Страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.24 1) Найдите значение выражения при $m = 2, n = -\frac{2}{3}$:

а) $\frac{m - n}{m}$; б) $\frac{m + n}{n}$; в) $\frac{m}{m + n}$; г) $\frac{n}{m - n}$.

2) Назовите несколько пар значений $m$ и $n$, при которых не имеет смысла выражение: $\frac{n}{m - n}$; $\frac{m}{m + n}$.

1) Найдем значения выражений при $m=2$ и $n=-\frac{2}{3}$.

а) Подставим значения $m$ и $n$ в выражение $\frac{m-n}{m}$:

$\frac{m-n}{m} = \frac{2 - (-\frac{2}{3})}{2} = \frac{2 + \frac{2}{3}}{2} = \frac{\frac{6}{3} + \frac{2}{3}}{2} = \frac{\frac{8}{3}}{2} = \frac{8}{3 \cdot 2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $1\frac{1}{3}$.

б) Подставим значения $m$ и $n$ в выражение $\frac{m+n}{n}$:

$\frac{m+n}{n} = \frac{2 + (-\frac{2}{3})}{-\frac{2}{3}} = \frac{2 - \frac{2}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{6}{3} - \frac{2}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = -\frac{12}{6} = -2$.

Ответ: $-2$.

в) Подставим значения $m$ и $n$ в выражение $\frac{m}{m+n}$:

$\frac{m}{m+n} = \frac{2}{2 + (-\frac{2}{3})} = \frac{2}{2 - \frac{2}{3}} = \frac{2}{\frac{6}{3} - \frac{2}{3}} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.

г) Подставим значения $m$ и $n$ в выражение $\frac{n}{m-n}$:

$\frac{n}{m-n} = \frac{-\frac{2}{3}}{2 - (-\frac{2}{3})} = \frac{-\frac{2}{3}}{2 + \frac{2}{3}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{6}{3} + \frac{2}{3}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{8}{3}} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8} = -\frac{6}{24} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

2) Дробное выражение не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю.

Для выражения $\frac{n}{m-n}$ это происходит, когда $m-n=0$, то есть при $m=n$. Например, если $m=1, n=1$ или $m=-5, n=-5$.

Для выражения $\frac{m}{m+n}$ это происходит, когда $m+n=0$, то есть при $m=-n$. Например, если $m=3, n=-3$ или $m=-10, n=10$.

Ответ: Для выражения $\frac{n}{m-n}$ несколько пар значений, при которых оно не имеет смысла: $m=1, n=1$; $m=5, n=5$. Для выражения $\frac{m}{m+n}$ несколько пар значений: $m=1, n=-1$; $m=-3, n=3$.

1.25 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$ (рис. 1.1). Какое из двух утверждений верно?

1) $a+b>0$ или $a+b<0$

2) $a-b>0$ или $a-b<0$

3) $ab>0$ или $ab<0$

4) $\frac{b}{a}>1$ или $\frac{b}{a}<1$

Рис. 1.1

Для ответа на вопрос проанализируем информацию, представленную на координатной прямой (рис. 1.1).

• Число $a$ расположено левее нуля, следовательно, $a$ — отрицательное число: $a < 0$.
• Число $b$ расположено правее нуля, следовательно, $b$ — положительное число: $b > 0$.
• Расстояние от точки $b$ до нуля заметно больше, чем расстояние от точки $a$ до нуля. Расстояние от точки до нуля на координатной прямой — это модуль этого числа. Таким образом, можно сделать вывод, что $|b| > |a|$.

Теперь рассмотрим каждое из предложенных утверждений.

1) $a + b > 0$ или $a + b < 0$
Необходимо определить знак суммы $a + b$. Мы складываем отрицательное число $a$ и положительное число $b$. Знак результата зависит от того, у какого из чисел больше модуль. Поскольку из рисунка следует, что $|b| > |a|$, сумма будет иметь знак числа $b$, то есть будет положительной. Следовательно, неравенство $a + b > 0$ является верным.
Ответ: $a + b > 0$.

2) $a - b > 0$ или $a - b < 0$
Необходимо определить знак разности $a - b$. Мы вычитаем положительное число $b$ из отрицательного числа $a$. Это эквивалентно сложению двух отрицательных чисел: $a + (-b)$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. Следовательно, неравенство $a - b < 0$ является верным.
Ответ: $a - b < 0$.

