Страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

■ Как называют выражение $a^n$; число $a$ в этом выражении; число $n$? Что означает выражение $a^n$, если $n$ – натуральное число, не равное $1$; если $n = 1$? Найдите значения выражений $6^3$, $(-3)^4$, $8^1$.

Как называют выражение $a^n$; число $a$ в этом выражении; число $n$?

Выражение вида $a^n$ называется степенью. В этой записи число $a$ является основанием степени — это число, которое возводится в степень. Число $n$ является показателем степени — оно показывает, сколько раз основание умножается само на себя.
Ответ: Выражение $a^n$ — это степень, $a$ — основание степени, $n$ — показатель степени.

Что означает выражение $a^n$, если $n$ — натуральное число, не равное 1;

Если $n$ — это натуральное число, большее единицы ($n > 1$), то выражение $a^n$ означает произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Это можно записать в виде формулы:
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$
Например, $a^3 = a \cdot a \cdot a$.
Ответ: Произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

если $n = 1$?

По определению, степень любого числа $a$ с показателем 1 равна самому этому числу.
$a^1 = a$
Это правило является частью общего определения степени.
Ответ: Если $n=1$, то $a^n = a$.

Найдите значения выражений $6^3$, $(-3)^4$, $8^1$.

Для нахождения значений данных выражений выполним вычисления согласно определениям, рассмотренным выше.
1. $6^3$ — это произведение трех множителей, равных 6:
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
2. $(-3)^4$ — это произведение четырех множителей, равных -3. Так как показатель степени (4) является четным числом, результат будет положительным:
$(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$.
3. $8^1$ — это степень с показателем 1, которая равна своему основанию:
$8^1 = 8$.
Ответ: $6^3 = 216$; $(-3)^4 = 81$; $8^1 = 8$.

Разберите, как найдено значение степени $2^8$ во фрагменте 1. Используя равенства $3^2 = 9$ и $3^3 = 27$, найдите сначала $3^5$, а затем $3^8$.

Разберите, как найдено значение степени 2⁸ во фрагменте 1.
Значение степени $2^8$ (во фрагменте 1, который не приведен, но метод можно восстановить) скорее всего найдено с помощью свойств степени. Один из самых распространенных способов — это использование правила возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ или умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Рассмотрим метод с использованием правила возведения степени в степень.
1. Представим показатель 8 как произведение, например $8 = 4 \cdot 2$.
2. Тогда $2^8 = 2^{4 \cdot 2} = (2^4)^2$.
3. Сначала вычислим значение $2^4$: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
4. Теперь возведем полученный результат в квадрат: $(2^4)^2 = 16^2 = 16 \cdot 16 = 256$.

Альтернативный метод, использующий умножение степеней:
1. Представим показатель 8 как сумму, например $8 = 4 + 4$.
2. Тогда $2^8 = 2^{4+4} = 2^4 \cdot 2^4$.
3. Вычислив $2^4 = 16$, получаем $2^8 = 16 \cdot 16 = 256$.

Ответ: 256.

Используя равенства 3² = 9 и 3³ = 27, найдите сначала 3⁵, а затем 3⁸.
Для решения этой задачи мы будем использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Нахождение $3^5$:
Представим показатель степени 5 в виде суммы показателей 2 и 3, так как значения для них нам известны.
$5 = 2 + 3$
Следовательно, $3^5 = 3^{2+3} = 3^2 \cdot 3^3$.
Теперь подставим данные из условия значения: $3^2=9$ и $3^3=27$.
$3^5 = 9 \cdot 27 = 243$.

Нахождение $3^8$:
Теперь, зная значение $3^5$, мы можем использовать его для нахождения $3^8$. Представим показатель 8 в виде суммы известных нам показателей, например, 5 и 3.
$8 = 5 + 3$
Следовательно, $3^8 = 3^{5+3} = 3^5 \cdot 3^3$.
Мы уже вычислили, что $3^5 = 243$, и нам дано, что $3^3 = 27$.
$3^8 = 243 \cdot 27 = 6561$.
(Проверка умножения: $243 \cdot 27 = 243 \cdot (20 + 7) = 4860 + 1701 = 6561$).

