Страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.83 Сформулируйте условие, при котором числа $4^m$ и $4^n$, где $m \in N, n \in N, m \neq n$, оканчиваются одной и той же цифрой.

Для того чтобы числа $4^m$ и $4^n$ оканчивались на одну и ту же цифру, необходимо, чтобы их остатки от деления на 10 были равны. Это можно записать с помощью сравнения по модулю 10: $4^m \equiv 4^n \pmod{10}$.

Рассмотрим, на какие цифры оканчиваются начальные степени числа 4: $4^1 = 4$; $4^2 = 16$ (оканчивается на 6); $4^3 = 64$ (оканчивается на 4); $4^4 = 256$ (оканчивается на 6); $4^5 = 1024$ (оканчивается на 4).

Можно заметить закономерность: последняя цифра степеней числа 4 циклически повторяется. Если показатель степени — нечетное число ($k = 1, 3, 5, \dots$), то число $4^k$ оканчивается на 4. Если же показатель степени — четное число ($k = 2, 4, 6, \dots$), то число $4^k$ оканчивается на 6.

Следовательно, для того чтобы числа $4^m$ и $4^n$ (где $m, n \in \mathbb{N}$, $m \neq n$) оканчивались на одну и ту же цифру, их показатели степени $m$ и $n$ должны иметь одинаковую четность. То есть, $m$ и $n$ должны быть либо оба четными, либо оба нечетными.

Это условие можно доказать и более строго. Пусть для определенности $m > n$. Условие $4^m \equiv 4^n \pmod{10}$ эквивалентно $4^m - 4^n \equiv 0 \pmod{10}$. Вынесем общий множитель: $4^n(4^{m-n} - 1) \equiv 0 \pmod{10}$.

Это означает, что произведение $4^n(4^{m-n} - 1)$ должно делиться на 10, а значит, оно должно делиться на 2 и на 5.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), $4^n$ всегда является четным числом, поэтому произведение $4^n(4^{m-n} - 1)$ всегда делится на 2.

Чтобы произведение делилось на 5, один из множителей должен делиться на 5. Число $4^n$ не делится на 5 ни при каком натуральном $n$. Следовательно, на 5 должен делиться множитель $(4^{m-n} - 1)$.

Запишем это в виде сравнения по модулю 5:

$4^{m-n} - 1 \equiv 0 \pmod{5}$

$4^{m-n} \equiv 1 \pmod{5}$

Найдем, при каких показателях степени $k$ выполняется условие $4^k \equiv 1 \pmod{5}$. Проверяем: $4^1 \equiv 4 \pmod{5}$; $4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$. Так как $4^2 \equiv 1 \pmod{5}$, то для любого целого $j \ge 1$ имеем $(4^2)^j = 4^{2j} \equiv 1^j \equiv 1 \pmod{5}$. То есть, $4^k \equiv 1 \pmod{5}$ тогда и только тогда, когда показатель $k$ является четным числом.

В нашем случае $k = m-n$. Значит, разность $m-n$ должна быть четным числом. Если разность двух натуральных чисел является четным числом, то эти числа имеют одинаковую четность.

Ответ: Числа $4^m$ и $4^n$ оканчиваются на одну и ту же цифру при условии, что показатели степени $m$ и $n$ имеют одинаковую четность, то есть являются либо оба четными, либо оба нечетными.

1.84 Делится ли на 10:

сумма $11^{14} + 3^{22}$;

разность $7^{20} - 9^{10}$;

произведение $12^{15} \cdot 15^{12}$?

