Страница 10 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.14 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Известно, что:

1) Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде десятичной.

2) Если несократимую дробь можно записать в виде десятичной, то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5.

3) Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители, отличные от 2 и 5, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной.

4) Если несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной, то её знаменатель содержит простые делители, отличные от 2 и 5.

Какие из утверждений останутся верными, если убрать слово «несократимая»?

1) Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде десятичной.

Рассмотрим несократимую дробь $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ и знаменатель $n$ являются взаимно простыми числами ($\text{НОД}(m, n) = 1$). По условию, разложение знаменателя $n$ на простые множители не содержит чисел, кроме 2 и 5. Это означает, что $n$ можно представить в виде $n = 2^k \cdot 5^l$, где $k$ и $l$ — целые неотрицательные числа. Чтобы дробь можно было записать в виде конечной десятичной, её знаменатель должен быть степенью числа 10. Знаменатель вида $10^p$ раскладывается на простые множители как $2^p \cdot 5^p$. Мы можем привести нашу дробь к такому знаменателю. Пусть $p = \max(k, l)$. Домножим числитель и знаменатель дроби на множитель $2^{p-k} \cdot 5^{p-l}$: $\frac{m}{n} = \frac{m}{2^k \cdot 5^l} = \frac{m \cdot 2^{p-k} \cdot 5^{p-l}}{2^k \cdot 5^l \cdot 2^{p-k} \cdot 5^{p-l}} = \frac{m \cdot 2^{p-k} \cdot 5^{p-l}}{2^{k+p-k} \cdot 5^{l+p-l}} = \frac{m \cdot 2^{p-k} \cdot 5^{p-l}}{2^p \cdot 5^p} = \frac{m \cdot 2^{p-k} \cdot 5^{p-l}}{10^p}$. В результате мы получили дробь, знаменатель которой равен $10^p$, что по определению является конечной десятичной дробью. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

2) Если несократимую дробь можно записать в виде десятичной, то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5.

Пусть несократимая дробь $\frac{m}{n}$ ($\text{НОД}(m, n) = 1$) представима в виде конечной десятичной дроби. Это значит, что существует такое целое число $A$ и натуральное число $k$, что $\frac{m}{n} = \frac{A}{10^k}$. Из этого равенства следует, что $m \cdot 10^k = n \cdot A$. Поскольку $10^k = 2^k \cdot 5^k$, мы можем переписать равенство как $m \cdot 2^k \cdot 5^k = n \cdot A$. Это означает, что произведение $m \cdot 2^k \cdot 5^k$ делится на $n$. Так как дробь $\frac{m}{n}$ несократима, числа $m$ и $n$ не имеют общих простых делителей. Поэтому все простые делители знаменателя $n$ должны быть также делителями множителя $2^k \cdot 5^k$. Простыми делителями числа $2^k \cdot 5^k$ могут быть только 2 и 5. Следовательно, и знаменатель $n$ в своем разложении на простые множители может содержать только 2 и 5. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

3) Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители, отличные от 2 и 5, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной.

Это утверждение является логическим следствием (контрапозицией) утверждения 2. Если верно, что «A влечет B», то верно и что «не-B влечет не-A». Утверждение 2: "можно записать в виде десятичной" $\implies$ "знаменатель имеет делители только 2 и 5". Утверждение 3: "знаменатель имеет делители, отличные от 2 и 5" $\implies$ "нельзя записать в виде десятичной". Поскольку утверждение 2 верно, это утверждение также верно. Приведем доказательство от противного. Пусть знаменатель $n$ несократимой дроби $\frac{m}{n}$ имеет простой делитель $p$, такой что $p \neq 2$ и $p \neq 5$. Допустим, что дробь $\frac{m}{n}$ можно записать в виде конечной десятичной, т.е. $\frac{m}{n} = \frac{A}{10^k}$. Тогда $m \cdot 10^k = n \cdot A$. Так как $p$ является делителем $n$, то $n \cdot A$ делится на $p$. Значит, и $m \cdot 10^k = m \cdot 2^k \cdot 5^k$ делится на $p$. Поскольку $p$ — простое число, отличное от 2 и 5, оно не является делителем $2^k \cdot 5^k$. По лемме Евклида, $p$ должно делить $m$. Таким образом, $p$ является общим делителем и для числителя $m$, и для знаменателя $n$. Это противоречит тому, что дробь $\frac{m}{n}$ несократима. Значит, наше допущение было неверным.

Ответ: Верно.

4) Если несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной, то её знаменатель содержит простые делители, отличные от 2 и 5.

Это утверждение является контрапозицией утверждения 1. Так как утверждение 1 верно, его контрапозиция также верна. Проверим рассуждением от противного. Пусть дробь $\frac{m}{n}$ нельзя представить в виде десятичной. Предположим, что её знаменатель $n$ не содержит простых делителей, отличных от 2 и 5. Это значит, что $n = 2^k \cdot 5^l$. Но если знаменатель несократимой дроби имеет такой вид, то, согласно утверждению 1, эту дробь можно записать в виде десятичной. Это напрямую противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и знаменатель $n$ обязан содержать хотя бы один простой делитель, отличный от 2 и 5.

Ответ: Верно.

Анализ утверждений, если убрать слово «несократимая»

1) Если знаменатель дроби не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде десятичной.

Пусть дана любая (возможно, сократимая) дробь $\frac{a}{b}$, знаменатель которой $b$ имеет вид $2^k \cdot 5^l$. Рассуждения из первого пункта остаются в силе. Мы можем домножить числитель и знаменатель на $2^{p-k} \cdot 5^{p-l}$ (где $p=\max(k,l)$), чтобы получить в знаменателе $10^p$. Сократимость дроби на это не влияет.

Ответ: Утверждение останется верным.

2) Если дробь можно записать в виде десятичной, то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5.

Это утверждение становится неверным. Рассмотрим контрпример: дробь $\frac{6}{30}$. Она равна $0.2$, то есть является конечной десятичной. Её знаменатель равен $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Он содержит простой делитель 3, который отличен от 2 и 5. Причина в том, что дробь сократима: $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$. "Лишний" множитель 3 в знаменателе сократился с множителем в числителе.

Ответ: Утверждение станет неверным.

3) Если знаменатель дроби имеет простые делители, отличные от 2 и 5, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной.

Это утверждение также становится неверным. Используем тот же контрпример: $\frac{6}{30}$. Знаменатель $30$ имеет простой делитель 3. По этому утверждению, дробь не должна быть представима в виде конечной десятичной. Однако, как мы видели, $\frac{6}{30} = 0.2$.

Ответ: Утверждение станет неверным.

4) Если дробь нельзя представить в виде десятичной, то её знаменатель содержит простые делители, отличные от 2 и 5.

Это утверждение останется верным. Докажем это. Пусть дробь $\frac{a}{b}$ нельзя представить в виде конечной десятичной. Представим её в несократимом виде $\frac{m}{n}$. По основному свойству, знаменатель $n$ должен содержать простой делитель $p$, отличный от 2 и 5. Поскольку $\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$, то существует такой общий делитель $d = \text{НОД}(a, b)$, что $a = m \cdot d$ и $b = n \cdot d$. Раз $p$ является делителем $n$, то он является и делителем произведения $n \cdot d$, то есть $b$. Таким образом, знаменатель исходной дроби $b$ также содержит простой делитель $p$, отличный от 2 и 5.

Ответ: Утверждение останется верным.

Таким образом, если убрать слово «несократимая», верными останутся утверждения 1 и 4.