Номер 1.84, страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.84 Делится ли на 10:

сумма $11^{14} + 3^{22}$;

разность $7^{20} - 9^{10}$;

произведение $12^{15} \cdot 15^{12}$?

сумма $11^{14} + 3^{22}$

Чтобы определить, делится ли число на 10, достаточно проверить, оканчивается ли его десятичная запись на 0. Для этого найдем последние цифры каждого слагаемого.
Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1. Следовательно, последняя цифра числа $11^{14}$ равна 1.
Теперь найдем последнюю цифру числа $3^{22}$. Рассмотрим, на какие цифры оканчиваются степени числа 3:
$3^1$ оканчивается на 3;
$3^2$ оканчивается на 9;
$3^3 = 27$ оканчивается на 7;
$3^4 = 81$ оканчивается на 1;
$3^5 = 243$ оканчивается на 3.
Последовательность последних цифр (3, 9, 7, 1) циклична с периодом 4. Чтобы найти последнюю цифру $3^{22}$, найдем остаток от деления показателя степени 22 на 4:
$22 \div 4 = 5$ (остаток 2).
Остаток 2 означает, что последняя цифра числа $3^{22}$ такая же, как у второго члена последовательности, то есть как у $3^2$. Это цифра 9.
Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы последних цифр слагаемых: $1 + 9 = 10$.
Следовательно, сумма $11^{14} + 3^{22}$ оканчивается на 0 и делится на 10.
Ответ: да, делится.

разность $7^{20} - 9^{10}$

Аналогично предыдущему пункту, найдем последние цифры уменьшаемого и вычитаемого.
Рассмотрим последние цифры степеней числа 7:
$7^1$ оканчивается на 7;
$7^2 = 49$ оканчивается на 9;
$7^3 = 343$ оканчивается на 3;
$7^4 = 2401$ оканчивается на 1.
Последовательность последних цифр (7, 9, 3, 1) циклична с периодом 4. Показатель степени 20 делится на 4 нацело ($20 \div 4 = 5$, остаток 0). Это означает, что последняя цифра будет такой же, как у $7^4$, то есть 1.
Теперь рассмотрим последние цифры степеней числа 9:
$9^1$ оканчивается на 9;
$9^2 = 81$ оканчивается на 1;
$9^3 = 729$ оканчивается на 9.
Последняя цифра зависит от четности показателя: для нечетной степени — 9, для четной — 1. Показатель 10 — четное число, следовательно, последняя цифра числа $9^{10}$ равна 1.
Найдем последнюю цифру разности: $1 - 1 = 0$.
Разность $7^{20} - 9^{10}$ оканчивается на 0 и делится на 10.
Ответ: да, делится.

произведение $12^{15} \cdot 15^{12}$

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 5.
Рассмотрим первый множитель $12^{15}$. Основание 12 — четное число. Любая натуральная степень четного числа является четным числом, следовательно, $12^{15}$ делится на 2.
Рассмотрим второй множитель $15^{12}$. Основание 15 делится на 5. Любая натуральная степень числа, делящегося на 5, также делится на 5. Следовательно, $15^{12}$ делится на 5.
Так как в произведении один из множителей ($12^{15}$) делится на 2, а другой множитель ($15^{12}$) делится на 5, то все произведение делится на $2 \cdot 5 = 10$.
Это можно также показать через разложение на простые множители:
$12^{15} \cdot 15^{12} = (2^2 \cdot 3)^{15} \cdot (3 \cdot 5)^{12} = 2^{30} \cdot 3^{15} \cdot 3^{12} \cdot 5^{12} = 2^{30} \cdot 3^{27} \cdot 5^{12}$.
Поскольку в разложении присутствуют множители 2 и 5, число делится на 10.
Ответ: да, делится.