Страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7 Сравните две обыкновенные дроби:

а) $-\frac{5}{19}$ и $-\frac{2}{9}$;

б) $-\frac{5}{12}$ и $-\frac{11}{19}$;

в) $-0,6$ и $-\frac{5}{6}$;

г) $-\frac{1}{4}$ и $-0,2$.

а) Чтобы сравнить две отрицательные дроби $-\frac{5}{19}$ и $-\frac{2}{9}$, сначала сравним их модули (положительные значения): $\frac{5}{19}$ и $\frac{2}{9}$.

Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 19 и 9 равен их произведению, так как они взаимно простые: $19 \times 9 = 171$.

Приведем первую дробь к новому знаменателю: $\frac{5}{19} = \frac{5 \times 9}{19 \times 9} = \frac{45}{171}$.

Приведем вторую дробь к новому знаменателю: $\frac{2}{9} = \frac{2 \times 19}{9 \times 19} = \frac{38}{171}$.

Теперь сравним полученные дроби: так как $45 > 38$, то $\frac{45}{171} > \frac{38}{171}$, а значит, $\frac{5}{19} > \frac{2}{9}$.

При сравнении отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше. Так как $\frac{5}{19} > \frac{2}{9}$, то $-\frac{5}{19} < -\frac{2}{9}$.

Ответ: $-\frac{5}{19} < -\frac{2}{9}$.

б) Сравним дроби $-\frac{5}{12}$ и $-\frac{11}{19}$. Для этого сначала сравним их положительные аналоги $\frac{5}{12}$ и $\frac{11}{19}$.

Воспользуемся методом перекрестного умножения. Сравним произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и числителя второй дроби на знаменатель первой:

$5 \times 19 = 95$

$11 \times 12 = 132$

Поскольку $95 < 132$, то и $\frac{5}{12} < \frac{11}{19}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $\frac{5}{12} < \frac{11}{19}$, то $-\frac{5}{12} > -\frac{11}{19}$.

Ответ: $-\frac{5}{12} > -\frac{11}{19}$.

в) Чтобы сравнить числа $-0,6$ и $-\frac{5}{6}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной.

$-0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.

Теперь сравним две дроби: $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{5}{6}$. Сначала сравним их модули: $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{6}$.

Приведем их к общему знаменателю $5 \times 6 = 30$.

$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30}$

$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 5}{6 \times 5} = \frac{25}{30}$

Так как $18 < 25$, то $\frac{18}{30} < \frac{25}{30}$, следовательно $\frac{3}{5} < \frac{5}{6}$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, то знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{3}{5} > -\frac{5}{6}$.

Таким образом, $-0,6 > -\frac{5}{6}$.

Ответ: $-0,6 > -\frac{5}{6}$.

г) Чтобы сравнить числа $-\frac{1}{4}$ и $-0,2$, удобнее всего представить обыкновенную дробь в виде десятичной.

$-\frac{1}{4} = -1 \div 4 = -0,25$.

Теперь сравним два десятичных числа: $-0,25$ и $-0,2$.

Из двух отрицательных чисел больше то, которое на числовой оси расположено правее (ближе к нулю). $-0,2$ находится правее, чем $-0,25$.

Следовательно, $-0,25 < -0,2$.

Значит, $-\frac{1}{4} < -0,2$.

Ответ: $-\frac{1}{4} < -0,2$.

1.8 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ По итогам работы за неделю отдел контроля телевизионного завода составил таблицу проверки качества телевизоров, выпущенных с конвейера.

В какой день недели завод работал лучше всего, в какой — хуже всего с точки зрения качества выпущенных телевизоров? (Воспользуйтесь калькулятором.)

Для ответа на вопрос необходимо определить, в какой день недели качество выпущенной продукции было самым высоким, а в какой — самым низким. Показателем качества будет служить доля (или процент) годных телевизоров от общего количества выпущенных за день. Чем выше эта доля, тем лучше работал завод.

Расчет производится по формуле:
$Доля \ качественной \ продукции = \frac{Количество \ годных \ телевизоров}{Общее \ количество \ выпущенных \ телевизоров}$

Вычислим этот показатель для каждого дня недели, используя данные из таблицы.

