Страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.34 Число 64 можно по-разному представить в виде степени:

$64 = 2^6 = 4^3 = 8^2.$

Запишите разными способами в виде степени следующее число:

a) 16;

б) 81;

в) 256;

г) 625;

д) 729;

е) 1 000 000.

а) Чтобы представить число 16 в виде степени, можно разложить его на множители. Поскольку $16 = 4 \cdot 4$, то $16 = 4^2$. Также, $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$, что можно записать как $16 = 2^4$.
Ответ: $16 = 2^4 = 4^2$.

б) Число 81 можно представить как произведение $9 \cdot 9$, то есть $81 = 9^2$. Также, разложив на простые множители, получаем $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$, что равно $3^4$.
Ответ: $81 = 3^4 = 9^2$.

в) Число 256 можно представить в виде степени несколькими способами. Разложим его на простые множители: $256 = 2^8$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, найдем другие представления:
$256 = (2^2)^4 = 4^4$.
$256 = (2^4)^2 = 16^2$.
Ответ: $256 = 2^8 = 4^4 = 16^2$.

г) Число 625 можно представить как произведение $25 \cdot 25$, то есть $625 = 25^2$. Разложив на простые множители, получаем $625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$, что равно $5^4$.
Ответ: $625 = 5^4 = 25^2$.

д) Для числа 729 основным представлением через простое основание является $729 = 3^6$. Используя свойство степеней, найдем другие варианты:
$729 = (3^2)^3 = 9^3$.
$729 = (3^3)^2 = 27^2$.
Ответ: $729 = 3^6 = 9^3 = 27^2$.

е) Число 1 000 000 (один миллион) можно записать как степень числа 10: $1\;000\;000 = 10^6$. Используя свойство степеней, найдем другие представления:
$1\;000\;000 = (10^2)^3 = 100^3$.
$1\;000\;000 = (10^3)^2 = 1000^2$.
Ответ: $1\;000\;000 = 10^6 = 100^3 = 1000^2$.

1.35 Представьте разными способами $3^8$ в виде произведения:

а) двух степеней с основанием 3;

б) трёх степеней с основанием 3;

в) четырёх степеней с основанием 3.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Это свойство можно обобщить на любое количество множителей: $a^{n_1} \cdot a^{n_2} \cdot \dots \cdot a^{n_k} = a^{n_1 + n_2 + \dots + n_k}$.
Таким образом, чтобы представить $3^8$ в виде произведения нескольких степеней с основанием 3, нам нужно найти такие натуральные числа (показатели степеней), сумма которых будет равна 8.

а) двух степеней с основанием 3;
Нам нужно найти два натуральных числа, сумма которых равна 8. Есть несколько вариантов разложения числа 8 на два слагаемых:
$8 = 1 + 7$, что соответствует произведению $3^1 \cdot 3^7$;
$8 = 2 + 6$, что соответствует произведению $3^2 \cdot 3^6$;
$8 = 3 + 5$, что соответствует произведению $3^3 \cdot 3^5$;
$8 = 4 + 4$, что соответствует произведению $3^4 \cdot 3^4$.
Каждый из этих вариантов является правильным ответом.
Ответ: например, $3^8 = 3^2 \cdot 3^6$.

б) трёх степеней с основанием 3;
Теперь нам нужно найти три натуральных числа, сумма которых равна 8. Приведем несколько примеров:
$8 = 1 + 1 + 6$, что соответствует произведению $3^1 \cdot 3^1 \cdot 3^6$;
$8 = 1 + 2 + 5$, что соответствует произведению $3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^5$;
$8 = 2 + 2 + 4$, что соответствует произведению $3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^4$;
$8 = 2 + 3 + 3$, что соответствует произведению $3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^3$.
Можно выбрать любую из этих комбинаций.
Ответ: например, $3^8 = 3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^5$.

