Страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.45 a) Объём пирамиды, в основании которой квадрат (рис. 1.4), вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}a^2h$. Найдите объём пирамиды, если $a = 10$ см, $h = 16$ см. (Ответ округлите до единиц.)

б) Объём цилиндра можно приближённо вычислить по формуле $V \approx \frac{3d^2h}{4}$, где $d$ — диаметр основания, $h$ — высота цилиндра (рис. 1.5). Найдите объём цилиндра при $d = 1,7$ м, $h = 1$ м. (Ответ округлите до десятых.)

а) Для вычисления объёма пирамиды воспользуемся данной формулой $V = \frac{1}{3}a^2h$.

Подставим известные значения $a = 10$ см и $h = 16$ см в формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot 10^2 \cdot 16 = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 16 = \frac{1600}{3}$

Выполним деление:

$V = 1600 : 3 \approx 533,333...$ (см$^3$)

Согласно условию, ответ необходимо округлить до единиц. Так как первая цифра после запятой (3) меньше 5, округляем в меньшую сторону.

$V \approx 533$ см$^3$

Ответ: $533$ см$^3$.

б) Для приближенного вычисления объёма цилиндра воспользуемся формулой $V \approx \frac{3d^2h}{4}$.

Подставим известные значения $d = 1,7$ м и $h = 1$ м в формулу:

$V \approx \frac{3 \cdot (1,7)^2 \cdot 1}{4} = \frac{3 \cdot 2,89}{4} = \frac{8,67}{4}$

Выполним деление:

$V = 8,67 : 4 = 2,1675$ (м$^3$)

Согласно условию, ответ необходимо округлить до десятых. Так как вторая цифра после запятой (6) больше или равна 5, округляем в большую сторону.

$V \approx 2,2$ м$^3$

Ответ: $2,2$ м$^3$.

1.46 Представьте в виде степени с основанием 10 следующие числа:

a) 10; 100; 1000; 10 000; 100 000; 1 000 000;

б) 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; 0,000001.

а)

Чтобы представить целое число, состоящее из единицы и последующих нулей, в виде степени с основанием 10, необходимо определить показатель степени. Показатель степени в этом случае будет равен количеству нулей после единицы.

• Число 10 имеет один ноль после единицы, следовательно, $10 = 10^1$.

• Число 100 имеет два ноля, следовательно, $100 = 10 \times 10 = 10^2$.

• Число 1000 имеет три ноля, следовательно, $1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3$.

• Число 10 000 имеет четыре ноля, следовательно, $10000 = 10^4$.

• Число 100 000 имеет пять нолей, следовательно, $100000 = 10^5$.

• Число 1 000 000 имеет шесть нолей, следовательно, $1000000 = 10^6$.

Ответ: $10^1; 10^2; 10^3; 10^4; 10^5; 10^6$.

б)

Для представления десятичной дроби в виде степени с основанием 10 используется отрицательный показатель степени. Это следует из определения степени с отрицательным целым показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Модуль (абсолютное значение) показателя степени для дробей вида 0,0...1 равен количеству цифр после запятой.

• Число 0,1 имеет одну цифру после запятой. Его можно записать как дробь $\frac{1}{10} = \frac{1}{10^1}$, что равно $10^{-1}$.

• Число 0,01 имеет две цифры после запятой. Его можно записать как дробь $\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2}$, что равно $10^{-2}$.

• Число 0,001 имеет три цифры после запятой. Его можно записать как дробь $\frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3}$, что равно $10^{-3}$.

• Число 0,0001 имеет четыре цифры после запятой. Его можно записать как дробь $\frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4}$, что равно $10^{-4}$.

• Число 0,00001 имеет пять цифр после запятой. Его можно записать как дробь $\frac{1}{100000} = \frac{1}{10^5}$, что равно $10^{-5}$.

• Число 0,000001 имеет шесть цифр после запятой. Его можно записать как дробь $\frac{1}{1000000} = \frac{1}{10^6}$, что равно $10^{-6}$.

Ответ: $10^{-1}; 10^{-2}; 10^{-3}; 10^{-4}; 10^{-5}; 10^{-6}$.

1.47 Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:

а) 213 475;

б) 3 552 312;

в) 24 015;

г) 345 700.

Образец. $38232 = 3 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 2.$

Чтобы записать число в виде суммы разрядных слагаемых, нужно каждую цифру числа, отличную от нуля, умножить на её разрядное значение (1, 10, 100, 1000 и т.д.) и сложить полученные произведения. Разрядные значения удобно представлять в виде степеней числа 10, как показано в образце.

а) Разложим число 213 475 на разрядные слагаемые.

Число состоит из:

• 2 сотен тысяч ($2 \cdot 10^5$)
• 1 десятка тысяч ($1 \cdot 10^4$)
• 3 тысяч ($3 \cdot 10^3$)
• 4 сотен ($4 \cdot 10^2$)
• 7 десятков ($7 \cdot 10$)
• 5 единиц ($5$)

Сложив эти слагаемые, получаем:

$213 475 = 2 \cdot 10^5 + 1 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10 + 5$

Ответ: $2 \cdot 10^5 + 1 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10 + 5$

б) Разложим число 3 552 312 на разрядные слагаемые.