3) $ab > 0$ или $ab < 0$
Необходимо определить знак произведения $ab$. Мы умножаем отрицательное число $a$ на положительное число $b$. Произведение чисел с разными знаками всегда отрицательно. Следовательно, неравенство $ab < 0$ является верным.
Ответ: $ab < 0$.

4) $\frac{b}{a} > 1$ или $\frac{b}{a} < 1$
Необходимо сравнить частное $\frac{b}{a}$ с единицей. Мы делим положительное число $b$ на отрицательное число $a$. Результат такого деления всегда является отрицательным числом. Любое отрицательное число меньше, чем 1. Следовательно, неравенство $\frac{b}{a} < 1$ является верным.
Ответ: $\frac{b}{a} < 1$.

Итоговый вывод:
Формулировка вопроса "Какое из двух утверждений верно?" является, по всей видимости, неточной и подразумевает выбор одного из четырех предложенных пунктов. Как показано выше, для каждого из четырех пунктов одно из неравенств является верным. Однако, чтобы выбрать единственный правильный ответ, следует обратить внимание на то, какая информация из условия используется для вывода.

Выводы для пунктов 2, 3 и 4 верны для любых $a < 0$ и $b > 0$ и не зависят от соотношения их модулей. В то же время, вывод для пункта 1 (что $a + b > 0$) напрямую зависит от того, что $|b| > |a|$ — это ключевая деталь, представленная на рисунке. Таким образом, только утверждение 1 использует всю полноту предоставленной графической информации. В подобных задачах правильным ответом обычно является тот, который требует использования всех данных условия. Поэтому наиболее полным и верным ответом на поставленный вопрос является утверждение 1.

1.26 Найдите значение выражения $ \frac{a (b-c)}{a-c} + \frac{b (c-a)}{b-a} + \frac{c (a-b)}{c-b} $ при:

а) $a = -3, b = 2, c = -0,5;$

б) $a = -0,5, b = 1, c = -2.$

Для нахождения значения выражения $\frac{a(b-c)}{a-c} + \frac{b(c-a)}{b-a} + \frac{c(a-b)}{c-b}$ необходимо подставить в него заданные значения переменных $a$, $b$ и $c$. Решим задачу по пунктам.

а) При $a = -3$, $b = 2$, $c = -0,5$.

Сначала вычислим значения разностей, необходимых для подстановки в формулу:

$b - c = 2 - (-0,5) = 2 + 0,5 = 2,5$

$c - a = -0,5 - (-3) = -0,5 + 3 = 2,5$

$a - b = -3 - 2 = -5$

$a - c = -3 - (-0,5) = -3 + 0,5 = -2,5$

$b - a = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$

$c - b = -0,5 - 2 = -2,5$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и вычислим значение каждого слагаемого:

Первое слагаемое: $\frac{a(b-c)}{a-c} = \frac{-3 \cdot 2,5}{-2,5} = -3 \cdot (-1) = 3$.

Второе слагаемое: $\frac{b(c-a)}{b-a} = \frac{2 \cdot 2,5}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

Третье слагаемое: $\frac{c(a-b)}{c-b} = \frac{-0,5 \cdot (-5)}{-2,5} = \frac{2,5}{-2,5} = -1$.

Наконец, сложим полученные значения:

$3 + 1 + (-1) = 3$.

Ответ: 3

б) При $a = -0,5$, $b = 1$, $c = -2$.

Аналогично, сначала вычислим значения разностей:

$b - c = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$

$c - a = -2 - (-0,5) = -2 + 0,5 = -1,5$

$a - b = -0,5 - 1 = -1,5$

$a - c = -0,5 - (-2) = -0,5 + 2 = 1,5$

$b - a = 1 - (-0,5) = 1 + 0,5 = 1,5$

$c - b = -2 - 1 = -3$

Подставим эти значения в выражение и вычислим каждое слагаемое:

Первое слагаемое: $\frac{a(b-c)}{a-c} = \frac{-0,5 \cdot 3}{1,5} = \frac{-1,5}{1,5} = -1$.

Второе слагаемое: $\frac{b(c-a)}{b-a} = \frac{1 \cdot (-1,5)}{1,5} = 1 \cdot (-1) = -1$.