в) четырёх степеней с основанием 3.
В этом случае ищем четыре натуральных числа, которые в сумме дают 8. Вот несколько возможных вариантов:
$8 = 1 + 1 + 1 + 5$, что соответствует произведению $3^1 \cdot 3^1 \cdot 3^1 \cdot 3^5$;
$8 = 1 + 1 + 2 + 4$, что соответствует произведению $3^1 \cdot 3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^4$;
$8 = 1 + 2 + 2 + 3$, что соответствует произведению $3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^3$;
$8 = 2 + 2 + 2 + 2$, что соответствует произведению $3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2$.
Это лишь некоторые из возможных решений.
Ответ: например, $3^8 = 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2$.

1.36 Запишите в виде степени:

а) с основанием 7 произведения:

$7^2 \cdot 7^8;$ $7^4 \cdot 7^3 \cdot 7^{10};$ $7 \cdot 7^9 \cdot 7^3;$ $7^m \cdot 7^n;$

б) с основанием a произведения:

$a^5 \cdot a^6;$ $a^{12} \cdot a^2 \cdot a^5;$ $a^m \cdot a^n;$ $a^x \cdot a^y \cdot a.$

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковым основанием, основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают. Формула этого свойства: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$7^2 \cdot 7^8$
Применяем свойство умножения степеней: основание 7 оставляем без изменений, а показатели 2 и 8 складываем.
$7^2 \cdot 7^8 = 7^{2+8} = 7^{10}$.
Ответ: $7^{10}$.

$7^4 \cdot 7^3 \cdot 7^{10}$
Это свойство применимо и для произведения трех и более степеней. Складываем все показатели: 4, 3 и 10.
$7^4 \cdot 7^3 \cdot 7^{10} = 7^{4+3+10} = 7^{17}$.
Ответ: $7^{17}$.

$7 \cdot 7^9 \cdot 7^3$
Любое число без явного показателя степени считается числом в первой степени, то есть $7 = 7^1$.
Теперь складываем показатели: 1, 9 и 3.
$7 \cdot 7^9 \cdot 7^3 = 7^1 \cdot 7^9 \cdot 7^3 = 7^{1+9+3} = 7^{13}$.
Ответ: $7^{13}$.

$7^m \cdot 7^n$
Применяем общее правило для буквенных показателей m и n.
$7^m \cdot 7^n = 7^{m+n}$.
Ответ: $7^{m+n}$.

$a^5 \cdot a^6$
Аналогично предыдущим примерам, складываем показатели 5 и 6.
$a^5 \cdot a^6 = a^{5+6} = a^{11}$.
Ответ: $a^{11}$.

$a^{12} \cdot a^2 \cdot a^5$
Складываем все три показателя: 12, 2 и 5.
$a^{12} \cdot a^2 \cdot a^5 = a^{12+2+5} = a^{19}$.
Ответ: $a^{19}$.

$a^m \cdot a^n$
Применяем общее правило для основания a.
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Ответ: $a^{m+n}$.

$a^x \cdot a^y \cdot a$
Множитель $a$ без показателя степени равен $a^1$.
Складываем показатели x, y и 1.
$a^x \cdot a^y \cdot a = a^x \cdot a^y \cdot a^1 = a^{x+y+1}$.
Ответ: $a^{x+y+1}$.

1.37 Вычислите:

а) $8 + 7^2$, $(8 + 7)^2$, $8^2 + 7^2$;

б) $(11 - 6)^3$, $11 - 6^3$, $11^3 - 6^3$;

в) $5 \cdot 2^4$, $(5 \cdot 2)^4$, $5^4 \cdot 2^4$;

г) $(14 : 2)^3$, $14 : 2^3$, $14^3 : 2^3$.

а) Вычислим значения каждого выражения по отдельности, соблюдая порядок действий (сначала возведение в степень, затем сложение/вычитание; действия в скобках выполняются в первую очередь).

Первое выражение: $8 + 7^2$
Сначала возводим в степень: $7^2 = 49$.
Затем выполняем сложение: $8 + 49 = 57$.

Второе выражение: $(8 + 7)^2$
Сначала выполняем действие в скобках: $8 + 7 = 15$.
Затем возводим в степень: $15^2 = 225$.

Третье выражение: $8^2 + 7^2$
Сначала возводим в степень каждое число: $8^2 = 64$ и $7^2 = 49$.
Затем выполняем сложение: $64 + 49 = 113$.

