Страница 7 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Расскажите, как с помощью перекрёстного правила сравнивают обыкновенные дроби (фрагмент 1). Проиллюстрируйте этот приём на примере сравнения дробей $ \frac{11}{25} $ и $ \frac{19}{45} $.

Расскажите, как с помощью перекрёстного правила сравнивают обыкновенные дроби

Перекрёстное правило — это метод сравнения двух обыкновенных дробей, который позволяет избежать прямого приведения их к общему знаменателю. Чтобы сравнить две дроби вида $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, необходимо выполнить следующие действия:
1. Умножить числитель первой дроби на знаменатель второй ($a \times d$).
2. Умножить числитель второй дроби на знаменатель первой ($c \times b$).
3. Сравнить полученные произведения.

Результат сравнения дробей будет таким же, как и результат сравнения этих произведений:

• Если $a \times d > c \times b$, то $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.
• Если $a \times d < c \times b$, то $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.
• Если $a \times d = c \times b$, то $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Этот метод основан на том, что при приведении дробей к общему знаменателю $b \times d$, мы получаем дроби $\frac{a \times d}{b \times d}$ и $\frac{c \times b}{b \times d}$. Так как знаменатели у них одинаковы, для сравнения достаточно сравнить их числители: $a \times d$ и $c \times b$.

Проиллюстрируйте этот приём на примере сравнения дробей $\frac{11}{25}$ и $\frac{19}{45}$

Чтобы сравнить дроби $\frac{11}{25}$ и $\frac{19}{45}$, применим перекрёстное правило.
1. Умножим числитель первой дроби (11) на знаменатель второй (45):
$11 \times 45 = 495$

2. Умножим числитель второй дроби (19) на знаменатель первой (25):
$19 \times 25 = 475$

3. Теперь сравним полученные произведения: $495$ и $475$.
Поскольку $495 > 475$, это означает, что первая дробь больше второй.
Следовательно, $\frac{11}{25} > \frac{19}{45}$.

Ответ: $\frac{11}{25} > \frac{19}{45}$.

С помощью перекрёстного правила докажите, что дроби $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{52}{91} $ равны.

Каким ещё способом можно доказать равенство этих дробей?

С помощью перекрёстного правила докажите, что дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{52}{91}$ равны.

Перекрёстное правило, также известное как основное свойство пропорции, гласит, что две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ равны тогда и только тогда, когда произведение числителя первой дроби на знаменатель второй равно произведению знаменателя первой дроби на числитель второй. Математически это записывается так: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$.

Применим это правило для дробей $\frac{4}{7}$ и $\frac{52}{91}$.

Вычислим произведение числителя первой дроби (4) и знаменателя второй (91):
$4 \cdot 91 = 364$

Вычислим произведение знаменателя первой дроби (7) и числителя второй (52):
$7 \cdot 52 = 364$

Поскольку результаты произведений равны ($364 = 364$), это доказывает, что дроби равны.

Ответ: Согласно перекрёстному правилу, дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{52}{91}$ равны, так как произведение $4 \cdot 91$ равно произведению $7 \cdot 52$ ($364 = 364$).

Каким ещё способом можно доказать равенство этих дробей?

Равенство данных дробей можно доказать как минимум двумя другими способами: сокращением большей дроби или приведением дробей к общему знаменателю.

Способ 1: Сокращение дроби.
Можно попытаться упростить дробь $\frac{52}{91}$ путем ее сокращения. Для этого нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя 52 и знаменателя 91.
$52 = 4 \cdot 13$
$91 = 7 \cdot 13$
Общим делителем является 13. Сократим дробь, разделив ее числитель и знаменатель на 13:
$\frac{52}{91} = \frac{52 \div 13}{91 \div 13} = \frac{4}{7}$
В результате сокращения дроби $\frac{52}{91}$ мы получили дробь $\frac{4}{7}$, что доказывает их равенство.

Способ 2: Приведение к общему знаменателю.
Можно привести дробь $\frac{4}{7}$ к знаменателю 91. Сначала проверим, является ли 91 кратным 7.
$91 \div 7 = 13$
Так как 91 делится на 7, мы можем домножить числитель и знаменатель дроби $\frac{4}{7}$ на 13, чтобы получить дробь со знаменателем 91:
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 13}{7 \cdot 13} = \frac{52}{91}$
В результате мы преобразовали дробь $\frac{4}{7}$ в дробь $\frac{52}{91}$, что доказывает их равенство.

Ответ: Равенство дробей можно доказать, либо сократив дробь $\frac{52}{91}$ на 13 до вида $\frac{4}{7}$, либо приведя дробь $\frac{4}{7}$ к знаменателю 91 путем умножения числителя и знаменателя на 13, что даст $\frac{52}{91}$.

Расскажите, как сравнивают обыкновенную и десятичную дроби (пример 2).

Сравните разными способами числа 0,35 и $\frac{3}{20}$.

Расскажите, как сравнивают обыкновенную и десятичную дроби (пример 2)

Чтобы сравнить обыкновенную и десятичную дроби, их необходимо привести к одному виду: либо обе дроби представить в виде десятичных, либо обе — в виде обыкновенных. Для этого используют два основных способа.

