Номер 1.27, страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.27 Убедитесь, что при данных значениях $x, y, z$ значение выражения $ \frac{x-y}{z-y} + \frac{x-z}{y-z} $ равно 1:

a) $x = 12, y = 4, z = -5;$

б) $x = -2,5, y = 2,5, z = 3;$

в) $x = 10,5, y = 0,5, z = -6,5.$

Для решения задачи можно сначала упростить данное выражение в общем виде, а затем подставить конкретные значения. Либо можно сразу подставлять значения в каждом пункте. Покажем оба подхода. Сначала упростим выражение.

Заметим, что знаменатели дробей $z-y$ и $y-z$ являются противоположными числами, так как $y-z = -(z-y)$. Это позволяет привести дроби к общему знаменателю.

$\frac{x-y}{z-y} + \frac{x-z}{y-z} = \frac{x-y}{z-y} + \frac{x-z}{-(z-y)} = \frac{x-y}{z-y} - \frac{x-z}{z-y}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(x-y) - (x-z)}{z-y} = \frac{x-y-x+z}{z-y} = \frac{z-y}{z-y} = 1$

Таким образом, значение выражения равно 1 при любых значениях $x, y, z$, для которых знаменатель не обращается в ноль, то есть при $y \neq z$. Во всех предложенных вариантах это условие выполняется. Теперь убедимся в этом, подставив числовые значения.

а) При $x = 12$, $y = 4$, $z = -5$

Подставляем значения в исходное выражение:

$\frac{12-4}{-5-4} + \frac{12-(-5)}{4-(-5)} = \frac{8}{-9} + \frac{12+5}{4+5} = -\frac{8}{9} + \frac{17}{9} = \frac{-8+17}{9} = \frac{9}{9} = 1$

Значение выражения действительно равно 1.

Ответ: 1

б) При $x = -2,5$, $y = 2,5$, $z = 3$

Подставляем значения в исходное выражение:

$\frac{-2,5-2,5}{3-2,5} + \frac{-2,5-3}{2,5-3} = \frac{-5}{0,5} + \frac{-5,5}{-0,5} = -10 - (-11) = -10 + 11 = 1$

Значение выражения действительно равно 1.

Ответ: 1

в) При $x = 10,5$, $y = 0,5$, $z = -6,5$

Подставляем значения в исходное выражение:

$\frac{10,5-0,5}{-6,5-0,5} + \frac{10,5-(-6,5)}{0,5-(-6,5)} = \frac{10}{-7} + \frac{10,5+6,5}{0,5+6,5} = -\frac{10}{7} + \frac{17}{7} = \frac{-10+17}{7} = \frac{7}{7} = 1$

Значение выражения действительно равно 1.

Ответ: 1