Ответ: 57, 225, 113.

б) Вычислим значения каждого выражения по отдельности.

Первое выражение: $(11 - 6)^3$
Сначала выполняем действие в скобках: $11 - 6 = 5$.
Затем возводим в степень: $5^3 = 125$.

Второе выражение: $11 - 6^3$
Сначала возводим в степень: $6^3 = 216$.
Затем выполняем вычитание: $11 - 216 = -205$.

Третье выражение: $11^3 - 6^3$
Сначала возводим в степень каждое число: $11^3 = 1331$ и $6^3 = 216$.
Затем выполняем вычитание: $1331 - 216 = 1115$.

Ответ: 125, -205, 1115.

в) Вычислим значения каждого выражения по отдельности. Порядок действий: возведение в степень, затем умножение.

Первое выражение: $5 \cdot 2^4$
Сначала возводим в степень: $2^4 = 16$.
Затем выполняем умножение: $5 \cdot 16 = 80$.

Второе выражение: $(5 \cdot 2)^4$
Сначала выполняем действие в скобках: $5 \cdot 2 = 10$.
Затем возводим в степень: $10^4 = 10000$.

Третье выражение: $5^4 \cdot 2^4$
Здесь можно использовать свойство степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$5^4 \cdot 2^4 = (5 \cdot 2)^4 = 10^4 = 10000$.
Или можно вычислить по действиям: $5^4 = 625$ и $2^4 = 16$, тогда $625 \cdot 16 = 10000$.

Ответ: 80, 10000, 10000.

г) Вычислим значения каждого выражения по отдельности. Порядок действий: возведение в степень, затем деление.

Первое выражение: $(14 : 2)^3$
Сначала выполняем действие в скобках: $14 : 2 = 7$.
Затем возводим в степень: $7^3 = 343$.

Второе выражение: $14 : 2^3$
Сначала возводим в степень: $2^3 = 8$.
Затем выполняем деление: $14 : 8 = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1.75$.

Третье выражение: $14^3 : 2^3$
Здесь можно использовать свойство степени частного: $a^n : b^n = (a : b)^n$.
$14^3 : 2^3 = (14 : 2)^3 = 7^3 = 343$.
Или можно вычислить по действиям: $14^3 = 2744$ и $2^3 = 8$, тогда $2744 : 8 = 343$.

Ответ: 343, 1.75, 343.

1.37 Вычислите:

а) $8 + 7^2$, $(8 + 7)^2$, $8^2 + 7^2$;

б) $(11 - 6)^3$, $11 - 6^3$, $11^3 - 6^3$;

в) $5 \cdot 2^4$, $(5 \cdot 2)^4$, $5^4 \cdot 2^4$;

г) $(14 : 2)^3$, $14 : 2^3$, $14^3 : 2^3$.

а) В этом пункте мы рассмотрим три выражения, чтобы увидеть, как порядок действий влияет на результат.
1. $8 + 7^2$. Согласно порядку действий, сначала выполняется возведение в степень, а затем сложение.
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$
$8 + 49 = 57$

2. $(8 + 7)^2$. В этом случае сначала выполняется действие в скобках (сложение), а затем результат возводится в степень.
$8 + 7 = 15$
$15^2 = 15 \cdot 15 = 225$

3. $8^2 + 7^2$. Здесь сначала каждое число возводится в степень, а затем результаты складываются.
$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$
$64 + 49 = 113$
Ответ: $57; 225; 113$.

б) Здесь мы вычисляем три выражения с вычитанием и возведением в куб.
1. $(11 - 6)^3$. Сначала выполняем вычитание в скобках, затем возводим в куб.
$11 - 6 = 5$
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

2. $11 - 6^3$. Сначала возводим число в куб, а затем выполняем вычитание.
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$
$11 - 216 = -205$

3. $11^3 - 6^3$. Сначала каждое число возводится в куб, а затем из первого результата вычитается второй.
$11^3 = 11 \cdot 11 \cdot 11 = 1331$
$6^3 = 216$
$1331 - 216 = 1115$
Ответ: $125; -205; 1115$.