сумма $11^{14} + 3^{22}$

Чтобы определить, делится ли число на 10, достаточно проверить, оканчивается ли его десятичная запись на 0. Для этого найдем последние цифры каждого слагаемого.
Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1. Следовательно, последняя цифра числа $11^{14}$ равна 1.
Теперь найдем последнюю цифру числа $3^{22}$. Рассмотрим, на какие цифры оканчиваются степени числа 3:
$3^1$ оканчивается на 3;
$3^2$ оканчивается на 9;
$3^3 = 27$ оканчивается на 7;
$3^4 = 81$ оканчивается на 1;
$3^5 = 243$ оканчивается на 3.
Последовательность последних цифр (3, 9, 7, 1) циклична с периодом 4. Чтобы найти последнюю цифру $3^{22}$, найдем остаток от деления показателя степени 22 на 4:
$22 \div 4 = 5$ (остаток 2).
Остаток 2 означает, что последняя цифра числа $3^{22}$ такая же, как у второго члена последовательности, то есть как у $3^2$. Это цифра 9.
Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы последних цифр слагаемых: $1 + 9 = 10$.
Следовательно, сумма $11^{14} + 3^{22}$ оканчивается на 0 и делится на 10.
Ответ: да, делится.

разность $7^{20} - 9^{10}$

Аналогично предыдущему пункту, найдем последние цифры уменьшаемого и вычитаемого.
Рассмотрим последние цифры степеней числа 7:
$7^1$ оканчивается на 7;
$7^2 = 49$ оканчивается на 9;
$7^3 = 343$ оканчивается на 3;
$7^4 = 2401$ оканчивается на 1.
Последовательность последних цифр (7, 9, 3, 1) циклична с периодом 4. Показатель степени 20 делится на 4 нацело ($20 \div 4 = 5$, остаток 0). Это означает, что последняя цифра будет такой же, как у $7^4$, то есть 1.
Теперь рассмотрим последние цифры степеней числа 9:
$9^1$ оканчивается на 9;
$9^2 = 81$ оканчивается на 1;
$9^3 = 729$ оканчивается на 9.
Последняя цифра зависит от четности показателя: для нечетной степени — 9, для четной — 1. Показатель 10 — четное число, следовательно, последняя цифра числа $9^{10}$ равна 1.
Найдем последнюю цифру разности: $1 - 1 = 0$.
Разность $7^{20} - 9^{10}$ оканчивается на 0 и делится на 10.
Ответ: да, делится.

произведение $12^{15} \cdot 15^{12}$

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 5.
Рассмотрим первый множитель $12^{15}$. Основание 12 — четное число. Любая натуральная степень четного числа является четным числом, следовательно, $12^{15}$ делится на 2.
Рассмотрим второй множитель $15^{12}$. Основание 15 делится на 5. Любая натуральная степень числа, делящегося на 5, также делится на 5. Следовательно, $15^{12}$ делится на 5.
Так как в произведении один из множителей ($12^{15}$) делится на 2, а другой множитель ($15^{12}$) делится на 5, то все произведение делится на $2 \cdot 5 = 10$.
Это можно также показать через разложение на простые множители:
$12^{15} \cdot 15^{12} = (2^2 \cdot 3)^{15} \cdot (3 \cdot 5)^{12} = 2^{30} \cdot 3^{15} \cdot 3^{12} \cdot 5^{12} = 2^{30} \cdot 3^{27} \cdot 5^{12}$.
Поскольку в разложении присутствуют множители 2 и 5, число делится на 10.
Ответ: да, делится.

1 Сформулируйте перекрёстное правило сравнения дробей. Проиллюстрируйте его на примере дробей $ \frac{20}{33} $ и $ \frac{9}{22} $. Как ещё можно сравнить эти дроби?

Сформулируйте перекрёстное правило сравнения дробей.

Перекрёстное правило сравнения дробей (или правило перекрёстного умножения) гласит: чтобы сравнить две дроби с положительными знаменателями $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, необходимо сравнить произведение числителя первой дроби на знаменатель второй ($a \cdot d$) с произведением знаменателя первой дроби на числитель второй ($b \cdot c$).

• Если $a \cdot d > b \cdot c$, то $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.
• Если $a \cdot d < b \cdot c$, то $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.
• Если $a \cdot d = b \cdot c$, то $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Проиллюстрируйте его на примере дробей $\frac{20}{33}$ и $\frac{9}{22}$.