Первый способ — это преобразование обыкновенной дроби в десятичную. Для этого нужно разделить числитель обыкновенной дроби на её знаменатель. После этого полученную десятичную дробь сравнивают с исходной. Сравнение десятичных дробей производят поразрядно слева направо: сначала сравнивают целые части, а если они равны, то переходят к сравнению разряда десятых, затем сотых и так далее. Большей будет та дробь, у которой соответствующий разряд окажется больше.

Второй способ — это преобразование десятичной дроби в обыкновенную. Десятичную дробь записывают в виде обыкновенной со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д., в зависимости от количества знаков после запятой (например, $0,5 = \frac{5}{10}$). После того как обе дроби представлены в обыкновенном виде, их приводят к общему знаменателю и сравнивают числители. Та дробь, у которой числитель больше, является большей.

Сравните разными способами числа 0,35 и $\frac{3}{20}$

Для сравнения чисел $0,35$ и $\frac{3}{20}$ воспользуемся двумя способами.

Способ 1: Преобразование обыкновенной дроби в десятичную.

Переведём обыкновенную дробь $\frac{3}{20}$ в десятичную. Для этого приведём её к знаменателю 100, умножив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100} = 0,15$

Теперь сравним две десятичные дроби: $0,35$ и $0,15$. Сравниваем их поразрядно. Целые части у них равны (0). В разряде десятых у числа $0,35$ стоит цифра 3, а у числа $0,15$ — цифра 1. Так как $3 > 1$, то $0,35 > 0,15$. Следовательно, $0,35 > \frac{3}{20}$.

Способ 2: Преобразование десятичной дроби в обыкновенную.

Переведём десятичную дробь $0,35$ в обыкновенную. В числе $0,35$ две цифры после запятой, поэтому знаменатель будет 100:

$0,35 = \frac{35}{100}$

Теперь сравним обыкновенные дроби $\frac{35}{100}$ и $\frac{3}{20}$. Приведём их к общему знаменателю 100. Для дроби $\frac{3}{20}$ умножим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100}$

Сравниваем дроби $\frac{35}{100}$ и $\frac{15}{100}$. Поскольку у них одинаковые знаменатели, сравниваем числители. Так как $35 > 15$, то $\frac{35}{100} > \frac{15}{100}$. Следовательно, $0,35 > \frac{3}{20}$.

Этот же результат можно получить, если сначала сократить дробь $\frac{35}{100}$ на 5: $\frac{35 \div 5}{100 \div 5} = \frac{7}{20}$. Тогда мы сравниваем дроби $\frac{7}{20}$ и $\frac{3}{20}$. Так как у них одинаковые знаменатели, а числитель $7 > 3$, то $\frac{7}{20} > \frac{3}{20}$.

Ответ: $0,35 > \frac{3}{20}$.

1) Разберите пример 3. В чём основная идея предложенного решения? Какое преимущество дало использование калькулятора?

2) Сравните числа $ \frac{8}{35} $ и $ \frac{11}{49} $, заменив их десятичными приближениями.

3) Расположите в порядке убывания числа: $ \frac{7}{15} $, $ \frac{20}{43} $, 0,466.

1) Для полного анализа примера 3 необходимо его условие, которое в данном вопросе отсутствует. Однако можно сделать предположение об основной идее и преимуществах использования калькулятора, исходя из контекста остальных заданий.

Основная идея решения, скорее всего, заключается в переводе обыкновенных дробей в десятичные. Этот метод позволяет легко сравнивать числа, которые сложно привести к общему знаменателю (например, если знаменатели большие или взаимно простые). Сравнение десятичных дробей производится поразрядно, что является интуитивно понятным и простым процессом.

Преимущество использования калькулятора состоит в существенном упрощении и ускорении вычислений. Преобразование дроби в десятичную путем деления числителя на знаменатель "в столбик" может быть долгим и трудоемким, а также сопряжено с риском допустить ошибку. Калькулятор позволяет получить точное или достаточно точное для сравнения десятичное приближение мгновенно, что экономит время и повышает надёжность результата.

Ответ: Без условия примера 3 точный ответ дать невозможно. Предположительно, основная идея — перевод дробей в десятичные для упрощения их сравнения. Преимущество использования калькулятора — скорость и точность вычислений, что позволяет избежать громоздких расчетов вручную.

2) Чтобы сравнить числа $ \frac{8}{35} $ и $ \frac{11}{49} $, заменим каждое из них десятичным приближением. Для этого разделим числитель на знаменатель в каждой дроби.

1. Найдём десятичное приближение для дроби $ \frac{8}{35} $:
$ \frac{8}{35} = 8 \div 35 \approx 0,22857... $

2. Найдём десятичное приближение для дроби $ \frac{11}{49} $:
$ \frac{11}{49} = 11 \div 49 \approx 0,22448... $

3. Теперь сравним полученные десятичные дроби: $ 0,22857... $ и $ 0,22448... $.
Сравнение начинаем с целой части, она равна нулю у обоих чисел. Далее сравниваем цифры после запятой поразрядно, слева направо.