в) В этом пункте мы работаем с умножением и возведением в четвертую степень.
1. $5 \cdot 2^4$. Сначала возводим в степень, затем умножаем.
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
$5 \cdot 16 = 80$

2. $(5 \cdot 2)^4$. Сначала выполняем умножение в скобках, затем возводим в степень.
$5 \cdot 2 = 10$
$10^4 = 10000$

3. $5^4 \cdot 2^4$. Здесь можно использовать свойство степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$5^4 \cdot 2^4 = (5 \cdot 2)^4 = 10^4 = 10000$
Или можно вычислить каждую степень по отдельности:
$5^4 = 625$
$2^4 = 16$
$625 \cdot 16 = 10000$
Ответ: $80; 10000; 10000$.

г) Здесь мы вычисляем выражения с делением и возведением в куб.
1. $(14 : 2)^3$. Сначала выполняем деление в скобках, затем возводим в степень.
$14 : 2 = 7$
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$

2. $14 : 2^3$. Сначала возводим делитель в степень, затем выполняем деление.
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
$14 : 8 = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1.75$

3. $14^3 : 2^3$. Здесь удобно использовать свойство степени частного: $a^n : b^n = (a : b)^n$.
$14^3 : 2^3 = (14 : 2)^3 = 7^3 = 343$
Или можно вычислить каждую степень по отдельности:
$14^3 = 14 \cdot 14 \cdot 14 = 2744$
$2^3 = 8$
$2744 : 8 = 343$
Ответ: $343; 1.75; 343$.

1.38 Расставьте в выражении $30 : 5 - 10^3$ скобки всеми возможными способами и найдите значения получившихся выражений.

Исходное выражение: $30 : 5 - 10^3$.

Рассмотрим все возможные варианты расстановки скобок, которые изменяют порядок действий.

1. Выражение без скобок

В этом случае порядок действий определяется стандартными правилами: сначала возведение в степень, затем деление и умножение (слева направо), и в конце сложение и вычитание (слева направо).

Выражение: $30 : 5 - 10^3$.

1. Возводим 10 в третью степень: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

2. Выполняем деление: $30 : 5 = 6$.

3. Выполняем вычитание: $6 - 1000 = -994$.

Полное вычисление: $30 : 5 - 10^3 = 6 - 1000 = -994$.

Примечание: расстановка скобок, не меняющая порядок действий, например $(30 : 5) - 10^3$, даст тот же результат.

Ответ: -994.

2. Скобки вокруг операции вычитания

В этом случае сначала выполняются все действия в скобках, а затем деление.

Выражение: $30 : (5 - 10^3)$.

1. Вычисляем значение в скобках. Первым действием внутри скобок является возведение в степень: $10^3 = 1000$.

2. Затем выполняем вычитание в скобках: $5 - 1000 = -995$.

3. Теперь выполняем деление: $30 : (-995)$. Результат можно представить в виде дроби.

$30 : (-995) = -\frac{30}{995}$

4. Сократим полученную дробь. И числитель (30), и знаменатель (995) делятся на 5.

$30 \div 5 = 6$

$995 \div 5 = 199$

Таким образом, получаем дробь: $-\frac{6}{199}$.

Полное вычисление: $30 : (5 - 10^3) = 30 : (5 - 1000) = 30 : (-995) = -\frac{6}{199}$.

Ответ: $-\frac{6}{199}$.

1.40 Не выполняя вычислений, определите знак результата:

а) $\$(-8)^7\$;

б) $\$(-1)^{24}\$;

в) $\$(-10)^{30} \cdot (-1)^{15}\$;

г) $\$(-2)^9 \cdot (-5)^{11}\$;

д) $\$(-6)^{17} \cdot (-7)^{16}\$;

е) $\$(-1)^5 \cdot (-2)^{10} \cdot (-3)^{15}\$.

а) В выражении $(-8)^7$ основание степени ($-8$) является отрицательным числом, а показатель степени (7) — нечетным числом. Возведение отрицательного числа в нечетную степень всегда дает отрицательный результат.
Ответ: минус (-).