Понедельник
Доля годных телевизоров: $ \frac{228}{235} \approx 0.9702 $, что составляет примерно $97,02\%$.

Вторник
Доля годных телевизоров: $ \frac{239}{245} \approx 0.9755 $, что составляет примерно $97,55\%$.

Среда
Доля годных телевизоров: $ \frac{252}{255} \approx 0.9882 $, что составляет примерно $98,82\%$.

Четверг
Доля годных телевизоров: $ \frac{250}{256} \approx 0.9766 $, что составляет примерно $97,66\%$.

Пятница
Доля годных телевизоров: $ \frac{233}{240} \approx 0.9708 $, что составляет примерно $97,08\%$.

Суббота
Доля годных телевизоров: $ \frac{175}{182} \approx 0.9615 $, что составляет примерно $96,15\%$.

Сравнивая полученные результаты, видим, что самый высокий показатель качества ($98,82\%$) был достигнут в среду, а самый низкий ($96,15\%$) — в субботу.

Ответ: лучше всего завод работал в среду, а хуже всего — в субботу.

1.9 Составьте всевозможные дроби, не равные 1, числители и знаменатели которых — числа 11, 12, 13, и упорядочите их.

Для решения задачи выполним два действия: сначала составим все возможные дроби в соответствии с условием, а затем упорядочим их по возрастанию.

1. Составление дробей

Числители и знаменатели дробей должны быть выбраны из набора чисел {11, 12, 13}. По условию, дроби не должны быть равны 1, это означает, что числитель и знаменатель любой дроби должны быть разными.

Перечислим все возможные комбинации:

• Если числитель равен 11, знаменатель может быть 12 или 13. Дроби: $\frac{11}{12}$, $\frac{11}{13}$.
• Если числитель равен 12, знаменатель может быть 11 или 13. Дроби: $\frac{12}{11}$, $\frac{12}{13}$.
• Если числитель равен 13, знаменатель может быть 11 или 12. Дроби: $\frac{13}{11}$, $\frac{13}{12}$.

В результате мы получили 6 уникальных дробей: $\frac{11}{12}, \frac{11}{13}, \frac{12}{11}, \frac{12}{13}, \frac{13}{11}, \frac{13}{12}$.

2. Упорядочивание дробей

Для упорядочивания дробей по возрастанию разделим их на две группы: дроби, которые меньше 1 (правильные дроби, где числитель меньше знаменателя), и дроби, которые больше 1 (неправильные дроби, где числитель больше знаменателя).

Группа 1 (дроби < 1): $\frac{11}{12}, \frac{11}{13}, \frac{12}{13}$.
Сравним их:

• Сравним дроби с одинаковыми числителями $\frac{11}{13}$ и $\frac{11}{12}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше. Значит, $\frac{11}{13} < \frac{11}{12}$.
• Сравним дроби $\frac{11}{12}$ и $\frac{12}{13}$. Приведем их к общему знаменателю $12 \times 13 = 156$:
  $\frac{11}{12} = \frac{11 \times 13}{156} = \frac{143}{156}$
  $\frac{12}{13} = \frac{12 \times 12}{156} = \frac{144}{156}$
  Так как $143 < 144$, то $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$.

Порядок для первой группы: $\frac{11}{13} < \frac{11}{12} < \frac{12}{13}$.

Группа 2 (дроби > 1): $\frac{12}{11}, \frac{13}{11}, \frac{13}{12}$.
Сравним их:

• Сравним дроби с одинаковыми числителями $\frac{13}{12}$ и $\frac{13}{11}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше. Значит, $\frac{13}{12} < \frac{13}{11}$.
• Сравним дроби $\frac{12}{11}$ и $\frac{13}{12}$. Приведем их к общему знаменателю $11 \times 12 = 132$:
  $\frac{12}{11} = \frac{12 \times 12}{132} = \frac{144}{132}$
  $\frac{13}{12} = \frac{13 \times 11}{132} = \frac{143}{132}$
  Так как $143 < 144$, то $\frac{13}{12} < \frac{12}{11}$.

