Номер 1.3, страница 8 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3 1) Какие из следующих дробей можно представить в виде десятичных:

$ \frac{3}{40} $; $ \frac{7}{15} $; $ \frac{16}{24} $; $ \frac{9}{45} $; $ \frac{14}{50} $; $ \frac{34}{16} $?

2) Сравните обыкновенную и десятичную дроби:

а) 0,8 и $ \frac{3}{4} $;

б) $ \frac{4}{5} $ и 0,9;

в) 0,25 и $ \frac{4}{15} $;

г) $ \frac{7}{11} $ и 0,6.

3) Даны дроби: $ \frac{12}{25} $; $ \frac{21}{40} $; 0,52; 0,485.

Какая из данных дробей наименьшая? Какая наибольшая?

1)

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель этой дроби после ее сокращения не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5. Проверим каждую дробь:

• $\frac{3}{40}$: Знаменатель $40 = 2^3 \times 5$. Содержит только множители 2 и 5. Можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{3}{40} = \frac{3 \times 25}{40 \times 25} = \frac{75}{1000} = 0,075$.

• $\frac{7}{15}$: Знаменатель $15 = 3 \times 5$. Содержит множитель 3. Нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

• $\frac{16}{24}$: Сначала сократим дробь: $\frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3}$. Знаменатель 3. Нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

• $\frac{9}{45}$: Сначала сократим дробь: $\frac{9}{45} = \frac{9 \div 9}{45 \div 9} = \frac{1}{5}$. Знаменатель 5. Можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0,2$.

• $\frac{14}{50}$: Знаменатель $50 = 2 \times 5^2$. Содержит только множители 2 и 5. Можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{14}{50} = \frac{28}{100} = 0,28$.

• $\frac{34}{16}$: Сначала сократим дробь: $\frac{34}{16} = \frac{17}{8}$. Знаменатель $8=2^3$. Содержит только множитель 2. Можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{17}{8} = 2 \frac{1}{8} = 2,125$.

Ответ: $\frac{3}{40}; \frac{9}{45}; \frac{14}{50}; \frac{34}{16}$.

2)

а) Сравнить 0,8 и $\frac{3}{4}$.
Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0,75$.
Сравниваем десятичные дроби: $0,8 > 0,75$.
Следовательно, $0,8 > \frac{3}{4}$.
Ответ: $0,8 > \frac{3}{4}$.

б) Сравнить $\frac{4}{5}$ и 0,9.
Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} = 0,8$.
Сравниваем десятичные дроби: $0,8 < 0,9$.
Следовательно, $\frac{4}{5} < 0,9$.
Ответ: $\frac{4}{5} < 0,9$.

в) Сравнить 0,25 и $\frac{4}{15}$.
Переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель: $4 \div 15 = 0,2666... = 0,2(6)$.
Сравниваем десятичные дроби: $0,25 < 0,2666...$.
Следовательно, $0,25 < \frac{4}{15}$.
Ответ: $0,25 < \frac{4}{15}$.

г) Сравнить $\frac{7}{11}$ и 0,6.
Переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель: $7 \div 11 = 0,6363... = 0,(63)$.
Сравниваем десятичные дроби: $0,6363... > 0,6$.
Следовательно, $\frac{7}{11} > 0,6$.
Ответ: $\frac{7}{11} > 0,6$.

3)

Чтобы найти наименьшую и наибольшую дроби из набора $\frac{12}{25}; \frac{21}{40}; 0,52; 0,485$, представим все числа в виде десятичных дробей.

• $\frac{12}{25} = \frac{12 \times 4}{25 \times 4} = \frac{48}{100} = 0,48$.

• $\frac{21}{40} = \frac{21 \times 25}{40 \times 25} = \frac{525}{1000} = 0,525$.

• $0,52$

• $0,485$

Теперь у нас есть ряд десятичных дробей: $0,48; 0,525; 0,52; 0,485$.
Для удобства сравнения приведем все дроби к одному количеству знаков после запятой (до тысячных): $0,480; 0,525; 0,520; 0,485$.
Расположим их в порядке возрастания: $0,480 < 0,485 < 0,520 < 0,525$.
Это соответствует исходным дробям: $\frac{12}{25} < 0,485 < 0,52 < \frac{21}{40}$.
Наименьшая дробь - $0,48$, то есть $\frac{12}{25}$.
Наибольшая дробь - $0,525$, то есть $\frac{21}{40}$.
Ответ: наименьшая дробь - $\frac{12}{25}$, наибольшая дробь - $\frac{21}{40}$.