Страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.65 Запишите в виде выражения:

1) 20% от суммы $a$ рублей;

2) сумму, 20% которой составляют $a$ рублей.

1) 20% от суммы a рублей;
Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби и умножить это число на полученную дробь. Переведем 20% в десятичную дробь: $20\% = \frac{20}{100} = 0,2$. Теперь умножим сумму $a$ на 0,2. Получаем выражение: $0,2 \cdot a$.
Ответ: $0,2a$

2) сумму, 20% которой составляют a рублей.
Пусть искомая сумма равна $x$. По условию задачи, 20% от этой суммы $x$ составляют $a$ рублей. Мы можем записать это в виде уравнения. Сначала переведем 20% в десятичную дробь: $0,2$. Уравнение будет выглядеть так: $0,2 \cdot x = a$. Чтобы найти неизвестную сумму $x$, нужно разделить $a$ на 0,2: $x = \frac{a}{0,2}$. Это выражение можно упростить. Поскольку $0,2 = \frac{1}{5}$, деление на 0,2 равносильно умножению на 5: $x = a : \frac{1}{5} = a \cdot 5 = 5a$.
Ответ: $\frac{a}{0,2}$ или $5a$

1.66 a) В октябре расход электрических ламп на предприятии составил 600 штук. В ноябре он увеличился на 5%, а в декабре — ещё на 10%. Определите расход электроламп в ноябре и декабре.

б) В марте расход электроэнергии в школе составил 1200 $кВт \cdot ч$, но в апреле он уменьшился на 35%, а в мае — ещё на 15%. Определите расход электроэнергии в мае.

а)

Для решения задачи необходимо последовательно рассчитать расход электроламп для каждого месяца.

1. Расход в ноябре.
Исходный расход в октябре составляет 600 штук. В ноябре он увеличился на 5%. Увеличение на 5% эквивалентно умножению на коэффициент $1 + \frac{5}{100} = 1.05$.
Расход в ноябре = (Расход в октябре) × 1.05
$600 \cdot 1.05 = 630$ штук.

2. Расход в декабре.
В декабре расход увеличился еще на 10% относительно ноября. Это значит, что за 100% мы принимаем расход в ноябре, который равен 630 штук. Увеличение на 10% эквивалентно умножению на коэффициент $1 + \frac{10}{100} = 1.1$.
Расход в декабре = (Расход в ноябре) × 1.1
$630 \cdot 1.1 = 693$ штуки.

Ответ: расход электроламп в ноябре составил 630 штук, в декабре – 693 штуки.

б)

Для решения задачи необходимо последовательно рассчитать расход электроэнергии.

1. Расход в апреле.
Исходный расход в марте составляет 1200 кВт·ч. В апреле он уменьшился на 35%. Уменьшение на 35% эквивалентно умножению на коэффициент $1 - \frac{35}{100} = 0.65$.
Расход в апреле = (Расход в марте) × 0.65
$1200 \cdot 0.65 = 780$ кВт·ч.

2. Расход в мае.
В мае расход уменьшился еще на 15% относительно апреля. За 100% принимаем расход в апреле, то есть 780 кВт·ч. Уменьшение на 15% эквивалентно умножению на коэффициент $1 - \frac{15}{100} = 0.85$.
Расход в мае = (Расход в апреле) × 0.85
$780 \cdot 0.85 = 663$ кВт·ч.

Ответ: расход электроэнергии в мае составил 663 кВт·ч.

1.67 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

На весенней распродаже в магазине товар стоимостью 350 р. уценили на 40%, а через неделю — ещё на 5%. В супермаркете такой же товар уценили на 5%, а через неделю — ещё на 40%. А на ярмарке этот же товар уценили на 45%. Где выгоднее купить этот товар?

Для того чтобы определить, где покупка будет наиболее выгодной, необходимо рассчитать итоговую стоимость товара в каждом из трех мест. Исходная стоимость товара составляет 350 рублей.

На весенней распродаже в магазине
Сначала цену товара снизили на 40%. Новая цена составит $100\% - 40\% = 60\%$ от первоначальной:
$350 \text{ р.} \cdot (1 - \frac{40}{100}) = 350 \cdot 0.6 = 210 \text{ р.}$
Затем новую цену в 210 р. уценили еще на 5%. Итоговая цена составит $100\% - 5\% = 95\%$ от цены после первой уценки:
$210 \text{ р.} \cdot (1 - \frac{5}{100}) = 210 \cdot 0.95 = 199.5 \text{ р.}$
Ответ: 199,5 р.