Порядок для второй группы: $\frac{13}{12} < \frac{12}{11} < \frac{13}{11}$.

Объединяя обе упорядоченные группы, получаем итоговый ряд, в котором сначала идут дроби меньше 1, а затем — дроби больше 1.

Ответ: $\frac{11}{13}, \frac{11}{12}, \frac{12}{13}, \frac{13}{12}, \frac{12}{11}, \frac{13}{11}$.

1.10 Сколько можно составить различных дробей, отличных от 1, у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37? Укажите наименьшее и наибольшее из этих чисел. Определите, сколько из составленных дробей меньше $\frac{1}{2}$.

Сколько можно составить различных дробей, отличных от 1, у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37?

Сначала выпишем все простые числа в диапазоне от 11 до 37 включительно. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя.

Простые числа в данном диапазоне: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

Всего таких чисел 8. Обозначим это множество как $P = \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$.

Дробь состоит из числителя и знаменателя, которые выбираются из множества $P$. По условию, дробь должна быть отличной от 1, что означает, что числитель не может быть равен знаменателю.

Числитель можно выбрать 8 способами (любое число из множества $P$).

Поскольку знаменатель не может быть равен числителю, для его выбора остается $8 - 1 = 7$ способов.

Общее количество различных дробей, которые можно составить, равно произведению числа способов выбора числителя и знаменателя: $8 \times 7 = 56$.

Это соответствует числу размещений из 8 элементов по 2: $A_8^2 = \frac{8!}{(8-2)!} = 8 \times 7 = 56$.

Ответ: 56.

Укажите наименьшее и наибольшее из этих чисел.

Множество простых чисел для составления дробей: $P = \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$.

Для получения наименьшей дроби $\frac{a}{b}$ необходимо, чтобы числитель $a$ был как можно меньше, а знаменатель $b$ — как можно больше.

Наименьшее число в множестве $P$ — это 11.

Наибольшее число в множестве $P$ — это 37.

Таким образом, наименьшая дробь равна $\frac{11}{37}$.

Для получения наибольшей дроби $\frac{a}{b}$ необходимо, чтобы числитель $a$ был как можно больше, а знаменатель $b$ — как можно меньше.

Наибольшее число в множестве $P$ — это 37.

Наименьшее число в множестве $P$ — это 11.

Таким образом, наибольшая дробь равна $\frac{37}{11}$.

Ответ: наименьшее число — $\frac{11}{37}$, наибольшее число — $\frac{37}{11}$.

Определите, сколько из составленных дробей меньше $\frac{1}{2}$.

Требуется найти количество дробей $\frac{a}{b}$ (где $a, b \in P$ и $a \neq b$), которые удовлетворяют неравенству:

$\frac{a}{b} < \frac{1}{2}$

Поскольку знаменатель $b$ всегда является положительным числом, можно умножить обе части неравенства на $2b$, сохранив знак неравенства:

$2a < b$

Теперь последовательно переберем все возможные значения для числителя $a$ из множества $P$ и для каждого из них посчитаем количество подходящих знаменателей $b$.

• Если $a = 11$, то $2a = 22$. Ищем $b$ из $P$ такие, что $b > 22$. Это числа: 23, 29, 31, 37. Всего 4 дроби.

• Если $a = 13$, то $2a = 26$. Ищем $b$ из $P$ такие, что $b > 26$. Это числа: 29, 31, 37. Всего 3 дроби.

• Если $a = 17$, то $2a = 34$. Ищем $b$ из $P$ такие, что $b > 34$. Это число: 37. Всего 1 дробь.

• Если $a = 19$, то $2a = 38$. Ищем $b$ из $P$ такие, что $b > 38$. В множестве $P$ нет чисел больше 37, поэтому подходящих знаменателей нет. Для всех последующих значений $a$ (23, 29, 31, 37) значение $2a$ будет еще больше, и подходящих знаменателей также не найдется.

Общее количество дробей, меньших $\frac{1}{2}$, равно сумме найденных количеств: $4 + 3 + 1 = 8$.

Ответ: 8.

1.11 1) Найдите значение дроби $\frac{1}{a}$ при $a = 15; 8; \frac{1}{4}; \frac{2}{3}; -8; -\frac{3}{5}$.

