Страница 8 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1 1) Сравните числа, используя перекрёстное правило:

а) $\frac{5}{9}$ и $\frac{7}{11}$; б) $\frac{4}{21}$ и $\frac{3}{17}$; в) $\frac{7}{12}$ и $\frac{9}{16}$; г) $\frac{5}{8}$ и $\frac{8}{13}$.

2) Сравните числа, используя приём сравнения с «промежуточным» числом:

а) $\frac{11}{18}$ и $\frac{10}{23}$; б) $\frac{5}{28}$ и $\frac{11}{40}$; в) $\frac{49}{53}$ и $\frac{41}{40}$; г) $\frac{9}{22}$ и $\frac{27}{50}$.

Образец. Сравним числа $\frac{25}{62}$ и $\frac{49}{80}$.

Так как $\frac{25}{62} < \frac{1}{2}$, а $\frac{49}{80} > \frac{1}{2}$, то $\frac{25}{62} < \frac{49}{80}$.

3) Сравните числа, используя любой известный вам способ:

а) $\frac{3}{7}$ и $\frac{11}{27}$; б) $\frac{31}{32}$ и $\frac{21}{22}$; в) $\frac{45}{98}$ и $\frac{23}{38}$; г) $\frac{22}{21}$ и $\frac{21}{20}$.

1) Сравните числа, используя перекрёстное правило:

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{9}$ и $\frac{7}{11}$, применим перекрёстное правило. Для этого умножим числитель первой дроби на знаменатель второй ($5 \cdot 11$) и знаменатель первой дроби на числитель второй ($9 \cdot 7$).

$5 \cdot 11 = 55$

$9 \cdot 7 = 63$

Так как $55 < 63$, то и соответствующая первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{5}{9} < \frac{7}{11}$.

б) Сравним дроби $\frac{4}{21}$ и $\frac{3}{17}$ с помощью перекрёстного правила.

Сравниваем произведения $4 \cdot 17$ и $21 \cdot 3$.

$4 \cdot 17 = 68$

$21 \cdot 3 = 63$

Так как $68 > 63$, то первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{4}{21} > \frac{3}{17}$.

в) Сравним дроби $\frac{7}{12}$ и $\frac{9}{16}$ с помощью перекрёстного правила.

Сравниваем произведения $7 \cdot 16$ и $12 \cdot 9$.

$7 \cdot 16 = 112$

$12 \cdot 9 = 108$

Так как $112 > 108$, то первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{7}{12} > \frac{9}{16}$.

г) Сравним дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{8}{13}$ с помощью перекрёстного правила.

Сравниваем произведения $5 \cdot 13$ и $8 \cdot 8$.

$5 \cdot 13 = 65$

$8 \cdot 8 = 64$

Так как $65 > 64$, то первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{5}{8} > \frac{8}{13}$.

2) Сравните числа, используя приём сравнения с «промежуточным» числом:

а) Сравним дроби $\frac{11}{18}$ и $\frac{10}{23}$. В качестве промежуточного числа удобно взять $\frac{1}{2}$.

Сравним первую дробь с $\frac{1}{2}$: $\frac{11}{18}$. Половина от знаменателя 18 равна 9. Так как числитель $11 > 9$, то $\frac{11}{18} > \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

Сравним вторую дробь с $\frac{1}{2}$: $\frac{10}{23}$. Половина от знаменателя 23 равна 11,5. Так как числитель $10 < 11,5$, то $\frac{10}{23} < \frac{11,5}{23} = \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{11}{18} > \frac{1}{2}$, а $\frac{10}{23} < \frac{1}{2}$, то первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{11}{18} > \frac{10}{23}$.

б) Сравним дроби $\frac{5}{28}$ и $\frac{11}{40}$. В качестве промежуточного числа можно взять $\frac{1}{4}$.

Сравним первую дробь с $\frac{1}{4}$. $\frac{1}{4} = \frac{7}{28}$. Так как $5 < 7$, то $\frac{5}{28} < \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$.