б) В выражении $(-1)^{24}$ основание степени ($-1$) является отрицательным числом, а показатель степени (24) — четным числом. Возведение отрицательного числа в четную степень всегда дает положительный результат.
Ответ: плюс (+).

в) В выражении $(-10)^{30} \cdot (-1)^{15}$ определим знак каждого множителя. Первый множитель $(-10)^{30}$ положителен, так как отрицательное число возводится в четную степень (30). Второй множитель $(-1)^{15}$ отрицателен, так как отрицательное число возводится в нечетную степень (15). Произведение положительного и отрицательного чисел ($(+) \cdot (-)$) является отрицательным.
Ответ: минус (-).

г) В выражении $(-2)^9 \cdot (-5)^{11}$ оба множителя являются отрицательными, так как в обоих случаях отрицательное основание возводится в нечетную степень (9 и 11). Произведение двух отрицательных чисел ($(-) \cdot (-)$) является положительным.
Ответ: плюс (+).

д) В выражении $(-6)^{17} \cdot (-7)^{16}$ первый множитель $(-6)^{17}$ отрицателен (отрицательное основание, нечетная степень 17), а второй множитель $(-7)^{16}$ положителен (отрицательное основание, четная степень 16). Произведение отрицательного и положительного чисел ($(-) \cdot (+)$) является отрицательным.
Ответ: минус (-).

е) В выражении $(-1)^5 \cdot (-2)^{10} \cdot (-3)^{15}$ определим знак каждого множителя. Множитель $(-1)^5$ — отрицательный (нечетная степень). Множитель $(-2)^{10}$ — положительный (четная степень). Множитель $(-3)^{15}$ — отрицательный (нечетная степень). Произведение имеет вид $(-) \cdot (+) \cdot (-)$. Так как в произведении четное количество (два) отрицательных множителей, итоговый результат будет положительным.
Ответ: плюс (+).

1.41 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Какое из неравенств верно?

1) $\frac{(-5)^{12}}{(-6)^{15}} > 0$

2) $\frac{(-4)^7}{(-10)^9} < 0$

3) $\frac{(-1)^{20}}{(-8)^{14}} > 0$

4) $\frac{(-2)^5}{(-3)^{10}} > 0$

Для определения верного неравенства необходимо проанализировать знак каждой дроби. Для этого воспользуемся правилами возведения отрицательных чисел в степень:

• Отрицательное число, возведенное в четную степень, всегда будет положительным. Например, $(-a)^{2n} > 0$ для любого $a > 0$.
• Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, всегда будет отрицательным. Например, $(-a)^{2n+1} < 0$ для любого $a > 0$.

Проверим каждое неравенство по очереди.

1) $\frac{(-5)^{12}}{(-6)^{15}} > 0$
Анализируем числитель: $(-5)^{12}$. Основание $-5$ — отрицательное, показатель степени $12$ — четный. Следовательно, результат будет положительным: $(-5)^{12} > 0$.
Анализируем знаменатель: $(-6)^{15}$. Основание $-6$ — отрицательное, показатель степени $15$ — нечетный. Следовательно, результат будет отрицательным: $(-6)^{15} < 0$.
Таким образом, мы делим положительное число на отрицательное, что дает в результате отрицательное число: $\frac{(+)}{(-)} < 0$.
Неравенство $\frac{(-5)^{12}}{(-6)^{15}} > 0$ является ложным.
Ответ: неверно.

2) $\frac{(-4)^7}{(-10)^9} < 0$
Анализируем числитель: $(-4)^7$. Основание $-4$ — отрицательное, показатель степени $7$ — нечетный. Следовательно, результат будет отрицательным: $(-4)^7 < 0$.
Анализируем знаменатель: $(-10)^9$. Основание $-10$ — отрицательное, показатель степени $9$ — нечетный. Следовательно, результат будет отрицательным: $(-10)^9 < 0$.
Таким образом, мы делим отрицательное число на отрицательное, что дает в результате положительное число: $\frac{(-)}{(-)} > 0$.
Неравенство $\frac{(-4)^7}{(-10)^9} < 0$ является ложным.
Ответ: неверно.

