Номер 1.80, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.80 Какое из чисел: $2^{100}$; $2^{101}$; $2^{102}$; $2^{103}$ — оканчивается той же цифрой, что и число $2^{10}$?

Для решения этой задачи необходимо определить, на какую цифру оканчиваются степени числа 2. Проследим за последними цифрами:

$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (оканчивается на 6)
$2^5 = 32$ (оканчивается на 2)
$2^6 = 64$ (оканчивается на 4)

Как видно, последние цифры степеней числа 2 повторяются циклически с периодом 4. Последовательность последних цифр: 2, 4, 8, 6.

Чтобы найти последнюю цифру числа $2^n$, нужно найти остаток от деления показателя степени $n$ на 4.

• Если остаток равен 1, последняя цифра — 2.
• Если остаток равен 2, последняя цифра — 4.
• Если остаток равен 3, последняя цифра — 8.
• Если остаток равен 0 (то есть $n$ делится на 4 нацело), последняя цифра — 6.

Сначала найдем последнюю цифру для числа $2^{10}$.
Найдем остаток от деления 10 на 4:
$10 \div 4 = 2$ (остаток 2).
Поскольку остаток равен 2, число $2^{10}$ оканчивается на ту же цифру, что и $2^2$, то есть на 4.

Теперь найдем последнюю цифру для каждого из предложенных чисел, ища число, у которого показатель степени при делении на 4 также дает в остатке 2.

- Для числа $2^{100}$: $100 \div 4 = 25$ (остаток 0). Число оканчивается на 6.
- Для числа $2^{101}$: $101 \div 4 = 25$ (остаток 1). Число оканчивается на 2.
- Для числа $2^{102}$: $102 \div 4 = 25$ (остаток 2). Число оканчивается на 4.
- Для числа $2^{103}$: $103 \div 4 = 25$ (остаток 3). Число оканчивается на 8.

Следовательно, число $2^{102}$ оканчивается на ту же цифру (4), что и число $2^{10}$.

Ответ: $2^{102}$.