Сравним вторую дробь с $\frac{1}{4}$. $\frac{1}{4} = \frac{10}{40}$. Так как $11 > 10$, то $\frac{11}{40} > \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$.

Так как $\frac{5}{28} < \frac{1}{4}$, а $\frac{11}{40} > \frac{1}{4}$, то первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{5}{28} < \frac{11}{40}$.

в) Сравним дроби $\frac{49}{53}$ и $\frac{41}{40}$. В качестве промежуточного числа удобно взять $1$.

Дробь $\frac{49}{53}$ является правильной, так как её числитель меньше знаменателя ($49 < 53$), поэтому $\frac{49}{53} < 1$.

Дробь $\frac{41}{40}$ является неправильной, так как её числитель больше знаменателя ($41 > 40$), поэтому $\frac{41}{40} > 1$.

Поскольку $\frac{49}{53} < 1$, а $\frac{41}{40} > 1$, то первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{49}{53} < \frac{41}{40}$.

г) Сравним дроби $\frac{9}{22}$ и $\frac{27}{50}$. В качестве промежуточного числа возьмём $\frac{1}{2}$.

Сравним первую дробь с $\frac{1}{2}$: $\frac{9}{22}$. Половина от 22 равна 11. Так как $9 < 11$, то $\frac{9}{22} < \frac{1}{2}$.

Сравним вторую дробь с $\frac{1}{2}$: $\frac{27}{50}$. Половина от 50 равна 25. Так как $27 > 25$, то $\frac{27}{50} > \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{9}{22} < \frac{1}{2}$, а $\frac{27}{50} > \frac{1}{2}$, то первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{9}{22} < \frac{27}{50}$.

3) Сравните числа, используя любой известный вам способ:

а) Сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{11}{27}$. Удобнее всего использовать перекрёстное правило.

Сравниваем произведения $3 \cdot 27$ и $7 \cdot 11$.

$3 \cdot 27 = 81$

$7 \cdot 11 = 77$

Так как $81 > 77$, то $\frac{3}{7} > \frac{11}{27}$.

Ответ: $\frac{3}{7} > \frac{11}{27}$.

б) Сравним дроби $\frac{31}{32}$ и $\frac{21}{22}$. Обе дроби близки к 1. Удобно сравнить их "дополнения" до единицы.

Дополнение для первой дроби: $1 - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$.

Дополнение для второй дроби: $1 - \frac{21}{22} = \frac{1}{22}$.

Теперь сравним дополнения: $\frac{1}{32}$ и $\frac{1}{22}$. У дробей одинаковые числители, поэтому меньше та дробь, у которой знаменатель больше. Так как $32 > 22$, то $\frac{1}{32} < \frac{1}{22}$.

Чем меньше не хватает до единицы, тем больше сама дробь. Следовательно, первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{31}{32} > \frac{21}{22}$.

в) Сравним дроби $\frac{45}{98}$ и $\frac{23}{38}$. Удобно использовать сравнение с промежуточным числом $\frac{1}{2}$.

Сравним первую дробь с $\frac{1}{2}$: $\frac{45}{98}$. Половина от 98 равна 49. Так как $45 < 49$, то $\frac{45}{98} < \frac{1}{2}$.

Сравним вторую дробь с $\frac{1}{2}$: $\frac{23}{38}$. Половина от 38 равна 19. Так как $23 > 19$, то $\frac{23}{38} > \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{45}{98} < \frac{1}{2}$, а $\frac{23}{38} > \frac{1}{2}$, то первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{45}{98} < \frac{23}{38}$.

г) Сравним дроби $\frac{22}{21}$ и $\frac{21}{20}$. Обе дроби неправильные и больше 1. Удобно сравнить их "избытки" над единицей.