В супермаркете
В этом случае сначала цену товара снизили на 5%. Новая цена составит $100\% - 5\% = 95\%$ от первоначальной:
$350 \text{ р.} \cdot (1 - \frac{5}{100}) = 350 \cdot 0.95 = 332.5 \text{ р.}$
Затем эту цену уценили еще на 40%. Итоговая цена составит $100\% - 40\% = 60\%$ от цены после первой уценки:
$332.5 \text{ р.} \cdot (1 - \frac{40}{100}) = 332.5 \cdot 0.6 = 199.5 \text{ р.}$
Как видим, результат не изменился, так как при последовательных скидках порядок их применения не влияет на конечную цену ($350 \cdot 0.6 \cdot 0.95 = 350 \cdot 0.95 \cdot 0.6$).
Ответ: 199,5 р.

А на ярмарке
На ярмарке товар уценили один раз на 45%. Итоговая цена составит $100\% - 45\% = 55\%$ от первоначальной:
$350 \text{ р.} \cdot (1 - \frac{45}{100}) = 350 \cdot 0.55 = 192.5 \text{ р.}$
Ответ: 192,5 р.

Теперь сравним итоговые цены во всех трех местах:
- Цена в магазине: 199,5 р.
- Цена в супермаркете: 199,5 р.
- Цена на ярмарке: 192,5 р.
Сравнивая цены, получаем: $192.5 \text{ р.} < 199.5 \text{ р.}$

Ответ: выгоднее всего купить товар на ярмарке, так как там его стоимость будет наименьшей — 192,5 рубля.

1.68 Крутизна спуска дороги — это отношение высоты подъёма дороги к её горизонтальной протяжённости, выраженное в процентах (рис. 1.8). Найдите крутизну спуска дороги, если высота подъёма равна 60 м, а горизонтальная протяжённость 1,5 км.

Рис. 1.8

Согласно определению, крутизна спуска дороги — это отношение высоты подъёма дороги к её горизонтальной протяжённости, выраженное в процентах. На рисунке высота подъёма обозначена как h, а горизонтальная протяжённость как a. Формула для расчёта крутизны выглядит следующим образом:

$$Крутизна = \frac{h}{a} \times 100\%$$

По условию задачи нам даны:

• Высота подъёма h = 60 м.
• Горизонтальная протяжённость a = 1,5 км.

Для корректного расчёта отношения необходимо, чтобы обе величины были в одинаковых единицах измерения. Переведём горизонтальную протяжённость из километров в метры, зная, что 1 км = 1000 м.

$$a = 1,5 \text{ км} = 1,5 \times 1000 \text{ м} = 1500 \text{ м}$$

Теперь, когда обе величины выражены в метрах, мы можем подставить их в формулу и вычислить крутизну спуска.

$$Крутизна = \frac{60 \text{ м}}{1500 \text{ м}} \times 100\%$$

Сначала вычислим отношение:

$$\frac{60}{1500} = \frac{6}{150} = \frac{1}{25} = 0,04$$

Теперь умножим полученное значение на 100%, чтобы выразить крутизну в процентах:

$$0,04 \times 100\% = 4\%$$

Таким образом, крутизна спуска дороги составляет 4%.

Ответ: 4%.

1.69 В городских новостях прозвучало сообщение: цена одного товара, пользовавшегося повышенным спросом, в течение года выросла с 18 до 28 р., т. е. почти на $30\%$. Верный ли вывод сделан о росте цены?

Для проверки правильности вывода, сделанного в новостях, необходимо рассчитать точный процентный рост цены товара. Процентное изменение всегда вычисляется по отношению к первоначальному значению.

Первоначальная цена товара: $18$ р.
Конечная цена товара: $28$ р.

1. Сначала найдем абсолютное изменение цены, то есть разницу между конечной и начальной ценой:
$28 \text{ р.} - 18 \text{ р.} = 10 \text{ р.}$

2. Теперь рассчитаем, какую долю это изменение составляет от первоначальной цены. Для этого разделим абсолютное изменение на начальную цену:
$\frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

3. Чтобы выразить полученное значение в процентах, умножим его на $100\%$:
$\frac{5}{9} \times 100\% \approx 0.5555... \times 100\% \approx 55.6\%$

Таким образом, фактический рост цены составил приблизительно $55.6\%$. В новостном сообщении утверждалось, что цена выросла "почти на 30%". Сравнение показывает, что реальный рост ($55.6\%$) значительно превышает заявленный ($30\%$).

