cdot 0.25 = 0.075$.

Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{0.075}{0.45}$.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, домножим числитель и знаменатель на 1000 (это число выбрано, так как у числа 0.075 три знака после запятой, и умножение на 1000 сделает его целым). Основное свойство дроби позволяет нам это сделать, так как значение дроби не изменится. $\frac{0.075 \cdot 1000}{0.45 \cdot 1000} = \frac{75}{450}$.

Теперь у нас есть обыкновенная дробь, которую нужно сократить. Мы можем сократить ее, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Заметим, что 75 и 450 делятся на 25: $\frac{75}{450} = \frac{75 \div 25}{450 \div 25} = \frac{3}{18}$.

Теперь сократим полученную дробь $\frac{3}{18}$ на 3: $\frac{3}{18} = \frac{3 \div 3}{18 \div 3} = \frac{1}{6}$.

Таким образом, значение исходного выражения равно $\frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

4 Даны выражения:

1) $2,37 : (1,15 \cdot 0,18)$

2) $(2,37 : 1,15) \cdot 0,18$

3) $2,37 : (1,15 : 0,18)$

4) $(2,37 : 1,15) : 0,18$

Укажите номера выражений, которые могут быть преобразованы

к виду $\frac{2,37}{1,15 \cdot 0,18}$.

Для того чтобы определить, какие из данных выражений можно преобразовать к виду $\frac{2,37}{1,15 \cdot 0,18}$, необходимо проанализировать каждое из них, выполнив соответствующие математические преобразования.

Целевое выражение в виде дроби $\frac{2,37}{1,15 \cdot 0,18}$ означает, что число 2,37 (числитель) делится на результат произведения чисел 1,15 и 0,18 (знаменатель). В виде строчной записи это эквивалентно выражению $2,37 : (1,15 \cdot 0,18)$.

1) 2,37 : (1,15 · 0,18)

Это выражение в точности соответствует строчной записи целевой дроби. Делимое (2,37) становится числителем, а делитель (произведение в скобках $1,15 \cdot 0,18$) — знаменателем. Таким образом, $2,37 : (1,15 \cdot 0,18) = \frac{2,37}{1,15 \cdot 0,18}$. Следовательно, данное выражение подходит.

2) (2,37 : 1,15) · 0,18

Согласно порядку действий, сначала выполняется деление в скобках, а затем результат умножается на 0,18. Преобразуем это выражение, представив деление в виде дроби: $(\frac{2,37}{1,15}) \cdot 0,18 = \frac{2,37 \cdot 0,18}{1,15}$. Полученная дробь не равна исходной, так как множитель 0,18 находится в числителе, а должен быть в знаменателе. Следовательно, данное выражение не подходит.

3) 2,37 : (1,15 : 0,18)

В этом выражении необходимо разделить 2,37 на результат деления $1,15$ на $0,18$. Выражение в скобках можно представить как дробь $\frac{1,15}{0,18}$. Тогда всё выражение примет вид $2,37 : \frac{1,15}{0,18}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевёрнутую) дробь: $2,37 \cdot \frac{0,18}{1,15} = \frac{2,37 \cdot 0,18}{1,15}$. Эта дробь также не равна исходной. Следовательно, данное выражение не подходит.

4) (2,37 : 1,15) : 0,18

Здесь выполняется последовательное деление. Воспользуемся свойством деления: $a : b : c = a : (b \cdot c)$. Применив это свойство, получаем: $(2,37 : 1,15) : 0,18 = 2,37 : (1,15 \cdot 0,18)$. Как мы установили в пункте 1, это выражение эквивалентно дроби $\frac{2,37}{1,15 \cdot 0,18}$. Следовательно, данное выражение подходит.

Таким образом, выражения под номерами 1 и 4 могут быть преобразованы к заданному виду.

Ответ: 1, 4.

5 Найдите значение выражения $\frac{(a+x)(a-x)}{ax}$ при $a = -2, x = -0,2$.

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{(a+x)(a-x)}{ax}$ при $a = -2$ и $x = -0.2$, можно сначала упростить выражение, а затем подставить значения, или сразу подставить значения. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Упрощение выражения
Сначала упростим данное алгебраическое выражение. В числителе находится произведение суммы и разности двух выражений, что является формулой разности квадратов: $(a+x)(a-x) = a^2 - x^2$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$\frac{a^2 - x^2}{ax}$
Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:
$\frac{a^2}{ax} - \frac{x^2}{ax}$
Сокращаем каждую из дробей:
$\frac{a}{x} - \frac{x}{a}$
Теперь подставим в упрощенное выражение значения $a = -2$ и $x = -0.2$:
$\frac{-2}{-0.2} - \frac{-0.2}{-2}$
Вычисляем значение каждой дроби. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число.
$\frac{2}{0.2} - \frac{0.2}{2} = 10 - 0.1 = 9.9$

Способ 2: Прямая подстановка
Подставим значения $a = -2$ и $x = -0.2$ непосредственно в исходное выражение:
$\frac{(a+x)(a-x)}{ax} = \frac{(-2 + (-0.2))(-2 - (-0.2))}{(-2) \cdot (-0.2)}$
Выполним действия в скобках в числителе и умножение в знаменателе:
$\frac{(-2 - 0.2)(-2 + 0.2)}{0.4} = \frac{(-2.2) \cdot (-1.8)}{0.4}$
Вычислим произведение в числителе. Произведение двух отрицательных чисел положительно:
$(-2.2) \cdot (-1.8) = 2.2 \cdot 1.8 = 3.96$
Теперь разделим результат на значение знаменателя:
$\frac{3.96}{0.4} = \frac{39.6}{4} = 9.9$
Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 9.9

6 На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из следующих неравенств неверно?