Применим перекрёстное правило для сравнения дробей $\frac{20}{33}$ и $\frac{9}{22}$. Для этого сравним "перекрёстные" произведения $20 \cdot 22$ и $33 \cdot 9$.

Вычислим эти произведения:

$20 \cdot 22 = 440$

$33 \cdot 9 = 297$

Так как $440 > 297$, то, согласно правилу, первая дробь больше второй: $\frac{20}{33} > \frac{9}{22}$.

Как ещё можно сравнить эти дроби?

Другой распространённый способ сравнения дробей — это приведение их к общему знаменателю. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 33 и 22.

Разложим знаменатели на простые множители:

$33 = 3 \cdot 11$

$22 = 2 \cdot 11$

НОК(33, 22) = $2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$.

Теперь приведём обе дроби к общему знаменателю 66, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

$\frac{20}{33} = \frac{20 \cdot (66:33)}{33 \cdot (66:33)} = \frac{20 \cdot 2}{33 \cdot 2} = \frac{40}{66}$

$\frac{9}{22} = \frac{9 \cdot (66:22)}{22 \cdot (66:22)} = \frac{9 \cdot 3}{22 \cdot 3} = \frac{27}{66}$

Теперь сравним полученные дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{40}{66}$ и $\frac{27}{66}$. Поскольку числитель первой дроби больше числителя второй ($40 > 27$), то и сама первая дробь больше: $\frac{40}{66} > \frac{27}{66}$, следовательно, $\frac{20}{33} > \frac{9}{22}$.

Ответ: Перекрёстное правило сравнения дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ состоит в сравнении произведений $a \cdot d$ и $b \cdot c$. На примере дробей $\frac{20}{33}$ и $\frac{9}{22}$ получаем: $20 \cdot 22 = 440$ и $33 \cdot 9 = 297$. Так как $440 > 297$, то $\frac{20}{33} > \frac{9}{22}$. Другой способ сравнения этих дробей — приведение их к общему знаменателю.

2 Дано выражение $\frac{a-c}{ac}$. Запишите числовое выражение, которое получится в результате подстановки $a = -7, c = -10$. Прокомментируйте свои действия.

Для решения задачи необходимо подставить числовые значения переменных $a$ и $c$ в данное алгебраическое выражение, а затем последовательно выполнить арифметические действия.

Запись числового выражения

Исходное выражение: $\frac{a-c}{ac}$.

Подставим в него заданные значения $a = -7$ и $c = -10$. Чтобы избежать ошибок со знаками, отрицательные числа при подстановке рекомендуется заключать в скобки. В результате получаем следующее числовое выражение:

$\frac{(-7) - (-10)}{(-7) \cdot (-10)}$

Комментарии к действиям и вычисление

Далее, для нахождения значения этого выражения, выполним действия по порядку.

1. Вычисляем значение числителя. Вычитание отрицательного числа $-10$ равносильно сложению с противоположным ему положительным числом, то есть с $10$:

$(-7) - (-10) = -7 + 10 = 3$

2. Вычисляем значение знаменателя. Умножаем $-7$ на $-10$. Произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным числом:

$(-7) \cdot (-10) = 70$

3. Записываем итоговый результат. Теперь, когда мы нашли значения числителя (3) и знаменателя (70), получаем итоговую дробь:

$\frac{3}{70}$

Данная дробь является несократимой, поскольку числитель 3 и знаменатель 70 не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: В результате подстановки получается числовое выражение $\frac{(-7) - (-10)}{(-7) \cdot (-10)}$, значение которого равно $\frac{3}{70}$.

3 Что означает выражение $a^n$, где $n$ – натуральное число? (Рассмотрите случаи $n \neq 1$ и $n = 1$.) Как называют выражение $a^n$? число $a$? число $n$?