Ответ: $3^5 = 243$, $3^8 = 6561$.

Какое число – положительное или отрицательное – может получиться при возведении в степень отрицательного числа? От чего зависит знак степени с отрицательным основанием? Сравните с нулём число: $(-49)^{20}$; $(-100)^{11}$; $(-7)^5 \cdot (-23)^6$

Какое число — положительное или отрицательное — может получиться при возведении в степень отрицательного числа?
При возведении в степень отрицательного числа может получиться как положительное, так и отрицательное число. Это зависит от показателя степени. Например, $(-2)^2 = 4$ — положительное число, а $(-2)^3 = -8$ — отрицательное число.
Ответ: может получиться как положительное, так и отрицательное число.

От чего зависит знак степени с отрицательным основанием?
Знак степени с отрицательным основанием зависит от чётности показателя степени.
- Если показатель степени — чётное натуральное число (2, 4, 6, ...), то результат будет положительным.
- Если показатель степени — нечётное натуральное число (1, 3, 5, ...), то результат будет отрицательным.
Ответ: знак зависит от чётности показателя степени. Если показатель чётный, число будет положительным; если нечётный — отрицательным.

Сравните с нулём число:

$(-49)^{20}$
Основание степени ($-49$) — отрицательное число, а показатель степени ($20$) — чётное число. При возведении отрицательного числа в чётную степень результат всегда является положительным числом.
Следовательно, $(-49)^{20} > 0$.
Ответ: $(-49)^{20} > 0$.

$(-100)^{11}$
Основание степени ($-100$) — отрицательное число, а показатель степени ($11$) — нечётное число. При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат всегда является отрицательным числом.
Следовательно, $(-100)^{11} < 0$.
Ответ: $(-100)^{11} < 0$.

$(-7)^5 \cdot (-23)^6$
Данное выражение — это произведение двух чисел. Определим знак каждого множителя:
- Первый множитель $(-7)^5$ отрицателен, так как отрицательное основание возводится в нечётную степень ($5$).
- Второй множитель $(-23)^6$ положителен, так как отрицательное основание возводится в чётную степень ($6$).
Произведение отрицательного числа и положительного числа всегда отрицательно.
Следовательно, $(-7)^5 \cdot (-23)^6 < 0$.
Ответ: $(-7)^5 \cdot (-23)^6 < 0$.

Прочитайте предложение: «Обычно снежинка имеет 5 мм в диаметре при массе $4 \cdot 10^{-3}$ г». Выразите десятичной дробью массу снежинки.

В задаче указана масса снежинки в стандартном виде: $4 \cdot 10^{-3}$ г. Необходимо представить это значение в виде десятичной дроби.

Выражение $10^{-3}$ означает число, обратное $10^3$. Рассчитаем его значение: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Следовательно, $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0.001$.

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение для массы и выполним умножение: $4 \cdot 10^{-3} \text{ г} = 4 \cdot 0.001 \text{ г} = 0.004 \text{ г}$.

Другой способ — это перемещение десятичной запятой. В числе $4$ (которое можно записать как $4.0$) отрицательная степень $-3$ указывает на то, что десятичную запятую необходимо сдвинуть на три позиции влево, при необходимости добавляя нули: $4.0 \rightarrow 0.4 \rightarrow 0.04 \rightarrow 0.004$.

Таким образом, масса снежинки, выраженная десятичной дробью, равна $0.004$ г.
Ответ: $0.004$ г.