Представим дроби в виде смешанных чисел:

$\frac{22}{21} = 1\frac{1}{21}$

$\frac{21}{20} = 1\frac{1}{20}$

Так как целые части равны, нужно сравнить дробные части: $\frac{1}{21}$ и $\frac{1}{20}$. У этих дробей одинаковые числители, значит, меньше та дробь, у которой знаменатель больше. Так как $21 > 20$, то $\frac{1}{21} < \frac{1}{20}$.

Следовательно, и первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{22}{21} < \frac{21}{20}$.

1.2 а) Петя и Коля, сравнивая длину своих шагов, заметили, что 17 шагов Пети составили 8 м, а 20 шагов Коли составили 11 м. Чей шаг короче?

б) Петя распечатал на своём принтере 14 страниц за 3 мин, а Коля на своём — 24 страницы за 5 мин. Чей принтер работает быстрее?

а) Чтобы определить, чей шаг короче, необходимо найти длину одного шага для каждого мальчика и сравнить эти значения. Длина шага — это отношение пройденного расстояния к количеству сделанных шагов.

1. Вычислим длину одного шага Пети. Он сделал 17 шагов, пройдя 8 метров.
Длина шага Пети: $L_П = \frac{8}{17}$ м.

2. Вычислим длину одного шага Коли. Он сделал 20 шагов, пройдя 11 метров.
Длина шага Коли: $L_К = \frac{11}{20}$ м.

3. Теперь сравним полученные дроби $\frac{8}{17}$ и $\frac{11}{20}$. Для сравнения приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 17 и 20 — это их произведение: $17 \times 20 = 340$.
Длина шага Пети: $L_П = \frac{8}{17} = \frac{8 \times 20}{17 \times 20} = \frac{160}{340}$ м.
Длина шага Коли: $L_К = \frac{11}{20} = \frac{11 \times 17}{20 \times 17} = \frac{187}{340}$ м.

4. Сравниваем числители дробей: $160 < 187$.
Следовательно, $\frac{160}{340} < \frac{187}{340}$, что означает $\frac{8}{17} < \frac{11}{20}$.
Таким образом, длина шага Пети меньше длины шага Коли.

Ответ: Шаг Пети короче.

б) Чтобы выяснить, чей принтер работает быстрее, нужно сравнить их производительность, то есть количество страниц, которое каждый принтер печатает за единицу времени (например, за 1 минуту).

1. Найдем скорость печати принтера Пети. Он напечатал 14 страниц за 3 минуты.
Скорость принтера Пети: $V_П = \frac{14}{3}$ страниц в минуту.

2. Найдем скорость печати принтера Коли. Он напечатал 24 страницы за 5 минут.
Скорость принтера Коли: $V_К = \frac{24}{5}$ страниц в минуту.

3. Сравним полученные дроби $\frac{14}{3}$ и $\frac{24}{5}$. Приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 5 — это их произведение: $3 \times 5 = 15$.
Скорость принтера Пети: $V_П = \frac{14}{3} = \frac{14 \times 5}{3 \times 5} = \frac{70}{15}$ страниц в минуту.
Скорость принтера Коли: $V_К = \frac{24}{5} = \frac{24 \times 3}{5 \times 3} = \frac{72}{15}$ страниц в минуту.

4. Сравниваем числители дробей: $70 < 72$.
Следовательно, $\frac{70}{15} < \frac{72}{15}$, что означает $\frac{14}{3} < \frac{24}{5}$.
Это значит, что принтер Коли печатает больше страниц в минуту, то есть работает быстрее.

Ответ: Принтер Коли работает быстрее.

1.3 1) Какие из следующих дробей можно представить в виде десятичных:

$ \frac{3}{40} $; $ \frac{7}{15} $; $ \frac{16}{24} $; $ \frac{9}{45} $; $ \frac{14}{50} $; $ \frac{34}{16} $?

2) Сравните обыкновенную и десятичную дроби:

а) 0,8 и $ \frac{3}{4} $;

б) $ \frac{4}{5} $ и 0,9;

в) 0,25 и $ \frac{4}{15} $;

г) $ \frac{7}{11} $ и 0,6.