Число состоит из:

• 3 миллионов ($3 \cdot 10^6$)
• 5 сотен тысяч ($5 \cdot 10^5$)
• 5 десятков тысяч ($5 \cdot 10^4$)
• 2 тысяч ($2 \cdot 10^3$)
• 3 сотен ($3 \cdot 10^2$)
• 1 десятка ($1 \cdot 10$)
• 2 единиц ($2$)

Сложив эти слагаемые, получаем:

$3 552 312 = 3 \cdot 10^6 + 5 \cdot 10^5 + 5 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 2$

Ответ: $3 \cdot 10^6 + 5 \cdot 10^5 + 5 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 2$

в) Разложим число 24 015 на разрядные слагаемые. Разряд, в котором стоит цифра 0 (в данном случае разряд сотен), в итоговую сумму не записывается, так как соответствующее слагаемое равно нулю.

Число состоит из:

• 2 десятков тысяч ($2 \cdot 10^4$)
• 4 тысяч ($4 \cdot 10^3$)
• 1 десятка ($1 \cdot 10$)
• 5 единиц ($5$)

Сложив эти слагаемые, получаем:

$24 015 = 2 \cdot 10^4 + 4 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10 + 5$

Ответ: $2 \cdot 10^4 + 4 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10 + 5$

г) Разложим число 345 700 на разрядные слагаемые. Разряды десятков и единиц содержат нули, поэтому соответствующие слагаемые опускаются.

Число состоит из:

• 3 сотен тысяч ($3 \cdot 10^5$)
• 4 десятков тысяч ($4 \cdot 10^4$)
• 5 тысяч ($5 \cdot 10^3$)
• 7 сотен ($7 \cdot 10^2$)

Сложив эти слагаемые, получаем:

$345 700 = 3 \cdot 10^5 + 4 \cdot 10^4 + 5 \cdot 10^3 + 7 \cdot 10^2$

Ответ: $3 \cdot 10^5 + 4 \cdot 10^4 + 5 \cdot 10^3 + 7 \cdot 10^2$

1.48 1) Используя степени числа 10, запишите, сколько в 1 км метров; сантиметров; миллиметров.

2) Используя степени числа 10, выразите в метрах 1 см; 1 мм; 1 мк (1 мк — один микрон, тысячная доля миллиметра).

1) Для того чтобы выразить 1 километр (км) в метрах, сантиметрах и миллиметрах, используя степени числа 10, воспользуемся известными соотношениями единиц длины:

• 1 километр (км) равен 1000 метрам (м).
• 1 метр (м) равен 100 сантиметрам (см).
• 1 сантиметр (см) равен 10 миллиметрам (мм).

Выразим 1 км в метрах:

1 км = 1000 м. Число 1000 можно представить как $10 \times 10 \times 10$, что равно $10^3$.

Следовательно, 1 км = $10^3$ м.

Выразим 1 км в сантиметрах:

Сначала переведем километры в метры (1 км = $10^3$ м), а затем метры в сантиметры (1 м = 100 см = $10^2$ см).

1 км = $10^3$ м = $10^3 \times 10^2$ см = $10^{3+2}$ см = $10^5$ см.

Выразим 1 км в миллиметрах:

Переведем километры в сантиметры (1 км = $10^5$ см), а затем сантиметры в миллиметры (1 см = 10 мм = $10^1$ мм).

1 км = $10^5$ см = $10^5 \times 10^1$ мм = $10^{5+1}$ мм = $10^6$ мм.

Другой способ: 1 м = 1000 мм = $10^3$ мм. Тогда 1 км = $10^3$ м = $10^3 \times 10^3$ мм = $10^{3+3}$ мм = $10^6$ мм.

Ответ: в 1 км содержится $10^3$ метров, $10^5$ сантиметров, $10^6$ миллиметров.

2) Для того чтобы выразить 1 сантиметр (см), 1 миллиметр (мм) и 1 микрон (мк) в метрах, используя степени числа 10, воспользуемся обратными соотношениями и определением микрона.

Выразим 1 см в метрах:

Так как 1 м = 100 см, то 1 см составляет одну сотую долю метра.

1 см = $\frac{1}{100}$ м = $\frac{1}{10^2}$ м = $10^{-2}$ м.

Выразим 1 мм в метрах:

Так как 1 м = 1000 мм, то 1 мм составляет одну тысячную долю метра.

1 мм = $\frac{1}{1000}$ м = $\frac{1}{10^3}$ м = $10^{-3}$ м.

Выразим 1 мк в метрах:

По условию, 1 микрон (мк) — это тысячная доля миллиметра, то есть 1 мк = $\frac{1}{1000}$ мм = $10^{-3}$ мм.

Мы уже знаем, что 1 мм = $10^{-3}$ м. Подставим это соотношение:

1 мк = $10^{-3}$ мм = $10^{-3} \times (10^{-3}$ м) = $10^{-3+(-3)}$ м = $10^{-6}$ м.