Что означает выражение $a^n$, где $n$ — натуральное число? (Рассмотрите случаи $n \neq 1$ и $n = 1$)

Выражение $a^n$ (читается как «а в степени эн») представляет собой математическую операцию, называемую возведением в степень. Это сокращенная запись умножения числа самого на себя. Значение выражения зависит от показателя степени $n$.

Рассмотрим два случая для натурального числа $n$:

1. Случай, когда $n \neq 1$. Поскольку $n$ — натуральное число, это условие означает, что $n > 1$ (то есть $n$ равно 2, 3, 4 и т.д.). В этом случае степенью $a^n$ называется произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$.

Формула: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$.

Например: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

2. Случай, когда $n = 1$. По определению, степенью любого числа $a$ с показателем 1 является само это число $a$.

Формула: $a^1 = a$.

Например: $7^1 = 7$.

Ответ: Выражение $a^n$, где $n$ — натуральное число, означает произведение $n$ множителей, равных $a$, если $n > 1$, и само число $a$, если $n=1$.

Как называют выражение $a^n$? число $a$? число $n$?

В выражении $a^n$ каждый компонент и само выражение имеют свои названия:

– Всё выражение $a^n$ целиком называют степенью.

– Число $a$, которое возводится в степень, называют основанием степени.

– Число $n$, которое показывает, сколько раз основание умножается само на себя, называют показателем степени.

Ответ: Выражение $a^n$ называют степенью, число $a$ — основанием степени, а число $n$ — показателем степени.

4 Какой знак может иметь степень с отрицательным основанием? Приведите примеры.

Знак степени с отрицательным основанием зависит от того, является ли показатель степени (число, в которое возводят) четным или нечетным. Таким образом, результат может быть как положительным, так и отрицательным.

1. Если показатель степени — четное число
При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным. Это связано с тем, что при перемножении четного количества отрицательных чисел знаки "минус" объединяются в пары, а произведение двух отрицательных чисел дает положительное число.
Примеры:

• $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$
• $(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$
• $(-1)^{100} = 1$

2. Если показатель степени — нечетное число
При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным. После того как все возможные пары отрицательных множителей дадут положительный результат, останется один множитель со знаком "минус", который и определит знак всего произведения.
Примеры:

• $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$
• $(-3)^5 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243$
• $(-1)^{99} = -1$

Ответ: Степень с отрицательным основанием может иметь положительный знак (если показатель степени — четное число) или отрицательный знак (если показатель степени — нечетное число).

5 Что означает запись $10^{-5}$? Запишите с отрицательным показателем степени выражение $\frac{7}{10^{11}}$.

Что означает запись $10^{-5}$?

Запись $10^{-5}$ представляет собой число 10, возведенное в отрицательную степень -5. Согласно определению степени с целым отрицательным показателем, для любого числа $a$, не равного нулю, и любого натурального числа $n$, справедливо следующее равенство:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Применяя это правило к выражению $10^{-5}$, где $a=10$ и $n=5$, мы получаем:

$10^{-5} = \frac{1}{10^5}$

Знаменатель $10^5$ равен $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100\;000$. Следовательно, выражение можно представить в виде десятичной дроби:

$10^{-5} = \frac{1}{100\;000} = 0.00001$

Таким образом, запись $10^{-5}$ означает число, обратное $10^5$, то есть одну стотысячную.

Ответ: Запись $10^{-5}$ означает число, равное $\frac{1}{10^5}$, или $0.00001$.

Запишите с отрицательным показателем степени выражение $\frac{7}{10^{11}}$

Чтобы записать данное выражение с отрицательным показателем степени, необходимо преобразовать знаменатель дроби. Мы можем представить выражение $\frac{7}{10^{11}}$ как произведение числа 7 и дроби $\frac{1}{10^{11}}$:

$\frac{7}{10^{11}} = 7 \cdot \frac{1}{10^{11}}$

Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. Для дроби $\frac{1}{10^{11}}$ основание $a=10$, а показатель $n=11$. Следовательно:

$\frac{1}{10^{11}} = 10^{-11}$

Подставив это значение обратно в исходное произведение, получаем итоговый вид выражения:

$7 \cdot 10^{-11}$

Ответ: $7 \cdot 10^{-11}$.