3) Даны дроби: $ \frac{12}{25} $; $ \frac{21}{40} $; 0,52; 0,485.

Какая из данных дробей наименьшая? Какая наибольшая?

1)

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель этой дроби после ее сокращения не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5. Проверим каждую дробь:

• $\frac{3}{40}$: Знаменатель $40 = 2^3 \times 5$. Содержит только множители 2 и 5. Можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{3}{40} = \frac{3 \times 25}{40 \times 25} = \frac{75}{1000} = 0,075$.

• $\frac{7}{15}$: Знаменатель $15 = 3 \times 5$. Содержит множитель 3. Нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

• $\frac{16}{24}$: Сначала сократим дробь: $\frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3}$. Знаменатель 3. Нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

• $\frac{9}{45}$: Сначала сократим дробь: $\frac{9}{45} = \frac{9 \div 9}{45 \div 9} = \frac{1}{5}$. Знаменатель 5. Можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0,2$.

• $\frac{14}{50}$: Знаменатель $50 = 2 \times 5^2$. Содержит только множители 2 и 5. Можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{14}{50} = \frac{28}{100} = 0,28$.

• $\frac{34}{16}$: Сначала сократим дробь: $\frac{34}{16} = \frac{17}{8}$. Знаменатель $8=2^3$. Содержит только множитель 2. Можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{17}{8} = 2 \frac{1}{8} = 2,125$.

Ответ: $\frac{3}{40}; \frac{9}{45}; \frac{14}{50}; \frac{34}{16}$.

2)

а) Сравнить 0,8 и $\frac{3}{4}$.
Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0,75$.
Сравниваем десятичные дроби: $0,8 > 0,75$.
Следовательно, $0,8 > \frac{3}{4}$.
Ответ: $0,8 > \frac{3}{4}$.

б) Сравнить $\frac{4}{5}$ и 0,9.
Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} = 0,8$.
Сравниваем десятичные дроби: $0,8 < 0,9$.
Следовательно, $\frac{4}{5} < 0,9$.
Ответ: $\frac{4}{5} < 0,9$.

в) Сравнить 0,25 и $\frac{4}{15}$.
Переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель: $4 \div 15 = 0,2666... = 0,2(6)$.
Сравниваем десятичные дроби: $0,25 < 0,2666...$.
Следовательно, $0,25 < \frac{4}{15}$.
Ответ: $0,25 < \frac{4}{15}$.

г) Сравнить $\frac{7}{11}$ и 0,6.
Переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель: $7 \div 11 = 0,6363... = 0,(63)$.
Сравниваем десятичные дроби: $0,6363... > 0,6$.
Следовательно, $\frac{7}{11} > 0,6$.
Ответ: $\frac{7}{11} > 0,6$.

3)

Чтобы найти наименьшую и наибольшую дроби из набора $\frac{12}{25}; \frac{21}{40}; 0,52; 0,485$, представим все числа в виде десятичных дробей.

• $\frac{12}{25} = \frac{12 \times 4}{25 \times 4} = \frac{48}{100} = 0,48$.

• $\frac{21}{40} = \frac{21 \times 25}{40 \times 25} = \frac{525}{1000} = 0,525$.

• $0,52$

• $0,485$

Теперь у нас есть ряд десятичных дробей: $0,48; 0,525; 0,52; 0,485$.
Для удобства сравнения приведем все дроби к одному количеству знаков после запятой (до тысячных): $0,480; 0,525; 0,520; 0,485$.
Расположим их в порядке возрастания: $0,480 < 0,485 < 0,520 < 0,525$.
Это соответствует исходным дробям: $\frac{12}{25} < 0,485 < 0,52 < \frac{21}{40}$.
Наименьшая дробь - $0,48$, то есть $\frac{12}{25}$.
Наибольшая дробь - $0,525$, то есть $\frac{21}{40}$.
Ответ: наименьшая дробь - $\frac{12}{25}$, наибольшая дробь - $\frac{21}{40}$.

