Страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.78 Какими цифрами могут оканчиваться числа, получающиеся при возведении в степень числа 3? Какой цифрой оканчивается число: $3^{10}$; $3^{15}$; $3^{120}$; $3^{126}$?

Для того чтобы определить, какими цифрами могут оканчиваться степени числа 3, рассмотрим несколько первых степеней:

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243$

$3^6 = 729$

Как видно, последние цифры степеней числа 3 повторяются с определенной периодичностью. Последовательность последних цифр: 3, 9, 7, 1. Затем она начинается заново. Длина этого цикла равна 4. Таким образом, последняя цифра степени числа 3 зависит от того, какой остаток дает показатель степени при делении на 4.

• Если показатель степени при делении на 4 дает остаток 1 (например, 1, 5, 9, ...), то число оканчивается на 3.
• Если остаток равен 2 (например, 2, 6, 10, ...), то число оканчивается на 9.
• Если остаток равен 3 (например, 3, 7, 11, ...), то число оканчивается на 7.
• Если показатель степени делится на 4 без остатка (остаток 0, например, 4, 8, 12, ...), то число оканчивается на 1.

Ответ на первую часть вопроса: числа, получающиеся при возведении в степень числа 3, могут оканчиваться цифрами 3, 9, 7 или 1.

Теперь определим последнюю цифру для каждого из предложенных чисел.

$3^{10}$
Найдем остаток от деления показателя степени 10 на 4: $10 \div 4 = 2$ с остатком 2. Остаток 2 соответствует второй цифре в нашей последовательности (3, 9, 7, 1).
Ответ: 9.

$3^{15}$
Найдем остаток от деления показателя степени 15 на 4: $15 \div 4 = 3$ с остатком 3. Остаток 3 соответствует третьей цифре в последовательности (3, 9, 7, 1).
Ответ: 7.

$3^{120}$
Найдем остаток от деления показателя степени 120 на 4. Так как 120 делится на 4 без остатка ($120 = 4 \cdot 30$), остаток равен 0. Это соответствует четвертой цифре в последовательности (3, 9, 7, 1).
Ответ: 1.

$3^{126}$
Найдем остаток от деления показателя степени 126 на 4: $126 = 4 \cdot 31 + 2$. Остаток равен 2. Это соответствует второй цифре в последовательности (3, 9, 7, 1).
Ответ: 9.

1.79 Какими цифрами могут оканчиваться степени числа 7? Какой цифрой оканчивается число: $7^{40}$, $7^{61}$, $7^{30}$, $7^{23}$?

Чтобы определить, какими цифрами могут оканчиваться степени числа 7, найдем последние цифры для нескольких первых степеней:
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$ (оканчивается на 9)
$7^3 = 7^2 \times 7$, последняя цифра будет $9 \times 7 = 63$, т.е. 3. ($7^3 = 343$)
$7^4 = 7^3 \times 7$, последняя цифра будет $3 \times 7 = 21$, т.е. 1. ($7^4 = 2401$)
$7^5 = 7^4 \times 7$, последняя цифра будет $1 \times 7 = 7$. ($7^5 = 16807$)
Мы видим, что последние цифры степеней числа 7 повторяются с циклом длиной 4. Последовательность последних цифр такова: 7, 9, 3, 1.
Ответ: Степени числа 7 могут оканчиваться цифрами 7, 9, 3, 1.

Для определения последней цифры конкретной степени числа 7, необходимо найти остаток от деления показателя этой степени на 4 (длину цикла).

• Если остаток от деления на 4 равен 1, последняя цифра будет 7.
• Если остаток от деления на 4 равен 2, последняя цифра будет 9.
• Если остаток от деления на 4 равен 3, последняя цифра будет 3.
• Если остаток от деления на 4 равен 0 (т.е. показатель делится на 4 без остатка), последняя цифра будет 1.

$7^{40}$
Показатель степени равен 40. Найдем остаток от деления 40 на 4.
$40 \div 4 = 10$ с остатком 0.
Так как остаток равен 0, последняя цифра будет такой же, как у $7^4$, то есть 1.
Ответ: 1.