3) $\frac{(-1)^{20}}{(-8)^{14}} > 0$
Анализируем числитель: $(-1)^{20}$. Основание $-1$ — отрицательное, показатель степени $20$ — четный. Следовательно, результат будет положительным: $(-1)^{20} > 0$.
Анализируем знаменатель: $(-8)^{14}$. Основание $-8$ — отрицательное, показатель степени $14$ — четный. Следовательно, результат будет положительным: $(-8)^{14} > 0$.
Таким образом, мы делим положительное число на положительное, что дает в результате положительное число: $\frac{(+)}{(+)} > 0$.
Неравенство $\frac{(-1)^{20}}{(-8)^{14}} > 0$ является истинным.
Ответ: верно.

4) $\frac{(-2)^5}{(-3)^{10}} > 0$
Анализируем числитель: $(-2)^5$. Основание $-2$ — отрицательное, показатель степени $5$ — нечетный. Следовательно, результат будет отрицательным: $(-2)^5 < 0$.
Анализируем знаменатель: $(-3)^{10}$. Основание $-3$ — отрицательное, показатель степени $10$ — четный. Следовательно, результат будет положительным: $(-3)^{10} > 0$.
Таким образом, мы делим отрицательное число на положительное, что дает в результате отрицательное число: $\frac{(-)}{(+)} < 0$.
Неравенство $\frac{(-2)^5}{(-3)^{10}} > 0$ является ложным.
Ответ: неверно.

Итак, единственное верное неравенство находится под номером 3.

1.42 Зная, что $28^2 = 784$, найдите значение каждого из выражений:

$(-28)^2$; $-28^2$; $(-(-28^2))$; $-(-(-28))^2$; $-(-(-(-28)))^2$.

В этой задаче мы будем использовать основное свойство степеней и правила работы со знаками. Основное данное: $28^2 = 784$.

$(-28)^2$
Возведение в квадрат отрицательного числа дает положительный результат, так как минус на минус дает плюс. Степень относится ко всему выражению в скобках, включая знак.
$(-28)^2 = (-28) \cdot (-28) = 28^2 = 784$.
Ответ: 784

$-28^2$
Согласно порядку математических операций, возведение в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Это означает, что сначала вычисляется квадрат числа, и только потом к результату применяется знак минус.
$-28^2 = -(28^2) = -(784) = -784$.
Ответ: -784

$-(-28)^2$
Сначала выполняется действие в скобках, возводимое в степень. Как мы выяснили в первом пункте, $(-28)^2 = 784$. Затем к этому результату применяется знак минус, который стоит перед скобками.
$-(-28)^2 = -(784) = -784$.
Ответ: -784

$-(-(-28)^2)$
Решаем это выражение по шагам, двигаясь изнутри наружу.
1. Сначала возводим в степень: $(-28)^2 = 784$.
2. Выражение превращается в $-(-(784))$.
3. Раскрываем внутренние скобки: $-(-784)$.
4. Два знака минус подряд дают плюс: $784$.
Ответ: 784

$-(-(-28))^2$
Также вычисляем по порядку действий.
1. Выполняем операцию в самых внутренних скобках: $-(-28) = 28$.
2. Теперь выражение выглядит так: $-(28)^2$.
3. Возводим 28 в квадрат: $28^2 = 784$.
4. Применяем оставшийся знак минус: $-784$.
Ответ: -784

1.43 Запишите выражение и найдите его значение:

а) сумма квадратов чисел -3 и 4; $(-3)^2 + 4^2$; квадрат суммы чисел -3 и 4; $(-3+4)^2$;

б) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3; $(0.3 - 1.3)^2$; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3; $0.3^2 - 1.3^2$;

в) разность кубов чисел 2 и 3; $2^3 - 3^3$; куб разности чисел 2 и 3; $(2 - 3)^3$;

г) куб суммы чисел 0,3 и -0,1; $(0.3 + (-0.1))^3$; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1. $0.3^3 + (-0.1)^3$.

а) сумма квадратов чисел -3 и 4; квадрат суммы чисел -3 и 4;

Сумма квадратов чисел -3 и 4. Сначала возводим каждое число в квадрат, а затем складываем результаты. Выражение: $(-3)^2 + 4^2$.
Находим значение: $(-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Ответ: 25.

