Номер 1.7, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7 Сравните две обыкновенные дроби:

а) $-\frac{5}{19}$ и $-\frac{2}{9}$;

б) $-\frac{5}{12}$ и $-\frac{11}{19}$;

в) $-0,6$ и $-\frac{5}{6}$;

г) $-\frac{1}{4}$ и $-0,2$.

а) Чтобы сравнить две отрицательные дроби $-\frac{5}{19}$ и $-\frac{2}{9}$, сначала сравним их модули (положительные значения): $\frac{5}{19}$ и $\frac{2}{9}$.

Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 19 и 9 равен их произведению, так как они взаимно простые: $19 \times 9 = 171$.

Приведем первую дробь к новому знаменателю: $\frac{5}{19} = \frac{5 \times 9}{19 \times 9} = \frac{45}{171}$.

Приведем вторую дробь к новому знаменателю: $\frac{2}{9} = \frac{2 \times 19}{9 \times 19} = \frac{38}{171}$.

Теперь сравним полученные дроби: так как $45 > 38$, то $\frac{45}{171} > \frac{38}{171}$, а значит, $\frac{5}{19} > \frac{2}{9}$.

При сравнении отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше. Так как $\frac{5}{19} > \frac{2}{9}$, то $-\frac{5}{19} < -\frac{2}{9}$.

Ответ: $-\frac{5}{19} < -\frac{2}{9}$.

б) Сравним дроби $-\frac{5}{12}$ и $-\frac{11}{19}$. Для этого сначала сравним их положительные аналоги $\frac{5}{12}$ и $\frac{11}{19}$.

Воспользуемся методом перекрестного умножения. Сравним произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и числителя второй дроби на знаменатель первой:

$5 \times 19 = 95$

$11 \times 12 = 132$

Поскольку $95 < 132$, то и $\frac{5}{12} < \frac{11}{19}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $\frac{5}{12} < \frac{11}{19}$, то $-\frac{5}{12} > -\frac{11}{19}$.

Ответ: $-\frac{5}{12} > -\frac{11}{19}$.

в) Чтобы сравнить числа $-0,6$ и $-\frac{5}{6}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной.

$-0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.

Теперь сравним две дроби: $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{5}{6}$. Сначала сравним их модули: $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{6}$.

Приведем их к общему знаменателю $5 \times 6 = 30$.

$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30}$

$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 5}{6 \times 5} = \frac{25}{30}$

Так как $18 < 25$, то $\frac{18}{30} < \frac{25}{30}$, следовательно $\frac{3}{5} < \frac{5}{6}$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, то знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{3}{5} > -\frac{5}{6}$.

Таким образом, $-0,6 > -\frac{5}{6}$.

Ответ: $-0,6 > -\frac{5}{6}$.

г) Чтобы сравнить числа $-\frac{1}{4}$ и $-0,2$, удобнее всего представить обыкновенную дробь в виде десятичной.

$-\frac{1}{4} = -1 \div 4 = -0,25$.

Теперь сравним два десятичных числа: $-0,25$ и $-0,2$.

Из двух отрицательных чисел больше то, которое на числовой оси расположено правее (ближе к нулю). $-0,2$ находится правее, чем $-0,25$.

Следовательно, $-0,25 < -0,2$.

Значит, $-\frac{1}{4} < -0,2$.

Ответ: $-\frac{1}{4} < -0,2$.