2) При каких значениях $a$ из приведённого перечня выполняется неравенство:

$0 < \frac{1}{a} < 1; \frac{1}{a} > 1; -1 < \frac{1}{a} < 0; \frac{1}{a} < -1?$

1) Для нахождения значения дроби $\frac{1}{a}$ подставим в нее поочередно каждое из заданных значений переменной $a$.

При $a = 15$: $\frac{1}{a} = \frac{1}{15}$.

При $a = 8$: $\frac{1}{a} = \frac{1}{8}$.

При $a = \frac{1}{4}$: $\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$.

При $a = \frac{2}{3}$: $\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$.

При $a = -8$: $\frac{1}{a} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.

При $a = -\frac{3}{5}$: $\frac{1}{a} = \frac{1}{-\frac{3}{5}} = -\frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{15}; \frac{1}{8}; 4; \frac{3}{2}; -\frac{1}{8}; -\frac{5}{3}$.

2) Проанализируем, какие из заданных значений $a$ удовлетворяют каждому из неравенств, используя результаты, полученные в пункте 1). Список вычисленных значений $\frac{1}{a}$ таков: $\frac{1}{15}, \frac{1}{8}, 4, \frac{3}{2}, -\frac{1}{8}, -\frac{5}{3}$.

Неравенство $0 < \frac{1}{a} < 1$:

Ищем значения $\frac{1}{a}$, которые больше 0, но меньше 1. Этому условию удовлетворяют дроби $\frac{1}{15}$ и $\frac{1}{8}$. Они соответствуют значениям $a = 15$ и $a = 8$.

Неравенство $\frac{1}{a} > 1$:

Ищем значения $\frac{1}{a}$, которые больше 1. Этому условию удовлетворяют $4$ и $\frac{3}{2}$ (так как $\frac{3}{2} = 1,5$). Они соответствуют значениям $a = \frac{1}{4}$ и $a = \frac{2}{3}$.

Неравенство $-1 < \frac{1}{a} < 0$:

Ищем значения $\frac{1}{a}$, которые меньше 0, но больше -1. Этому условию удовлетворяет дробь $-\frac{1}{8}$. Она соответствует значению $a = -8$.

Неравенство $\frac{1}{a} < -1$:

Ищем значения $\frac{1}{a}$, которые меньше -1. Этому условию удовлетворяет дробь $-\frac{5}{3}$ (так как $-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$). Она соответствует значению $a = -\frac{3}{5}$.

Ответ: неравенство $0 < \frac{1}{a} < 1$ выполняется при $a=15; 8$; неравенство $\frac{1}{a} > 1$ выполняется при $a=\frac{1}{4}; \frac{2}{3}$; неравенство $-1 < \frac{1}{a} < 0$ выполняется при $a=-8$; неравенство $\frac{1}{a} < -1$ выполняется при $a=-\frac{3}{5}$.

1.12 Среди чисел 8, 11 и 12 выберите такие значения $a$, при которых выполняется двойное неравенство $\frac{4}{5} < \frac{9}{a} < 1$.

Чтобы определить, какие из чисел 8, 11 и 12 удовлетворяют двойному неравенству $ \frac{4}{5} < \frac{9}{a} < 1 $, нужно последовательно подставить каждое из этих значений вместо переменной $a$ и проверить, выполняется ли неравенство.

Проверка для a = 8

Подставляем значение $a=8$ в неравенство: $ \frac{4}{5} < \frac{9}{8} < 1 $.Рассмотрим правую часть этого двойного неравенства: $ \frac{9}{8} < 1 $. Это неравенство является ложным, так как дробь $ \frac{9}{8} $ неправильная, ее числитель больше знаменателя, а значит, ее значение больше 1.Следовательно, значение $a=8$ не является решением.