Ответ: 1 см = $10^{-2}$ м; 1 мм = $10^{-3}$ м; 1 мк = $10^{-6}$ м.

1.49 Скорость света равна 300 000 км/с.

1) Запишите эту величину с помощью степени числа 10.

2) Выразите скорость света в метрах в секунду и запишите результат с помощью степени числа 10.

1) Запишите эту величину с помощью степени числа 10.

Дана скорость света, равная 300 000 км/с. Чтобы записать это число с помощью степени числа 10, нужно представить его в стандартном виде, то есть в виде $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число.

Представим число 300 000 как произведение числа 3 на 100 000:

$300\;000 = 3 \times 100\;000$

Число 100 000 можно записать как степень числа 10. Поскольку в этом числе 5 нулей после единицы, то оно равно $10^5$:

$100\;000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5$

Таким образом, скорость света, записанная с помощью степени числа 10, составляет $3 \times 10^5$ км/с.

Ответ: $3 \times 10^5$ км/с.

2) Выразите скорость света в метрах в секунду и запишите результат с помощью степени числа 10.

Сначала необходимо перевести скорость из километров в секунду (км/с) в метры в секунду (м/с). Для этого вспомним соотношение между километрами и метрами:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Число 1000 можно представить как степень числа 10: $1000 = 10^3$.

Теперь умножим скорость света в км/с на количество метров в одном километре. Используем результат из первого пункта:

$3 \times 10^5 \text{ км/с} = (3 \times 10^5) \times 1000 \text{ м/с} = (3 \times 10^5) \times 10^3 \text{ м/с}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \times a^n = a^{m+n}$):

$3 \times 10^5 \times 10^3 = 3 \times 10^{5+3} = 3 \times 10^8$

Следовательно, скорость света в метрах в секунду равна $3 \times 10^8$ м/с.

Ответ: $3 \times 10^8$ м/с.

1.50 Запишите величину, указанную в предложении, с помощью натурального числа или десятичной дроби:

а) расстояние от Земли до Плутона — самой далёкой известной планеты Солнечной системы — равно $7,527 \cdot 10^9$ км;

б) расстояние от Земли до звезды Сириус равно $8,19 \cdot 10^{13}$ км;

в) радиус молекулы воды равен $1,4 \cdot 10^{-7}$ мм;

г) диаметр атома водорода равен $9,2 \cdot 10^{-8}$ мм.

а) Величина $7,527 \cdot 10^9$ км записана в стандартном виде. Чтобы представить ее в виде натурального числа, необходимо умножить десятичную дробь $7,527$ на $10^9$. Умножение на $10^9$ означает перенос запятой на 9 знаков вправо.

Исходное число: $7,527$.

Переносим запятую на 3 знака вправо, чтобы получить целое число: $7527$.

Остается умножить на $10^{9-3} = 10^6$, что равносильно добавлению 6 нулей в конце числа.

Получаем: $7\ 527\ 000\ 000$.

Таким образом, $7,527 \cdot 10^9 \text{ км} = 7\ 527\ 000\ 000 \text{ км}$.

Ответ: $7\ 527\ 000\ 000$ км.

б) Величина $8,19 \cdot 10^{13}$ км. Чтобы представить ее в виде натурального числа, необходимо умножить $8,19$ на $10^{13}$. Это означает перенос запятой на 13 знаков вправо.

Исходное число: $8,19$.

Переносим запятую на 2 знака вправо: $819$.

Остается умножить на $10^{13-2} = 10^{11}$, что означает добавление 11 нулей в конце числа.

Получаем: $81\ 900\ 000\ 000\ 000$.

Таким образом, $8,19 \cdot 10^{13} \text{ км} = 81\ 900\ 000\ 000\ 000 \text{ км}$.

Ответ: $81\ 900\ 000\ 000\ 000$ км.

в) Величина $1,4 \cdot 10^{-7}$ мм. Чтобы представить ее в виде десятичной дроби, необходимо умножить $1,4$ на $10^{-7}$. Отрицательная степень означает, что мы делим на $10^7$, то есть переносим запятую на 7 знаков влево.

Исходное число: $1,4$.

Переносим запятую на 1 знак влево: $0,14$.

Нужно перенести еще на $7-1=6$ знаков влево. Для этого добавляем 6 нулей после запятой перед цифрой 1.

Получаем: $0,00000014$.

Таким образом, $1,4 \cdot 10^{-7} \text{ мм} = 0,00000014 \text{ мм}$.

Ответ: $0,00000014$ мм.

г) Величина $9,2 \cdot 10^{-8}$ мм. Чтобы представить ее в виде десятичной дроби, необходимо умножить $9,2$ на $10^{-8}$. Это означает перенос запятой на 8 знаков влево.

Исходное число: $9,2$.

Переносим запятую на 1 знак влево: $0,92$.

Нужно перенести еще на $8-1=7$ знаков влево. Для этого добавляем 7 нулей после запятой перед цифрой 9.

Получаем: $0,000000092$.

Таким образом, $9,2 \cdot 10^{-8} \text{ мм} = 0,000000092 \text{ мм}$.

Ответ: $0,000000092$ мм.