Третье слагаемое: $\frac{c(a-b)}{c-b} = \frac{-2 \cdot (-1,5)}{-3} = \frac{3}{-3} = -1$.

Сложим полученные значения:

$(-1) + (-1) + (-1) = -3$.

Ответ: -3

1.27 Убедитесь, что при данных значениях $x, y, z$ значение выражения $ \frac{x-y}{z-y} + \frac{x-z}{y-z} $ равно 1:

a) $x = 12, y = 4, z = -5;$

б) $x = -2,5, y = 2,5, z = 3;$

в) $x = 10,5, y = 0,5, z = -6,5.$

Для решения задачи можно сначала упростить данное выражение в общем виде, а затем подставить конкретные значения. Либо можно сразу подставлять значения в каждом пункте. Покажем оба подхода. Сначала упростим выражение.

Заметим, что знаменатели дробей $z-y$ и $y-z$ являются противоположными числами, так как $y-z = -(z-y)$. Это позволяет привести дроби к общему знаменателю.

$\frac{x-y}{z-y} + \frac{x-z}{y-z} = \frac{x-y}{z-y} + \frac{x-z}{-(z-y)} = \frac{x-y}{z-y} - \frac{x-z}{z-y}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(x-y) - (x-z)}{z-y} = \frac{x-y-x+z}{z-y} = \frac{z-y}{z-y} = 1$

Таким образом, значение выражения равно 1 при любых значениях $x, y, z$, для которых знаменатель не обращается в ноль, то есть при $y \neq z$. Во всех предложенных вариантах это условие выполняется. Теперь убедимся в этом, подставив числовые значения.

а) При $x = 12$, $y = 4$, $z = -5$

Подставляем значения в исходное выражение:

$\frac{12-4}{-5-4} + \frac{12-(-5)}{4-(-5)} = \frac{8}{-9} + \frac{12+5}{4+5} = -\frac{8}{9} + \frac{17}{9} = \frac{-8+17}{9} = \frac{9}{9} = 1$

Значение выражения действительно равно 1.

Ответ: 1

б) При $x = -2,5$, $y = 2,5$, $z = 3$

Подставляем значения в исходное выражение:

$\frac{-2,5-2,5}{3-2,5} + \frac{-2,5-3}{2,5-3} = \frac{-5}{0,5} + \frac{-5,5}{-0,5} = -10 - (-11) = -10 + 11 = 1$

Значение выражения действительно равно 1.

Ответ: 1

в) При $x = 10,5$, $y = 0,5$, $z = -6,5$

Подставляем значения в исходное выражение:

$\frac{10,5-0,5}{-6,5-0,5} + \frac{10,5-(-6,5)}{0,5-(-6,5)} = \frac{10}{-7} + \frac{10,5+6,5}{0,5+6,5} = -\frac{10}{7} + \frac{17}{7} = \frac{-10+17}{7} = \frac{7}{7} = 1$

Значение выражения действительно равно 1.

Ответ: 1

1.28 На координатной прямой отмечены числа a, b и c (рис. 1.2).

Какое из утверждений неверно?

1) $a+c > 0$

2) $a-b < 0$

3) $a+b > 0$

4) $abc < 0$

Рис. 1.2

Проанализируем данные с координатной прямой, чтобы определить знаки чисел и их соотношения по модулю.

• Число a находится слева от нуля, значит, оно отрицательное: $a < 0$.
• Числа b и c находятся справа от нуля, значит, они положительные: $b > 0$ и $c > 0$.
• По расстоянию от нуля можно судить о модулях чисел. Расстояние от a до 0 (модуль a) визуально больше, чем расстояние от b до 0. Таким образом, $|a| > b$.
• Расстояние от c до 0 визуально больше, чем расстояние от a до 0. Таким образом, $c > |a|$.

Теперь поочередно проверим истинность каждого утверждения.

1) $a + c > 0$

Складываются отрицательное число a и положительное число c. Знак суммы определяется числом с большим модулем. Как мы установили из анализа прямой, $c > |a|$. Это означает, что положительное число c "перевешивает" отрицательное число a, и их сумма будет положительной. Следовательно, утверждение $a + c > 0$ является верным.

Ответ: верно.