Проверка для a = 11

Подставляем значение $a=11$ в неравенство: $ \frac{4}{5} < \frac{9}{11} < 1 $.Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:1) $ \frac{4}{5} < \frac{9}{11} $2) $ \frac{9}{11} < 1 $Проверим второе неравенство: $ \frac{9}{11} < 1 $. Оно истинно, так как числитель (9) меньше знаменателя (11).Проверим первое неравенство: $ \frac{4}{5} < \frac{9}{11} $. Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю $5 \times 11 = 55$:$ \frac{4 \times 11}{55} $ и $ \frac{9 \times 5}{55} $, что дает $ \frac{44}{55} $ и $ \frac{45}{55} $.Так как $44 < 45$, то неравенство $ \frac{44}{55} < \frac{45}{55} $ истинно.Поскольку обе части двойного неравенства выполняются, значение $a=11$ является решением.

Проверка для a = 12

Подставляем значение $a=12$ в неравенство: $ \frac{4}{5} < \frac{9}{12} < 1 $.Сначала можно упростить дробь $ \frac{9}{12} $, разделив числитель и знаменатель на 3: $ \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4} $.Неравенство принимает вид: $ \frac{4}{5} < \frac{3}{4} < 1 $.Рассмотрим левую часть этого двойного неравенства: $ \frac{4}{5} < \frac{3}{4} $. Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю 20:$ \frac{4 \times 4}{20} $ и $ \frac{3 \times 5}{20} $, что дает $ \frac{16}{20} $ и $ \frac{15}{20} $.Неравенство $ \frac{16}{20} < \frac{15}{20} $ является ложным, так как $16 > 15$.Следовательно, значение $a=12$ не является решением.

Таким образом, из предложенных чисел только число 11 удовлетворяет исходному условию.

Ответ: 11.

1.13 При каких натуральных значениях $x$ верно неравенство:

а) $\frac{100}{x} > 20;$

б) $\frac{30}{x} < 10;$

в) $1 < \frac{50}{x} < 10;$

г) $\frac{20}{x} > \frac{1}{2}?$

а) Дано неравенство $\frac{100}{x} > 20$. В задаче указано, что $x$ — натуральное число, следовательно, $x > 0$. Мы можем умножить обе части неравенства на $x$, не меняя знака неравенства.

$100 > 20x$

Теперь разделим обе части неравенства на 20:

$\frac{100}{20} > x$

$5 > x$

Таким образом, $x$ должен быть натуральным числом, строго меньшим 5. Этому условию удовлетворяют числа 1, 2, 3, 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

б) Дано неравенство $\frac{30}{x} < 10$. Так как $x$ — натуральное число ($x > 0$), умножим обе части на $x$:

$30 < 10x$

Разделим обе части на 10:

$\frac{30}{10} < x$

$3 < x$

Следовательно, $x$ должен быть натуральным числом, строго большим 3.

Ответ: все натуральные числа, большие 3 (т.е., 4, 5, 6, ...).

в) Дано двойное неравенство $1 < \frac{50}{x} < 10$. Его можно представить в виде системы двух неравенств:

1) $1 < \frac{50}{x}$

2) $\frac{50}{x} < 10$

Решим каждое неравенство отдельно, учитывая, что $x$ — натуральное число, а значит $x > 0$.

Из первого неравенства $1 < \frac{50}{x}$, умножая на $x$, получаем:

$x < 50$

Из второго неравенства $\frac{50}{x} < 10$, умножая на $x$, получаем:

$50 < 10x$

Разделив на 10, имеем:

$5 < x$

Объединяя результаты, получаем, что $x$ должен удовлетворять обоим условиям одновременно: $5 < x$ и $x < 50$. Это можно записать как $5 < x < 50$.

Значит, $x$ — это натуральные числа от 6 до 49 включительно.

Ответ: натуральные числа от 6 до 49 включительно.

г) Дано неравенство $\frac{20}{x} > \frac{1}{2}$. Поскольку $x$ — натуральное число, $x > 0$. Мы можем умножить обе части неравенства на $2x$ (это число положительно), чтобы избавиться от дробей. Знак неравенства при этом сохранится.

$\frac{20}{x} \cdot 2x > \frac{1}{2} \cdot 2x$

$40 > x$

Таким образом, $x$ должен быть натуральным числом, строго меньшим 40. Этому условию удовлетворяют все натуральные числа от 1 до 39.

Ответ: натуральные числа от 1 до 39 включительно.