Квадрат суммы чисел -3 и 4. Сначала находим сумму чисел, а затем возводим результат в квадрат. Выражение: $(-3 + 4)^2$.
Находим значение: $(-3 + 4)^2 = 1^2 = 1$.
Ответ: 1.

б) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3;

Квадрат разности чисел 0,3 и 1,3. Сначала находим разность чисел, а затем возводим результат в квадрат. Выражение: $(0,3 - 1,3)^2$.
Находим значение: $(0,3 - 1,3)^2 = (-1)^2 = 1$.
Ответ: 1.

Разность квадратов чисел 0,3 и 1,3. Сначала возводим каждое число в квадрат, а затем находим разность результатов. Выражение: $0,3^2 - 1,3^2$.
Находим значение: $0,3^2 - 1,3^2 = 0,09 - 1,69 = -1,6$.
Ответ: -1,6.

в) разность кубов чисел 2 и 3; куб разности чисел 2 и 3;

Разность кубов чисел 2 и 3. Сначала возводим каждое число в куб, а затем находим разность результатов. Выражение: $2^3 - 3^3$.
Находим значение: $2^3 - 3^3 = 8 - 27 = -19$.
Ответ: -19.

Куб разности чисел 2 и 3. Сначала находим разность чисел, а затем возводим результат в куб. Выражение: $(2 - 3)^3$.
Находим значение: $(2 - 3)^3 = (-1)^3 = -1$.
Ответ: -1.

г) куб суммы чисел 0,3 и -0,1; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1.

Куб суммы чисел 0,3 и -0,1. Сначала находим сумму чисел, а затем возводим результат в куб. Выражение: $(0,3 + (-0,1))^3$.
Находим значение: $(0,3 + (-0,1))^3 = (0,2)^3 = 0,008$.
Ответ: 0,008.

Сумма кубов чисел 0,3 и -0,1. Сначала возводим каждое число в куб, а затем складываем результаты. Выражение: $0,3^3 + (-0,1)^3$.
Находим значение: $0,3^3 + (-0,1)^3 = 0,027 + (-0,001) = 0,027 - 0,001 = 0,026$.
Ответ: 0,026.

1.44 Найдите значения выражений $9a^2$, $(9a)^2$, $-9a^2$, $(-9a)^2$:

а) при $a = \frac{1}{6}$;

б) при $a = -0,1$.

$V=\frac{1}{3}a^2h$

$V \approx \frac{3d^2h}{4}$

Рис. 1.4

Рис. 1.5

а) При $a = \frac{1}{6}$ найдем значения для каждого выражения:

Для выражения $9a^2$:

$9a^2 = 9 \cdot (\frac{1}{6})^2 = 9 \cdot \frac{1}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

Для выражения $(9a)^2$:

$(9a)^2 = (9 \cdot \frac{1}{6})^2 = (\frac{9}{6})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

Для выражения $-9a^2$:

$-9a^2 = -9 \cdot (\frac{1}{6})^2 = -9 \cdot \frac{1}{36} = -\frac{9}{36} = -\frac{1}{4}$

Для выражения $(-9a)^2$:

$(-9a)^2 = (-9 \cdot \frac{1}{6})^2 = (-\frac{9}{6})^2 = (-\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$; $2\frac{1}{4}$; $-\frac{1}{4}$; $2\frac{1}{4}$.

б) При $a = -0,1$ найдем значения для каждого выражения:

Для выражения $9a^2$:

$9a^2 = 9 \cdot (-0,1)^2 = 9 \cdot 0,01 = 0,09$

Для выражения $(9a)^2$:

$(9a)^2 = (9 \cdot (-0,1))^2 = (-0,9)^2 = 0,81$

Для выражения $-9a^2$:

$-9a^2 = -9 \cdot (-0,1)^2 = -9 \cdot 0,01 = -0,09$

Для выражения $(-9a)^2$:

$(-9a)^2 = (-9 \cdot (-0,1))^2 = (0,9)^2 = 0,81$

Ответ: $0,09$; $0,81$; $-0,09$; $0,81$.