Ответ: Нет, вывод сделан неверный. Рост цены составил примерно $55.6\%$, а не "почти 30%".

1.70 a) Представьте в виде круговой диаграммы состав лекарственного сбора: корня солодки — 27%, корня алтея — 29,8%, листьев шалфея — 14,4%, плодов аниса — 14,4%, почек сосны — 14,4%.

Образец. В расчётах для построения диаграммы используйте калькулятор. Результаты округляйте до целых. Например, чтобы выделить сектор для изображения 14,4%, надо найти 14,4% от 360°. Получим $360^\circ \cdot 0,144 = 51,84^\circ \approx 52^\circ$.

б) На книжной ярмарке за 3 дня продали все школьные учебники. В пятницу продали 300 учебников, в субботу — 420, в воскресенье — 530 учебников. Определите, какой процент от всех имевшихся на ярмарке школьных учебников составляют проданные в каждый из этих трёх дней. Используя полученные результаты, проиллюстрируйте условие задачи с помощью круговой диаграммы.

а)

Для построения круговой диаграммы необходимо найти, какую часть полного круга ($360°$) составляет каждый компонент лекарственного сбора. Для этого нужно умножить долю каждого компонента, выраженную в виде десятичной дроби, на $360°$ и округлить результат до целого числа, как указано в образце.

Рассчитаем величину центрального угла для каждого компонента:

• Корня солодки (27%):
  $0.27 \cdot 360° = 97.2° \approx 97°$
• Корня алтея (29,8%):
  $0.298 \cdot 360° = 107.28° \approx 107°$
• Листьев шалфея (14,4%):
  $0.144 \cdot 360° = 51.84° \approx 52°$
• Плодов аниса (14,4%):
  $0.144 \cdot 360° = 51.84° \approx 52°$
• Почек сосны (14,4%):
  $0.144 \cdot 360° = 51.84° \approx 52°$

Сумма полученных углов составляет $97° + 107° + 52° + 52° + 52° = 360°$.

На круговой диаграмме состав лекарственного сбора будет представлен секторами с рассчитанными центральными углами.

Ответ: для представления состава лекарственного сбора в виде круговой диаграммы нужно нарисовать секторы с углами 97° (корень солодки), 107° (корень алтея), 52° (листья шалфея), 52° (плоды аниса) и 52° (почки сосны).

б)

1. Сначала найдем общее количество проданных учебников за три дня. Это будет наша база для расчета процентов (100%).

$300 \text{ (пятница)} + 420 \text{ (суббота)} + 530 \text{ (воскресенье)} = 1250$ учебников.

2. Теперь определим, какой процент от общего количества составляют учебники, проданные в каждый из дней. Для этого количество учебников за день разделим на общее количество и умножим на 100%.

• Пятница:
  $(\frac{300}{1250}) \cdot 100\% = 0.24 \cdot 100\% = 24\%$
• Суббота:
  $(\frac{420}{1250}) \cdot 100\% = 0.336 \cdot 100\% = 33.6\%$
• Воскресенье:
  $(\frac{530}{1250}) \cdot 100\% = 0.424 \cdot 100\% = 42.4\%$

Проверим, что сумма процентов равна 100%: $24\% + 33.6\% + 42.4\% = 100\%$.

3. Для иллюстрации условия задачи с помощью круговой диаграммы рассчитаем центральные углы секторов, соответствующие найденным процентам. Полный круг равен $360°$. Результаты округлим до целых.

• Пятница (24%):
  $0.24 \cdot 360° = 86.4° \approx 86°$
• Суббота (33,6%):
  $0.336 \cdot 360° = 120.96° \approx 121°$
• Воскресенье (42,4%):
  $0.424 \cdot 360° = 152.64° \approx 153°$

Сумма углов: $86° + 121° + 153° = 360°$.

Ответ: в пятницу было продано 24% всех учебников, в субботу — 33,6%, в воскресенье — 42,4%. На круговой диаграмме это будет соответствовать секторам с углами 86° (пятница), 121° (суббота) и 153° (воскресенье).