Номер 1.29, страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.2. Вычисления с рациональными числами. Глава 1. Дроби и проценты - номер 1.29, страница 13.

Условие.

1.29 На координатной прямой отмечены числа $a$, $b$ и $c$ (рис. 1.3).

Какое из двух утверждений верно?

1) $ab < b$ или $ab > b$

2) $abc < a$ или $abc > a$

3) $-ac < c$ или $-ac > c$

Рис. 1.3

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи проанализируем расположение чисел $a$, $b$ и $c$ на координатной прямой, изображенной на рисунке.

• Число $c$ находится левее 0, следовательно, $c$ — отрицательное число: $c < 0$.
• Число $a$ находится между 0 и 1, следовательно, $a$ — положительное число, меньшее 1: $0 < a < 1$.
• Число $b$ находится правее 1, следовательно, $b$ — положительное число, большее 1: $b > 1$.

Исходя из этих данных, определим, какое из утверждений в каждой паре является верным.

1) $ab < b$ или $ab > b$
Чтобы сравнить $ab$ и $b$, рассмотрим их разность или частное. Удобнее разделить обе части предполагаемого неравенства на $b$. Так как из графика следует, что $b > 1$, то $b$ является положительным числом. При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется.
$ab \ ? \ b \implies a \ ? \ 1$
Из анализа координатной прямой мы знаем, что $a$ находится между 0 и 1, то есть $a < 1$.
Следовательно, верным является неравенство со знаком «меньше».
Ответ: $ab < b$

2) $abc < a$ или $abc > a$
Чтобы сравнить $abc$ и $a$, разделим обе части на $a$. Так как $0 < a < 1$, то $a$ — положительное число, и при делении на него знак неравенства не изменится.
$abc \ ? \ a \implies bc \ ? \ 1$
Теперь определим знак и величину произведения $bc$. Мы знаем, что $b > 1$ (положительное число) и $c < 0$ (отрицательное число). Произведение положительного и отрицательного чисел всегда отрицательно, поэтому $bc < 0$.
Любое отрицательное число меньше 1, значит, $bc < 1$.
Следовательно, верным является неравенство со знаком «меньше».
Ответ: $abc < a$

3) $-ac < c$ или $-ac > c$
Чтобы сравнить $-ac$ и $c$, разделим обе части на $c$. Так как $c < 0$, то $c$ является отрицательным числом. При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
$-ac \ ? \ c \implies -a \ ?? \ 1$ (где знак $??$ противоположен исходному знаку $?$)
Теперь сравним $-a$ и $1$. Мы знаем, что $0 < a < 1$. Умножим все части этого двойного неравенства на $-1$, меняя знаки неравенства на противоположные: $0 \cdot (-1) > a \cdot (-1) > 1 \cdot (-1)$, что дает $0 > -a > -1$, или, в привычном виде, $-1 < -a < 0$.
Так как $-a$ — это число между -1 и 0, оно очевидно меньше 1. То есть, $-a < 1$.
Поскольку это неравенство получилось после деления на отрицательное число $c$ и обязательной смены знака, то в исходном неравенстве должен был стоять знак «больше» ($>$).
Проверка: если $-ac > c$ и $c < 0$, то после деления на $c$ получим $-a < 1$. Это верно.
Ответ: $-ac > c$