Номер 1.10, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.1. Сравнение дробей. Глава 1. Дроби и проценты - номер 1.10, страница 9.

Условие.

1.10 Сколько можно составить различных дробей, отличных от 1, у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37? Укажите наименьшее и наибольшее из этих чисел. Определите, сколько из составленных дробей меньше $\frac{1}{2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Сколько можно составить различных дробей, отличных от 1, у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37?

Сначала выпишем все простые числа в диапазоне от 11 до 37 включительно. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя.

Простые числа в данном диапазоне: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

Всего таких чисел 8. Обозначим это множество как $P = \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$.

Дробь состоит из числителя и знаменателя, которые выбираются из множества $P$. По условию, дробь должна быть отличной от 1, что означает, что числитель не может быть равен знаменателю.

Числитель можно выбрать 8 способами (любое число из множества $P$).

Поскольку знаменатель не может быть равен числителю, для его выбора остается $8 - 1 = 7$ способов.

Общее количество различных дробей, которые можно составить, равно произведению числа способов выбора числителя и знаменателя: $8 \times 7 = 56$.

Это соответствует числу размещений из 8 элементов по 2: $A_8^2 = \frac{8!}{(8-2)!} = 8 \times 7 = 56$.

Ответ: 56.

Укажите наименьшее и наибольшее из этих чисел.

Множество простых чисел для составления дробей: $P = \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$.

Для получения наименьшей дроби $\frac{a}{b}$ необходимо, чтобы числитель $a$ был как можно меньше, а знаменатель $b$ — как можно больше.

Наименьшее число в множестве $P$ — это 11.

Наибольшее число в множестве $P$ — это 37.

Таким образом, наименьшая дробь равна $\frac{11}{37}$.

Для получения наибольшей дроби $\frac{a}{b}$ необходимо, чтобы числитель $a$ был как можно больше, а знаменатель $b$ — как можно меньше.

Наибольшее число в множестве $P$ — это 37.

Наименьшее число в множестве $P$ — это 11.

Таким образом, наибольшая дробь равна $\frac{37}{11}$.

Ответ: наименьшее число — $\frac{11}{37}$, наибольшее число — $\frac{37}{11}$.

Определите, сколько из составленных дробей меньше $\frac{1}{2}$.

Требуется найти количество дробей $\frac{a}{b}$ (где $a, b \in P$ и $a \neq b$), которые удовлетворяют неравенству:

$\frac{a}{b} < \frac{1}{2}$

Поскольку знаменатель $b$ всегда является положительным числом, можно умножить обе части неравенства на $2b$, сохранив знак неравенства:

$2a < b$

Теперь последовательно переберем все возможные значения для числителя $a$ из множества $P$ и для каждого из них посчитаем количество подходящих знаменателей $b$.

• Если $a = 11$, то $2a = 22$. Ищем $b$ из $P$ такие, что $b > 22$. Это числа: 23, 29, 31, 37. Всего 4 дроби.

• Если $a = 13$, то $2a = 26$. Ищем $b$ из $P$ такие, что $b > 26$. Это числа: 29, 31, 37. Всего 3 дроби.

• Если $a = 17$, то $2a = 34$. Ищем $b$ из $P$ такие, что $b > 34$. Это число: 37. Всего 1 дробь.

• Если $a = 19$, то $2a = 38$. Ищем $b$ из $P$ такие, что $b > 38$. В множестве $P$ нет чисел больше 37, поэтому подходящих знаменателей нет. Для всех последующих значений $a$ (23, 29, 31, 37) значение $2a$ будет еще больше, и подходящих знаменателей также не найдется.

Общее количество дробей, меньших $\frac{1}{2}$, равно сумме найденных количеств: $4 + 3 + 1 = 8$.

Ответ: 8.