1) $\frac{1}{a} < -1$

2) $-\frac{1}{a} > 1$

3) $\frac{1}{a} < a$

4) $-\frac{1}{a} < a$

На координатной прямой отмечено число $a$. Из рисунка видно, что это число находится в промежутке между $-1$ и $0$. Таким образом, для $a$ выполняется двойное неравенство: $-1 < a < 0$.

Чтобы определить, какое из предложенных неравенств неверно, проверим каждое из них, подставив вместо $a$ конкретное значение из указанного промежутка. Для удобства вычислений возьмем $a = -0.5$.

1) $\frac{1}{a} < -1$
Подставляем $a = -0.5$ в неравенство:
$\frac{1}{-0.5} < -1$
$-2 < -1$
Неравенство является верным.
Ответ: верно.

2) $-\frac{1}{a} > 1$
Подставляем $a = -0.5$ в неравенство:
$-\frac{1}{-0.5} > 1$
$-(-2) > 1$
$2 > 1$
Неравенство является верным.
Ответ: верно.

3) $\frac{1}{a} < a$
Подставляем $a = -0.5$ в неравенство:
$\frac{1}{-0.5} < -0.5$
$-2 < -0.5$
Неравенство является верным.
Ответ: верно.

4) $-\frac{1}{a} < a$
Подставляем $a = -0.5$ в неравенство:
$-\frac{1}{-0.5} < -0.5$
$2 < -0.5$
Неравенство является неверным, поскольку положительное число $2$ не может быть меньше отрицательного числа $-0.5$.
Ответ: неверно.

Таким образом, единственное неверное неравенство из предложенных — это неравенство под номером 4.

Ответ: 4

7 Как можно записать короче выражение

$7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 7$ (10 множителей) $\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 5$ (20 множителей)?

1) $7^{10} \cdot 5^{20}$

2) $7^{10} + 5^{20}$

3) $10^7 \cdot 20^5$

4) $10^7 + 20^5$

Чтобы записать данное выражение короче, необходимо воспользоваться определением степени. Степенью числа a с натуральным показателем n ($n > 1$) называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Такая запись имеет вид $a^n$, где a — это основание степени, а n — показатель степени.

Выражение в задаче состоит из двух частей, соединенных знаком умножения.

Первая часть — это произведение числа 7 самого на себя 10 раз. $\underbrace{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 7}_{10 \text{ множителей}}$ Согласно определению степени, это выражение можно записать как $7^{10}$.

Вторая часть — это произведение числа 5 самого на себя 20 раз. $\underbrace{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 5}_{20 \text{ множителей}}$ Аналогично, это выражение записывается как $5^{20}$.

Так как исходное выражение является произведением этих двух частей, его можно записать в сокращенном виде, перемножив их степенные представления: $7^{10} \cdot 5^{20}$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 1. Другие варианты неверны: в вариантах 2 и 4 используется сложение вместо умножения, а в вариантах 3 и 4 основание и показатель степени перепутаны местами (например, $10^7$ вместо $7^{10}$).

Ответ: 1) $7^{10} \cdot 5^{20}$

8 Вычислите

$10 \cdot (-0,3)^3.$

Чтобы вычислить значение выражения $10 \cdot (-0,3)^3$, необходимо сначала выполнить операцию возведения в степень, а затем умножение.

Первым действием возведем число $-0,3$ в третью степень. Это равносильно умножению числа на себя три раза:

$(-0,3)^3 = (-0,3) \cdot (-0,3) \cdot (-0,3)$

При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае степень равна 3) результат будет отрицательным. Вычислим модуль этого значения:

$0,3 \cdot 0,3 = 0,09$

$0,09 \cdot 0,3 = 0,027$

Следовательно, $(-0,3)^3 = -0,027$.

Вторым действием выполним умножение полученного результата на 10:

$10 \cdot (-0,027) = -0,27$

Ответ: $-0,27$

9 Расположите в порядке возрастания числа: $ -1,7 $; $ (-1,7)^2 $; $ (-1,7)^3 $.

1) $ -1,7 $; $ (-1,7)^2 $; $ (-1,7)^3 $

2) $ (-1,7)^3 $; $ (-1,7)^2 $; $ -1,7 $

3) $ (-1,7)^3 $; $ -1,7 $; $ (-1,7)^2 $

4) $ -1,7 $; $ (-1,7)^3 $; $ (-1,7)^2 $

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо вычислить значение каждого выражения и сравнить их между собой.

Данные числа: $-1,7$; $(-1,7)^2$; $(-1,7)^3$.

Вычисление значений

1. Первое число уже дано в готовом виде: $-1,7$.

2. Второе число: $(-1,7)^2$. Возведение отрицательного числа в четную степень (2) дает положительный результат.

$(-1,7)^2 = (-1,7) \cdot (-1,7) = 1,7 \cdot 1,7 = 2,89$

3. Третье число: $(-1,7)^3$. Возведение отрицательного числа в нечетную степень (3) дает отрицательный результат.

$(-1,7)^3 = (-1,7) \cdot (-1,7) \cdot (-1,7) = 2,89 \cdot (-1,7) = -4,913$

Сравнение и упорядочивание

Теперь у нас есть три значения: $-1,7$; $2,89$; $-4,913$.

Сравним их. Среди отрицательных чисел $-1,7$ и $-4,913$ меньшим является то, у которого модуль больше. Так как $|-4,913| > |-1,7|$, то $-4,913 < -1,7$. Положительное число $2,89$ является самым большим.

Расположив числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем:

$-4,913$; $-1,7$; $2,89$

Теперь заменим вычисленные значения их исходными выражениями:

$(-1,7)^3$; $-1,7$; $(-1,7)^2$

Этот порядок соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3