Номер 1.1, страница 8 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1 1) Сравните числа, используя перекрёстное правило:

а) $\frac{5}{9}$ и $\frac{7}{11}$; б) $\frac{4}{21}$ и $\frac{3}{17}$; в) $\frac{7}{12}$ и $\frac{9}{16}$; г) $\frac{5}{8}$ и $\frac{8}{13}$.

2) Сравните числа, используя приём сравнения с «промежуточным» числом:

а) $\frac{11}{18}$ и $\frac{10}{23}$; б) $\frac{5}{28}$ и $\frac{11}{40}$; в) $\frac{49}{53}$ и $\frac{41}{40}$; г) $\frac{9}{22}$ и $\frac{27}{50}$.

Образец. Сравним числа $\frac{25}{62}$ и $\frac{49}{80}$.

Так как $\frac{25}{62} < \frac{1}{2}$, а $\frac{49}{80} > \frac{1}{2}$, то $\frac{25}{62} < \frac{49}{80}$.

3) Сравните числа, используя любой известный вам способ:

а) $\frac{3}{7}$ и $\frac{11}{27}$; б) $\frac{31}{32}$ и $\frac{21}{22}$; в) $\frac{45}{98}$ и $\frac{23}{38}$; г) $\frac{22}{21}$ и $\frac{21}{20}$.

1) Сравните числа, используя перекрёстное правило:

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{9}$ и $\frac{7}{11}$, применим перекрёстное правило. Для этого умножим числитель первой дроби на знаменатель второй ($5 \cdot 11$) и знаменатель первой дроби на числитель второй ($9 \cdot 7$).

$5 \cdot 11 = 55$

$9 \cdot 7 = 63$

Так как $55 < 63$, то и соответствующая первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{5}{9} < \frac{7}{11}$.

б) Сравним дроби $\frac{4}{21}$ и $\frac{3}{17}$ с помощью перекрёстного правила.

Сравниваем произведения $4 \cdot 17$ и $21 \cdot 3$.

$4 \cdot 17 = 68$

$21 \cdot 3 = 63$

Так как $68 > 63$, то первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{4}{21} > \frac{3}{17}$.

в) Сравним дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{9}{16}$ с помощью перекрёстного правила.

Сравниваем произведения $7 \cdot 16$ и $12 \cdot 9$.

$7 \cdot 16 = 112$

$12 \cdot 9 = 108$

Так как $112 > 108$, то первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{7}{12} > \frac{9}{16}$.

г) Сравним дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{8}{13}$ с помощью перекрёстного правила.

Сравниваем произведения $5 \cdot 13$ и $8 \cdot 8$.

$5 \cdot 13 = 65$

$8 \cdot 8 = 64$

Так как $65 > 64$, то первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{5}{8} > \frac{8}{13}$.

2) Сравните числа, используя приём сравнения с «промежуточным» числом:

а) Сравним дроби $\frac{11}{18}$ и $\frac{10}{23}$. В качестве промежуточного числа удобно взять $\frac{1}{2}$.

Сравним первую дробь с $\frac{1}{2}$: $\frac{11}{18}$. Половина от знаменателя 18 равна 9. Так как числитель $11 > 9$, то $\frac{11}{18} > \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

Сравним вторую дробь с $\frac{1}{2}$: $\frac{10}{23}$. Половина от знаменателя 23 равна 11,5. Так как числитель $10 < 11,5$, то $\frac{10}{23} < \frac{11,5}{23} = \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{11}{18} > \frac{1}{2}$, а $\frac{10}{23} < \frac{1}{2}$, то первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{11}{18} > \frac{10}{23}$.

б) Сравним дроби $\frac{5}{28}$ и $\frac{11}{40}$. В качестве промежуточного числа можно взять $\frac{1}{4}$.

Сравним первую дробь с $\frac{1}{4}$. $\frac{1}{4} = \frac{7}{28}$. Так как $5 < 7$, то $\frac{5}{28} < \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Сравним вторую дробь с $\frac{1}{4}$. $\frac{1}{4} = \frac{10}{40}$. Так как $11 > 10$, то $\frac{11}{40} > \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$.