• Разряд десятых: 2 = 2.
• Разряд сотых: 2 = 2.
• Разряд тысячных: 8 > 4.

Поскольку в разряде тысячных цифра у первого числа больше, то и само первое число больше.

Следовательно, $ 0,22857... > 0,22448... $, а значит и $ \frac{8}{35} > \frac{11}{49} $.

Ответ: $ \frac{8}{35} > \frac{11}{49} $.

3) Чтобы расположить числа $ \frac{7}{15} $, $ \frac{20}{43} $ и $ 0,466 $ в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему), необходимо привести их к единому виду. Удобнее всего представить все числа в виде десятичных дробей.

1. Переведём дробь $ \frac{7}{15} $ в десятичную форму:
$ \frac{7}{15} = 7 \div 15 = 0,4666... = 0,4(6) $

2. Переведём дробь $ \frac{20}{43} $ в десятичную форму:
$ \frac{20}{43} = 20 \div 43 \approx 0,46511... $

3. Третье число уже представлено в виде десятичной дроби: $ 0,466 $.

Теперь сравним полученные десятичные дроби: $ 0,4666... $, $ 0,46511... $ и $ 0,466 $.
Для удобства сравнения можно записать их с одинаковым количеством знаков после запятой, например, с четырьмя: $ 0,4666... $, $ 0,4651... $ и $ 0,4660 $.

- Наибольшим будет $ 0,4666... $, так как в разряде десятитысячных у него цифра 6, а у остальных — 1 и 0.
- Следующим по величине будет $ 0,4660 $ ($0,466$).
- Наименьшим будет $ 0,4651... $, так как в разряде тысячных у него цифра 5, а у остальных — 6.

Таким образом, порядок убывания следующий: $ 0,4666... > 0,466 > 0,46511... $.
Вернемся к исходным числам.

Ответ: $ \frac{7}{15} $; $ 0,466 $; $ \frac{20}{43} $.

1) Вспомните правило сравнения положительного и отрицательного чисел;

двух отрицательных чисел.

Правило сравнения положительного и отрицательного чисел

Основное правило сравнения чисел с разными знаками очень простое: любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Кроме того, любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число — меньше нуля.
Это правило легко понять, если представить числа на координатной прямой. Ноль служит точкой отсчета. Положительные числа находятся справа от нуля, а отрицательные — слева. Любое число на прямой больше любого числа, расположенного левее него. Так как все положительные числа находятся правее всех отрицательных, они всегда больше.

Например, сравним числа 1 и -1000.
Число 1 — положительное, а число -1000 — отрицательное. Следовательно, $1 > -1000$.
Аналогично, сравнивая -5 и 0, мы видим, что -5 находится левее нуля на координатной прямой, поэтому $-5 < 0$.

Ответ: Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

Правило сравнения двух отрицательных чисел

При сравнении двух отрицательных чисел используется их модуль (абсолютная величина). Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой; он всегда является неотрицательной величиной. Модуль числа $a$ обозначается как $|a|$.
Правило гласит: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
Другими словами, то отрицательное число, которое на координатной прямой находится ближе к нулю (расположено правее), является большим.

Рассмотрим на примере. Сравним числа -25 и -10.
1. Найдем модули этих чисел: $|-25| = 25$ и $|-10| = 10$.
2. Сравним их модули: $10 < 25$.
3. Так как модуль числа -10 меньше модуля числа -25, то, согласно правилу, число -10 больше, чем -25.
Запись неравенства: $-10 > -25$.

Ответ: Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

2) Сравните: $-3,3$ и $0,3$; $-\frac{1}{6}$ и $-\frac{1}{7}$.

-3,3 и 0,3. Для сравнения чисел -3,3 и 0,3 необходимо определить их знаки. Число -3,3 является отрицательным, так как оно меньше нуля, а число 0,3 — положительным, так как оно больше нуля. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. На числовой оси -3,3 находится левее 0,3, что также означает, что оно меньше. Таким образом, $-3,3 < 0,3$.
Ответ: $-3,3 < 0,3$.

$-\frac{1}{6}$ и $-\frac{1}{7}$. Для сравнения двух отрицательных чисел необходимо сравнить их модули (абсолютные величины). То число будет больше, модуль которого меньше. Найдем модули данных чисел: $|-\frac{1}{6}| = \frac{1}{6}$ и $|-\frac{1}{7}| = \frac{1}{7}$.
Теперь сравним дроби $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{7}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 7 это их произведение: $6 \times 7 = 42$.
$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 7}{6 \times 7} = \frac{7}{42}$
$\frac{1}{7} = \frac{1 \times 6}{7 \times 6} = \frac{6}{42}$
Сравниваем полученные дроби: так как числитель $7 > 6$, то и дробь $\frac{7}{42} > \frac{6}{42}$. Следовательно, $\frac{1}{6} > \frac{1}{7}$.
Так как модуль числа $-\frac{1}{6}$ больше модуля числа $-\frac{1}{7}$, то для самих отрицательных чисел соотношение будет обратным: $-\frac{1}{6} < -\frac{1}{7}$.
Ответ: $-\frac{1}{6} < -\frac{1}{7}$.