1.4 Сравните числа, перейдя к десятичным дробям:

а) $0,52$ и $\frac{17}{32}$;

б) $\frac{39}{125}$ и $0,3125$;

в) $\frac{130}{311}$ и $\frac{88}{217}$;

г) $\frac{11}{170}$ и $\frac{15}{231}$.

а) Чтобы сравнить числа $0,52$ и $\frac{17}{32}$, переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$\frac{17}{32} = 17 \div 32 = 0,53125$.

Теперь сравним десятичные дроби $0,52$ и $0,53125$.

Поразрядно сравниваем числа: целые части равны ($0=0$), десятые доли равны ($5=5$), а сотые доли отличаются: $2 < 3$.

Следовательно, $0,52 < 0,53125$, а значит $0,52 < \frac{17}{32}$.

Ответ: $0,52 < \frac{17}{32}$.

б) Чтобы сравнить числа $\frac{39}{125}$ и $0,3125$, переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно разделить числитель на знаменатель или привести знаменатель к степени числа 10, так как $125 = 5^3$.

Приведем знаменатель к 1000, умножив числитель и знаменатель на 8:

$\frac{39}{125} = \frac{39 \times 8}{125 \times 8} = \frac{312}{1000} = 0,312$.

Теперь сравним десятичные дроби $0,312$ и $0,3125$.

Уравняем количество знаков после запятой для наглядности: $0,3120$ и $0,3125$.

Сравнивая поразрядно, видим, что первые три цифры после запятой совпадают ($312$), а четвертая (десятитысячные) отличается: $0 < 5$.

Следовательно, $0,312 < 0,3125$, а значит $\frac{39}{125} < 0,3125$.

Ответ: $\frac{39}{125} < 0,3125$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{130}{311}$ и $\frac{88}{217}$, переведем обе в десятичные дроби, выполнив деление с точностью до нескольких знаков после запятой.

Вычислим значение первой дроби:

$\frac{130}{311} = 130 \div 311 \approx 0,418006...$

Вычислим значение второй дроби:

$\frac{88}{217} = 88 \div 217 \approx 0,405529...$

Теперь сравним полученные десятичные дроби $0,4180...$ и $0,4055...$

Сравниваем поразрядно: целые части равны ($0=0$), десятые доли равны ($4=4$), а сотые доли отличаются: $1 > 0$.

Следовательно, $0,4180... > 0,4055...$, а значит $\frac{130}{311} > \frac{88}{217}$.

Ответ: $\frac{130}{311} > \frac{88}{217}$.

г) Чтобы сравнить дроби $\frac{11}{170}$ и $\frac{15}{231}$, переведем их в десятичные. Сначала упростим вторую дробь, если это возможно. Числитель $15 = 3 \times 5$, знаменатель $231 = 3 \times 77$.

$\frac{15}{231} = \frac{3 \times 5}{3 \times 77} = \frac{5}{77}$.

Теперь нужно сравнить $\frac{11}{170}$ и $\frac{5}{77}$. Переведем обе дроби в десятичные, выполнив деление.

$\frac{11}{170} = 11 \div 170 \approx 0,064705...$

$\frac{5}{77} = 5 \div 77 \approx 0,064935...$

Сравним десятичные дроби $0,0647...$ и $0,0649...$

Сравнивая поразрядно, видим, что первые три цифры после запятой ($064$) совпадают, а четвертая (десятитысячные) отличается: $7 < 9$.

Следовательно, $0,0647... < 0,0649...$, а значит $\frac{11}{170} < \frac{15}{231}$.

Ответ: $\frac{11}{170} < \frac{15}{231}$.

1.5 Расположите в порядке возрастания числа:

а) $ \frac{3}{4}; \frac{37}{500}; 0,7; $

б) $ 0,13; \frac{29}{200}; 0,125. $

а)

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо привести их к единому виду. В данном случае удобнее всего преобразовать все числа в десятичные дроби.

1. Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{3}{4}$ в десятичную:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0,75$.

2. Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{37}{500}$ в десятичную. Для этого домножим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{37}{500} = \frac{37 \times 2}{500 \times 2} = \frac{74}{1000} = 0,074$.

3. Третье число уже представлено в виде десятичной дроби: $0,7$.

Теперь у нас есть три десятичные дроби: $0,75$, $0,074$ и $0,7$. Сравним их. Для удобства можно записать их с одинаковым количеством знаков после запятой:

$0,750$

$0,074$

$0,700$

Сравнивая эти числа, мы видим, что $0,074 < 0,700 < 0,750$.

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания располагаются следующим образом: $\frac{37}{500}$, $0,7$, $\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{37}{500}; 0,7; \frac{3}{4}$.

б)

Аналогично первому пункту, приведем все числа к виду десятичных дробей для их сравнения.

1. Числа $0,13$ и $0,125$ уже представлены в виде десятичных дробей.

2. Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{29}{200}$ в десятичную. Домножим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{29}{200} = \frac{29 \times 5}{200 \times 5} = \frac{145}{1000} = 0,145$.

Теперь у нас есть три десятичные дроби: $0,13$, $0,145$ и $0,125$. Сравним их. Для наглядности можно записать их с одинаковым количеством знаков после запятой:

$0,130$

$0,145$

$0,125$

Сравнивая эти числа, мы получаем, что $0,125 < 0,130 < 0,145$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $0,125$, $0,13$, $\frac{29}{200}$.

Ответ: $0,125; 0,13; \frac{29}{200}$.

1.6 Расположите в порядке убывания числа:

а) $\frac{1}{3}; 0,3; 0,33; \frac{4}{11};$

б) $\frac{2}{3}; 0,6; 0,66; \frac{5}{8}.$

а) Чтобы расположить числа в порядке убывания, необходимо сравнить их. Для этого удобнее всего преобразовать все числа в десятичные дроби.

1. Преобразуем обыкновенные дроби в десятичные:
$\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$
$\frac{4}{11} = 4 \div 11 = 0,3636... = 0,(36)$

2. Теперь у нас есть следующий ряд чисел в десятичном представлении: $0,(3)$; $0,3$; $0,33$; $0,(36)$.

3. Сравним эти числа. Для наглядности запишем их с одинаковым количеством знаков после запятой (например, до тысячных):
$\frac{4}{11} \approx 0,363$
$\frac{1}{3} \approx 0,333$
$0,33 = 0,330$
$0,3 = 0,300$

4. Сравнивая десятичные дроби, получаем следующую последовательность в порядке убывания (от большего к меньшему):
$0,363... > 0,333... > 0,330 > 0,300$
Это соответствует исходным числам:
$\frac{4}{11} > \frac{1}{3} > 0,33 > 0,3$

Ответ: $\frac{4}{11}; \frac{1}{3}; 0,33; 0,3$.

б) Аналогично, преобразуем все числа в десятичные дроби для сравнения.

1. Преобразуем обыкновенные дроби в десятичные:
$\frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$
$\frac{5}{8} = 5 \div 8 = 0,625$

2. Теперь у нас есть следующий ряд чисел в десятичном представлении: $0,(6)$; $0,6$; $0,66$; $0,625$.

3. Сравним эти числа. Для наглядности запишем их с одинаковым количеством знаков после запятой (до тысячных):
$\frac{2}{3} \approx 0,666$
$0,66 = 0,660$
$\frac{5}{8} = 0,625$
$0,6 = 0,600$

4. Сравнивая десятичные дроби, получаем следующую последовательность в порядке убывания:
$0,666... > 0,660 > 0,625 > 0,600$
Это соответствует исходным числам:
$\frac{2}{3} > 0,66 > \frac{5}{8} > 0,6$

Ответ: $\frac{2}{3}; 0,66; \frac{5}{8}; 0,6$.