2) $a - b < 0$

Данное неравенство эквивалентно неравенству $a < b$. На координатной прямой любая точка, расположенная левее другой, соответствует меньшему числу. Так как a находится левее b, то $a < b$ — верное утверждение. Также можно рассуждать, что от отрицательного числа a отнимается положительное число b, что делает результат еще более отрицательным. Следовательно, утверждение $a - b < 0$ является верным.

Ответ: верно.

3) $a + b > 0$

Складываются отрицательное число a и положительное число b. Знак суммы определяется числом с большим модулем. Из анализа прямой мы видим, что $|a| > b$. Это означает, что модуль отрицательного числа a больше, чем положительное число b. Следовательно, их сумма будет отрицательной: $a + b < 0$. Утверждение $a + b > 0$ является неверным.

Ответ: неверно.

4) $abc < 0$

Рассматривается произведение трех чисел: a, b и c. Определим знак произведения, зная знаки множителей: $a < 0$ (минус), $b > 0$ (плюс), $c > 0$ (плюс). Произведение одного отрицательного и двух положительных чисел дает отрицательный результат: $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$. Следовательно, $abc < 0$. Утверждение является верным.

Ответ: верно.

В задаче требуется найти неверное утверждение. На основе проведенного анализа, неверным является утверждение под номером 3.

1.29 На координатной прямой отмечены числа $a$, $b$ и $c$ (рис. 1.3).

Какое из двух утверждений верно?

1) $ab < b$ или $ab > b$

2) $abc < a$ или $abc > a$

3) $-ac < c$ или $-ac > c$

Рис. 1.3

Для решения задачи проанализируем расположение чисел $a$, $b$ и $c$ на координатной прямой, изображенной на рисунке.

• Число $c$ находится левее 0, следовательно, $c$ — отрицательное число: $c < 0$.
• Число $a$ находится между 0 и 1, следовательно, $a$ — положительное число, меньшее 1: $0 < a < 1$.
• Число $b$ находится правее 1, следовательно, $b$ — положительное число, большее 1: $b > 1$.

Исходя из этих данных, определим, какое из утверждений в каждой паре является верным.

1) $ab < b$ или $ab > b$
Чтобы сравнить $ab$ и $b$, рассмотрим их разность или частное. Удобнее разделить обе части предполагаемого неравенства на $b$. Так как из графика следует, что $b > 1$, то $b$ является положительным числом. При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется.
$ab \ ? \ b \implies a \ ? \ 1$
Из анализа координатной прямой мы знаем, что $a$ находится между 0 и 1, то есть $a < 1$.
Следовательно, верным является неравенство со знаком «меньше».
Ответ: $ab < b$

2) $abc < a$ или $abc > a$
Чтобы сравнить $abc$ и $a$, разделим обе части на $a$. Так как $0 < a < 1$, то $a$ — положительное число, и при делении на него знак неравенства не изменится.
$abc \ ? \ a \implies bc \ ? \ 1$
Теперь определим знак и величину произведения $bc$. Мы знаем, что $b > 1$ (положительное число) и $c < 0$ (отрицательное число). Произведение положительного и отрицательного чисел всегда отрицательно, поэтому $bc < 0$.
Любое отрицательное число меньше 1, значит, $bc < 1$.
Следовательно, верным является неравенство со знаком «меньше».
Ответ: $abc < a$

3) $-ac < c$ или $-ac > c$
Чтобы сравнить $-ac$ и $c$, разделим обе части на $c$. Так как $c < 0$, то $c$ является отрицательным числом. При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
$-ac \ ? \ c \implies -a \ ?? \ 1$ (где знак $??$ противоположен исходному знаку $?$)
Теперь сравним $-a$ и $1$. Мы знаем, что $0 < a < 1$. Умножим все части этого двойного неравенства на $-1$, меняя знаки неравенства на противоположные: $0 \cdot (-1) > a \cdot (-1) > 1 \cdot (-1)$, что дает $0 > -a > -1$, или, в привычном виде, $-1 < -a < 0$.
Так как $-a$ — это число между -1 и 0, оно очевидно меньше 1. То есть, $-a < 1$.
Поскольку это неравенство получилось после деления на отрицательное число $c$ и обязательной смены знака, то в исходном неравенстве должен был стоять знак «больше» ($>$).
Проверка: если $-ac > c$ и $c < 0$, то после деления на $c$ получим $-a < 1$. Это верно.
Ответ: $-ac > c$