$7^{61}$
Показатель степени равен 61. Найдем остаток от деления 61 на 4.
$61 = 4 \times 15 + 1$. Остаток равен 1.
Так как остаток равен 1, последняя цифра будет такой же, как у $7^1$, то есть 7.
Ответ: 7.

$7^{30}$
Показатель степени равен 30. Найдем остаток от деления 30 на 4.
$30 = 4 \times 7 + 2$. Остаток равен 2.
Так как остаток равен 2, последняя цифра будет такой же, как у $7^2$, то есть 9.
Ответ: 9.

$7^{23}$
Показатель степени равен 23. Найдем остаток от деления 23 на 4.
$23 = 4 \times 5 + 3$. Остаток равен 3.
Так как остаток равен 3, последняя цифра будет такой же, как у $7^3$, то есть 3.
Ответ: 3.

1.80 Какое из чисел: $2^{100}$; $2^{101}$; $2^{102}$; $2^{103}$ — оканчивается той же цифрой, что и число $2^{10}$?

Для решения этой задачи необходимо определить, на какую цифру оканчиваются степени числа 2. Проследим за последними цифрами:

$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (оканчивается на 6)
$2^5 = 32$ (оканчивается на 2)
$2^6 = 64$ (оканчивается на 4)

Как видно, последние цифры степеней числа 2 повторяются циклически с периодом 4. Последовательность последних цифр: 2, 4, 8, 6.

Чтобы найти последнюю цифру числа $2^n$, нужно найти остаток от деления показателя степени $n$ на 4.

• Если остаток равен 1, последняя цифра — 2.
• Если остаток равен 2, последняя цифра — 4.
• Если остаток равен 3, последняя цифра — 8.
• Если остаток равен 0 (то есть $n$ делится на 4 нацело), последняя цифра — 6.

Сначала найдем последнюю цифру для числа $2^{10}$.
Найдем остаток от деления 10 на 4:
$10 \div 4 = 2$ (остаток 2).
Поскольку остаток равен 2, число $2^{10}$ оканчивается на ту же цифру, что и $2^2$, то есть на 4.

Теперь найдем последнюю цифру для каждого из предложенных чисел, ища число, у которого показатель степени при делении на 4 также дает в остатке 2.

- Для числа $2^{100}$: $100 \div 4 = 25$ (остаток 0). Число оканчивается на 6.
- Для числа $2^{101}$: $101 \div 4 = 25$ (остаток 1). Число оканчивается на 2.
- Для числа $2^{102}$: $102 \div 4 = 25$ (остаток 2). Число оканчивается на 4.
- Для числа $2^{103}$: $103 \div 4 = 25$ (остаток 3). Число оканчивается на 8.

Следовательно, число $2^{102}$ оканчивается на ту же цифру (4), что и число $2^{10}$.

Ответ: $2^{102}$.

1.81 Докажите, что числа $3^{33}$, $3^{333}$ и $3^{3333}$ оканчиваются одной и той же цифрой. Укажите ещё какую-нибудь степень числа 3, которая оканчивается той же цифрой.

Докажите, что числа $3^{33}$, $3^{333}$ и $3^{3333}$ оканчиваются одной и той же цифрой.

Чтобы определить последнюю цифру степени числа 3, найдём закономерность в последних цифрах его натуральных степеней:

$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)

Видно, что последние цифры степеней числа 3 циклически повторяются с периодом 4: (3, 9, 7, 1). Это означает, что последняя цифра числа $3^n$ зависит от остатка от деления показателя степени $n$ на 4.

• Если показатель степени $n$ при делении на 4 дает остаток 1 (то есть $n \equiv 1 \pmod{4}$), то последняя цифра – 3.
• Если остаток равен 2 ($n \equiv 2 \pmod{4}$), то последняя цифра – 9.
• Если остаток равен 3 ($n \equiv 3 \pmod{4}$), то последняя цифра – 7.
• Если остаток равен 0 ($n \equiv 0 \pmod{4}$), то последняя цифра – 1.

Теперь определим остаток от деления на 4 для каждого из показателей: 33, 333 и 3333. Для нахождения остатка от деления числа на 4 достаточно рассмотреть число, образованное его двумя последними цифрами.