1 Сравните числа:

а) $\frac{8}{17}$ и $\frac{11}{21}$;

б) $0,6$ и $\frac{4}{7}$;

в) $\frac{6}{25}$ и $0,219$.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{8}{17}$ и $\frac{11}{21}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 17 и 21 является их произведение, так как они взаимно простые.
Общий знаменатель: $17 \times 21 = 357$.

Приведем каждую дробь к новому знаменателю:
$\frac{8}{17} = \frac{8 \times 21}{17 \times 21} = \frac{168}{357}$
$\frac{11}{21} = \frac{11 \times 17}{21 \times 17} = \frac{187}{357}$

Теперь сравним числители полученных дробей:
$168 < 187$
Следовательно, $\frac{168}{357} < \frac{187}{357}$, а это значит, что $\frac{8}{17} < \frac{11}{21}$.

Ответ: $\frac{8}{17} < \frac{11}{21}$.

б) Чтобы сравнить числа $0,6$ и $\frac{4}{7}$, можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной или наоборот. Представим $0,6$ в виде обыкновенной дроби:
$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Теперь сравним дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$. Приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 7 это их произведение:
$5 \times 7 = 35$.

Приведем дроби к знаменателю 35:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 7}{5 \times 7} = \frac{21}{35}$
$\frac{4}{7} = \frac{4 \times 5}{7 \times 5} = \frac{20}{35}$

Сравниваем числители:
$21 > 20$
Следовательно, $\frac{21}{35} > \frac{20}{35}$, а значит $0,6 > \frac{4}{7}$.

Ответ: $0,6 > \frac{4}{7}$.

в) Чтобы сравнить числа $\frac{6}{25}$ и $0,219$, удобно представить обыкновенную дробь в виде десятичной.

Для этого приведем дробь $\frac{6}{25}$ к знаменателю 100, домножив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{6}{25} = \frac{6 \times 4}{25 \times 4} = \frac{24}{100} = 0,24$.

Теперь сравним десятичные дроби $0,24$ и $0,219$. Чтобы сравнение было нагляднее, уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль к $0,24$:
$0,24 = 0,240$.
Сравниваем $0,240$ и $0,219$. Так как $240 > 219$, то $0,240 > 0,219$.
Следовательно, $\frac{6}{25} > 0,219$.

Ответ: $\frac{6}{25} > 0,219$.

2 Расположите в порядке возрастания числа: $0,4$; $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{3}$.

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо привести их к одному виду. Наиболее удобный способ — преобразовать все числа в десятичные дроби.

1. Число $0,4$ уже представлено в виде десятичной дроби.

2. Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{3}{8}$ в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$3 \div 8 = 0,375$

Таким образом, $\frac{3}{8} = 0,375$.

3. Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{2}{3}$ в десятичную. Разделим числитель на знаменатель:

$2 \div 3 = 0,6666... = 0,(6)$

Таким образом, $\frac{2}{3}$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь.

Теперь у нас есть три числа, представленные в виде десятичных дробей: $0,4$; $0,375$ и $0,666...$

Сравним эти числа. Для этого посмотрим на их разряды, начиная слева. Целые части у всех чисел равны нулю. Сравним цифры в разряде десятых:

у числа $0,375$ — 3 десятых;

у числа $0,4$ (что то же самое, что $0,400$) — 4 десятых;

у числа $0,666...$ — 6 десятых.

Так как $3 < 4 < 6$, мы можем сделать вывод о порядке чисел:

$0,375 < 0,4 < 0,666...$

Теперь вернемся к исходной записи чисел и расположим их в найденном порядке возрастания:

$\frac{3}{8}; 0,4; \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{3}{8}; 0,4; \frac{2}{3}$.

