Страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.76 a) В школе 16% девочек и 28% мальчиков занимаются в спортивных секциях. Сколько всего процентов школьников занимается в спортивных секциях, если число мальчиков и число девочек в школе одинаково?

б) В школьном оркестре играют 12% всех мальчиков, которые учатся в школе, и 8% всех девочек. Сколько всего процентов учащихся школы играет в оркестре, если мальчики составляют $ \frac{3}{5} $ всех учащихся школы?

а)

Пусть $Д$ — число девочек в школе, а $М$ — число мальчиков. По условию задачи, число мальчиков и девочек одинаково, следовательно, $Д = М$.

Общее число школьников в школе равно $Д + М = М + М = 2М$.

Число девочек, занимающихся в спортивных секциях, составляет 16% от общего числа девочек: $0.16 \cdot Д = 0.16М$.

Число мальчиков, занимающихся в спортивных секциях, составляет 28% от общего числа мальчиков: $0.28 \cdot М$.

Общее число школьников, занимающихся в спортивных секциях, равно сумме девочек и мальчиков, занимающихся в секциях: $0.16М + 0.28М = 0.44М$.

Чтобы найти, сколько всего процентов школьников занимается в спортивных секциях, нужно разделить количество занимающихся в секциях на общее число школьников и умножить на 100%.

Процент занимающихся = $\frac{0.44М}{2М} \cdot 100\% = 0.22 \cdot 100\% = 22\%$.

Ответ: 22%

б)

Пусть $У$ — общее число учащихся в школе.

По условию, мальчики составляют $\frac{3}{5}$ всех учащихся. Значит, число мальчиков $М = \frac{3}{5}У$.

Тогда девочки составляют оставшуюся часть: $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ всех учащихся. Число девочек $Д = \frac{2}{5}У$.

В школьном оркестре играют 12% всех мальчиков. Найдем их количество от общего числа учащихся: $0.12 \cdot М = 0.12 \cdot (\frac{3}{5}У) = \frac{0.36}{5}У = 0.072У$.

В школьном оркестре играют 8% всех девочек. Найдем их количество от общего числа учащихся: $0.08 \cdot Д = 0.08 \cdot (\frac{2}{5}У) = \frac{0.16}{5}У = 0.032У$.

Общее число учащихся, играющих в оркестре, равно сумме мальчиков и девочек в оркестре: $0.072У + 0.032У = 0.104У$.

Это означает, что в оркестре играет 0.104 от общего числа учащихся. Чтобы выразить это в процентах, умножим на 100%.

Процент играющих в оркестре = $0.104 \cdot 100\% = 10.4\%$.

Ответ: 10.4%

1.77 МОДЕЛИРУЕМ Решите задачу, используя схематические рисунки.

а) Книга дороже альбома на 25%. На сколько процентов альбом дешевле книги?

Решение. Цена альбома — 100%. Изобразим её каким-либо отрезком. Увеличим этот отрезок на 25%, т. е. на $\frac{1}{4}$ его длины; получим отрезок, соответствующий цене книги (рис. 1.9). Теперь цена книги составляет 100% (рис. 1.10). Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на $\frac{1}{5}$ этого отрезка. Так как $\frac{1}{5}$ составляет 20%, то альбом дешевле книги на 20%.

б) Блюдце на 20% дешевле тарелки. На сколько процентов тарелка дороже блюдца?

в) Чашка на 20% дороже блюдца. Какую часть стоимости чашки составляет стоимость блюдца? На сколько процентов блюдце дешевле чашки?

г) Цена книги была повышена на 10%. В конце года вновь была установлена старая цена. На сколько процентов снизили цену книги в конце года?

Цена альбома – 100%

Цена книги

на 25% больше

Рис. 1.9

Цена книги – 100%

Цена альбома

на 20% меньше

Рис. 1.10

а) Пусть цена альбома составляет $x$ условных единиц. В этом случае цена альбома принимается за 100%.
Цена книги на 25% дороже, значит, она составляет $100\% + 25\% = 125\%$ от цены альбома. В условных единицах это будет $x + 0.25x = 1.25x$.
Теперь необходимо найти, на сколько процентов альбом дешевле книги. В этом случае за 100% принимается цена книги.
Разница в цене составляет $1.25x - x = 0.25x$.
Найдем, какую долю эта разница составляет от цены книги: $\frac{0.25x}{1.25x} = \frac{25}{125} = \frac{1}{5}$.
Чтобы выразить эту долю в процентах, умножим ее на 100%: $\frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$.
Таким образом, альбом дешевле книги на 20%.
Ответ: на 20%.

б) Пусть цена тарелки составляет $y$ условных единиц. В этом случае цена тарелки принимается за 100%.
Цена блюдца на 20% дешевле, значит, она составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от цены тарелки. В условных единицах это будет $y - 0.20y = 0.8y$.
Теперь необходимо найти, на сколько процентов тарелка дороже блюдца. В этом случае за 100% принимается цена блюдца.
Разница в цене составляет $y - 0.8y = 0.2y$.
Найдем, какую долю эта разница составляет от цены блюдца: $\frac{0.2y}{0.8y} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Чтобы выразить эту долю в процентах, умножим ее на 100%: $\frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$.
Таким образом, тарелка дороже блюдца на 25%.
Ответ: на 25%.

в) Пусть цена блюдца составляет $b$ условных единиц. В этом случае цена блюдца принимается за 100%.
Цена чашки на 20% дороже, значит, она составляет $100\% + 20\% = 120\%$ от цены блюдца. В условных единицах цена чашки $c$ будет равна $b + 0.20b = 1.2b$.
Найдем, какую часть стоимости чашки составляет стоимость блюдца. Для этого составим отношение цены блюдца к цене чашки: $\frac{b}{c} = \frac{b}{1.2b} = \frac{1}{1.2} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
Теперь найдем, на сколько процентов блюдце дешевле чашки. Для этого за 100% примем цену чашки.
Разница в цене составляет $c - b = 1.2b - b = 0.2b$.
Найдем, какую долю эта разница составляет от цены чашки: $\frac{0.2b}{c} = \frac{0.2b}{1.2b} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
Выразим эту долю в процентах: $\frac{1}{6} \cdot 100\% = \frac{100}{6}\% = \frac{50}{3}\% = 16\frac{2}{3}\%$.
Ответ: стоимость блюдца составляет $\frac{5}{6}$ стоимости чашки; блюдце дешевле чашки на $16\frac{2}{3}\%$.

г) Пусть первоначальная цена книги составляет $P$ условных единиц. Эту цену примем за 100%.
Цена была повышена на 10%, новая цена $P_{new}$ стала равна $P + 0.10P = 1.1P$.
Затем новую цену $P_{new}$ снизили до старой цены $P$. Величина снижения составляет $P_{new} - P = 1.1P - P = 0.1P$.
Чтобы найти, на сколько процентов снизили цену, необходимо величину снижения разделить на цену, от которой происходило снижение (то есть на новую цену $P_{new}$), и выразить в процентах.
Процент снижения $= \frac{0.1P}{P_{new}} \cdot 100\% = \frac{0.1P}{1.1P} \cdot 100\%$.
Сократив $P$, получим: $\frac{0.1}{1.1} \cdot 100\% = \frac{1}{11} \cdot 100\% = \frac{100}{11}\% = 9\frac{1}{11}\%$.
Таким образом, цену книги снизили на $9\frac{1}{11}\%$.
Ответ: на $9\frac{1}{11}\%$.