Для показателя 33: $33 = 4 \times 8 + 1$. Остаток равен 1. Следовательно, $33 \equiv 1 \pmod{4}$.
Для показателя 333: последние две цифры образуют число 33. При делении 33 на 4 остаток равен 1. Следовательно, $333 \equiv 1 \pmod{4}$.
Для показателя 3333: последние две цифры образуют число 33. При делении 33 на 4 остаток равен 1. Следовательно, $3333 \equiv 1 \pmod{4}$.

Поскольку все три показателя степени (33, 333, 3333) дают одинаковый остаток 1 при делении на 4, все три числа ($3^{33}$, $3^{333}$ и $3^{3333}$) будут оканчиваться на одну и ту же цифру. Эта цифра соответствует первому члену цикла, то есть цифре 3.

Ответ: Все три числа оканчиваются на цифру 3, следовательно, они оканчиваются одной и той же цифрой.

Укажите еще какую-нибудь степень числа 3, которая оканчивается той же цифрой.

Как было установлено, степень числа 3 оканчивается на цифру 3, если её показатель при делении на 4 дает в остатке 1. Чтобы найти другую такую степень, нужно выбрать любой другой показатель $n$, для которого выполняется условие $n \equiv 1 \pmod{4}$.

Например, можно взять $n=5$, так как $5 = 4 \times 1 + 1$. Число $3^5 = 243$ оканчивается на 3. Другими примерами могут служить $3^9$, $3^{13}$ или $3^{4k+1}$ для любого натурального $k$.

Ответ: $3^5$.

1.82 Назовите какое-нибудь число, отличное от 0 и 1, любая степень которого оканчивается одной и той же цифрой. Приведите ещё примеры таких чисел.

Для решения этой задачи необходимо найти числа, последняя цифра которых не изменяется при возведении в любую натуральную степень.

Последняя цифра результата возведения числа в степень зависит только от последней цифры самого этого числа. Обозначим последнюю цифру искомого числа $N$ как $d$. Условие задачи означает, что для любого натурального показателя степени $k \ge 1$ последняя цифра числа $N^k$ должна быть равна $d$.

Это условие сводится к тому, что последняя цифра квадрата $d^2$ должна совпадать с самой цифрой $d$. Если последняя цифра $d^2$ равна $d$, то и последняя цифра $d^3 = d^2 \cdot d$ будет равна последней цифре $d \cdot d$, то есть $d$, и так далее для всех последующих степеней. Это легко доказать по индукции.

Проверим все цифры от 0 до 9 на выполнение этого свойства:

• $d=0$: $0^2=0$. Последняя цифра 0. Свойство выполняется.
• $d=1$: $1^2=1$. Последняя цифра 1. Свойство выполняется.
• $d=2$: $2^2=4$. Последняя цифра 4, что не равно 2.
• $d=3$: $3^2=9$. Последняя цифра 9, что не равно 3.
• $d=4$: $4^2=16$. Последняя цифра 6, что не равно 4.
• $d=5$: $5^2=25$. Последняя цифра 5. Свойство выполняется.
• $d=6$: $6^2=36$. Последняя цифра 6. Свойство выполняется.
• $d=7$: $7^2=49$. Последняя цифра 9, что не равно 7.
• $d=8$: $8^2=64$. Последняя цифра 4, что не равно 8.
• $d=9$: $9^2=81$. Последняя цифра 1, что не равно 9.

Таким образом, цифры, которые сохраняются при возведении в любую степень, — это 0, 1, 5 и 6. Поскольку в задаче требуется найти число, отличное от 0 и 1, нам подходят любые числа, оканчивающиеся на 5 или 6.

Назовите какое-нибудь число, отличное от 0 и 1, любая степень которого оканчивается одной и той же цифрой.

Таким числом является, например, 5.
Проверка: $5^1=5$, $5^2=25$, $5^3=125$. Все степени числа 5 оканчиваются на цифру 5.

Приведите ещё примеры таких чисел.

Любое другое число, оканчивающееся на 5 или 6, также удовлетворяет этому свойству.
Примеры: 6, 15, 16, 25, 36, 105, 216.
Например, для числа 16: $16^1=16$, $16^2=256$, $16^3=4096$. Все степени оканчиваются на 6.

Ответ: Числом, удовлетворяющим условию, является, например, 5. Другие примеры таких чисел: 6, 15, 16, 25, 36, 105.