3 В результате реконструкции на одном комбинате производство бумаги увеличилось с 10 до 12 т в месяц, а на другом – с 12 до 14 т в месяц. На каком комбинате произведена более эффективная реконструкция?

Чтобы определить, на каком комбинате реконструкция была более эффективной, необходимо сравнить относительное увеличение производства. Абсолютное увеличение на обоих комбинатах одинаково и составляет $2$ тонны ($12-10=2$ и $14-12=2$), но для оценки эффективности важен рост по отношению к исходному уровню.

Первый комбинат

Производство увеличилось с $10$ до $12$ тонн в месяц. Прирост составил $2$ тонны. Найдем, какую часть этот прирост составляет от первоначального объема производства:

$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

В процентном соотношении это равно: $\frac{1}{5} \times 100\% = 20\%$.

Второй комбинат

Производство увеличилось с $12$ до $14$ тонн в месяц. Прирост также составил $2$ тонны. Найдем, какую часть этот прирост составляет от первоначального объема производства на этом комбинате:

$\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

В процентном соотношении это примерно равно: $\frac{1}{6} \times 100\% \approx 16,7\%$.

Сравнение

Теперь сравним относительный прирост на двух комбинатах. Нам нужно сравнить дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями (в данном случае 1) большей будет та, у которой знаменатель меньше.

Поскольку $5 < 6$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$.

Это означает, что производство на первом комбинате выросло на большую долю от своего первоначального уровня, чем на втором ($20\% > 16,7\%$). Следовательно, реконструкция на первом комбинате была более эффективной.

Ответ: Более эффективная реконструкция произведена на первом комбинате.

4 Выполните действия:

а) $\frac{3}{4} + 0,123$;

б) $0,3 - \frac{1}{6}$;

в) $0,15 \cdot \frac{3}{5}$;

г) $\frac{6}{25} : 0,12$.

а) $ \frac{3}{4} + 0,123 $

Для решения этого примера преобразуем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75 $

Теперь выполним сложение десятичных дробей:

$ 0,75 + 0,123 = 0,873 $

Ответ: $0,873$

б) $ 0,3 - \frac{1}{6} $

Для решения этого примера преобразуем десятичную дробь в обыкновенную, так как при переводе $ \frac{1}{6} $ в десятичную дробь получается бесконечное периодическое число ($0,166...$).

$ 0,3 = \frac{3}{10} $

Теперь приведем дроби $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{1}{6} $ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 6 это 30.

$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30} $

$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30} $

Теперь выполним вычитание дробей:

$ \frac{9}{30} - \frac{5}{30} = \frac{9-5}{30} = \frac{4}{30} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$ \frac{4}{30} = \frac{2}{15} $

Ответ: $\frac{2}{15}$

в) $ 0,15 \cdot \frac{3}{5} $

Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь в обыкновенную.

$ 0,15 = \frac{15}{100} $

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$ \frac{15}{100} = \frac{3}{20} $

Теперь выполним умножение обыкновенных дробей, перемножив их числители и знаменатели:

$ \frac{3}{20} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 5} = \frac{9}{100} $

Результат можно представить в виде десятичной дроби:

$ \frac{9}{100} = 0,09 $

Ответ: $0,09$

г) $ \frac{6}{25} : 0,12 $

Преобразуем оба числа в один формат. В данном случае удобно работать с обыкновенными дробями.

Преобразуем десятичную дробь $0,12$ в обыкновенную:

$ 0,12 = \frac{12}{100} $

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$ \frac{12}{100} = \frac{3}{25} $

Теперь выполним деление дробей. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей (перевернутую) дробь.

$ \frac{6}{25} : \frac{3}{25} = \frac{6}{25} \cdot \frac{25}{3} $

Сократим 25 в числителе и знаменателе:

$ \frac{6 \cdot 25}{25 \cdot 3} = \frac{6}{3} = 2 $

Ответ: $2$