Так как $\frac{5}{28} < \frac{1}{4}$, а $\frac{11}{40} > \frac{1}{4}$, то первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{5}{28} < \frac{11}{40}$.

в) Сравним дроби $\frac{49}{53}$ и $\frac{41}{40}$. В качестве промежуточного числа удобно взять $1$.

Дробь $\frac{49}{53}$ является правильной, так как её числитель меньше знаменателя ($49 < 53$), поэтому $\frac{49}{53} < 1$.

Дробь $\frac{41}{40}$ является неправильной, так как её числитель больше знаменателя ($41 > 40$), поэтому $\frac{41}{40} > 1$.

Поскольку $\frac{49}{53} < 1$, а $\frac{41}{40} > 1$, то первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{49}{53} < \frac{41}{40}$.

г) Сравним дроби $\frac{9}{22}$ и $\frac{27}{50}$. В качестве промежуточного числа возьмём $\frac{1}{2}$.

Сравним первую дробь с $\frac{1}{2}$: $\frac{9}{22}$. Половина от 22 равна 11. Так как $9 < 11$, то $\frac{9}{22} < \frac{1}{2}$.

Сравним вторую дробь с $\frac{1}{2}$: $\frac{27}{50}$. Половина от 50 равна 25. Так как $27 > 25$, то $\frac{27}{50} > \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{9}{22} < \frac{1}{2}$, а $\frac{27}{50} > \frac{1}{2}$, то первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{9}{22} < \frac{27}{50}$.

3) Сравните числа, используя любой известный вам способ:

а) Сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{11}{27}$. Удобнее всего использовать перекрёстное правило.

Сравниваем произведения $3 \cdot 27$ и $7 \cdot 11$.

$3 \cdot 27 = 81$

$7 \cdot 11 = 77$

Так как $81 > 77$, то $\frac{3}{7} > \frac{11}{27}$.

Ответ: $\frac{3}{7} > \frac{11}{27}$.

б) Сравним дроби $\frac{31}{32}$ и $\frac{21}{22}$. Обе дроби близки к 1. Удобно сравнить их "дополнения" до единицы.

Дополнение для первой дроби: $1 - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$.

Дополнение для второй дроби: $1 - \frac{21}{22} = \frac{1}{22}$.

Теперь сравним дополнения: $\frac{1}{32}$ и $\frac{1}{22}$. У дробей одинаковые числители, поэтому меньше та дробь, у которой знаменатель больше. Так как $32 > 22$, то $\frac{1}{32} < \frac{1}{22}$.

Чем меньше не хватает до единицы, тем больше сама дробь. Следовательно, первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{31}{32} > \frac{21}{22}$.

в) Сравним дроби $\frac{45}{98}$ и $\frac{23}{38}$. Удобно использовать сравнение с промежуточным числом $\frac{1}{2}$.

Сравним первую дробь с $\frac{1}{2}$: $\frac{45}{98}$. Половина от 98 равна 49. Так как $45 < 49$, то $\frac{45}{98} < \frac{1}{2}$.

Сравним вторую дробь с $\frac{1}{2}$: $\frac{23}{38}$. Половина от 38 равна 19. Так как $23 > 19$, то $\frac{23}{38} > \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{45}{98} < \frac{1}{2}$, а $\frac{23}{38} > \frac{1}{2}$, то первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{45}{98} < \frac{23}{38}$.

г) Сравним дроби $\frac{22}{21}$ и $\frac{21}{20}$. Обе дроби неправильные и больше 1. Удобно сравнить их "избытки" над единицей.

Представим дроби в виде смешанных чисел:

$\frac{22}{21} = 1\frac{1}{21}$

$\frac{21}{20} = 1\frac{1}{20}$

Так как целые части равны, нужно сравнить дробные части: $\frac{1}{21}$ и $\frac{1}{20}$. У этих дробей одинаковые числители, значит, меньше та дробь, у которой знаменатель больше. Так как $21 > 20$, то $\frac{1}{21} < \frac{1}{20}$.

Следовательно, и первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{22}{21} < \frac{21}{20}$.