1.30 1) Запишите каждое выражение в виде произведения или степени:

а) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ и $2 + 2 + 2 + 2$;

б) $a + a + a$ и $a \cdot a \cdot a$;

в) $x \cdot x \cdot x \cdot \dots \cdot x$
20 множителей и $x + x + x + \dots + x$
20 слагаемых

2) Запишите выражения короче, используя степени:

а) $(-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) + 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$;

б) $2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$;

в) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 3 + 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 5$
m множителей n множителей

1)

а) Первое выражение $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ представляет собой произведение пяти одинаковых множителей, равных 2. По определению степени, такое произведение записывается как $2^5$.
Второе выражение $2 + 2 + 2 + 2 + 2$ является суммой пяти одинаковых слагаемых, равных 2. По определению умножения, такая сумма записывается как произведение $5 \cdot 2$.
Ответ: $2^5$ и $5 \cdot 2$.

б) Первое выражение $a + a + a$ — это сумма трех одинаковых слагаемых $a$. Такую сумму можно записать в виде произведения $3 \cdot a$ или короче $3a$.
Второе выражение $a \cdot a \cdot a$ — это произведение трех одинаковых множителей $a$. Такое произведение записывается в виде степени $a^3$.
Ответ: $3a$ и $a^3$.

в) Первое выражение $x \cdot x \cdot x \cdot ... \cdot x$, где $x$ повторяется 20 раз в качестве множителя, по определению степени можно записать как $x^{20}$.
Второе выражение $x + x + x + ... + x$, где $x$ повторяется 20 раз в качестве слагаемого, по определению умножения можно записать как $20 \cdot x$ или $20x$.
Ответ: $x^{20}$ и $20x$.

2)

а) В выражении $(-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) + 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$ первое слагаемое представляет собой произведение четырех множителей, равных $-4$, что можно записать как $(-4)^4$. Второе слагаемое — это произведение семи множителей, равных 6, что можно записать как $6^7$. Таким образом, все выражение можно записать короче в виде суммы степеней.
Ответ: $(-4)^4 + 6^7$.

б) В выражении $2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$ первое слагаемое содержит произведение трех пятерок, то есть $5^3$. Второе слагаемое содержит произведение пяти семерок, то есть $7^5$. Запишем выражение короче, используя степени.
Ответ: $2 \cdot 5^3 + 3 \cdot 7^5$.

в) В выражении $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot ... \cdot 3 \text{ (m множителей)} + 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot ... \cdot 5 \text{ (n множителей)}$ первое слагаемое является произведением $m$ множителей, равных 3, что равно $3^m$. Второе слагаемое является произведением $n$ множителей, равных 5, что равно $5^n$. Сумма этих двух слагаемых записывается с использованием степеней.
Ответ: $3^m + 5^n$.

1.31 Вычислите:

1) $15^2$; $20^3$; $9^3$;

2) $(-3)^4$; $(-4)^3$; $(-2)^5$;

$(\frac{4}{5})^2$; $(\frac{2}{3})^3$; $(4\frac{1}{2})^2$;

$(-\frac{1}{2})^3$; $(-\frac{3}{4})^2$; $(-1\frac{1}{3})^2$;

$1,5^2$; $2,1^2$; $0,5^3$;

$(-1,5)^2$; $(-0,2)^3$; $(-0,1)^5$.

1)

$15^2 = 15 \cdot 15 = 225$
Ответ: 225

$20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 400 \cdot 20 = 8000$
Ответ: 8000

$9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729$
Ответ: 729

$(\frac{4}{5})^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$
Ответ: $\frac{16}{25}$

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$
Ответ: $\frac{8}{27}$

$(4\frac{1}{2})^2 = (\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})^2 = (\frac{9}{2})^2 = \frac{9^2}{2^2} = \frac{81}{4} = 20\frac{1}{4}$
Ответ: $20\frac{1}{4}$

$1,5^2 = 1,5 \cdot 1,5 = 2,25$
Ответ: 2,25

$2,1^2 = 2,1 \cdot 2,1 = 4,41$
Ответ: 4,41

$0,5^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125$
Ответ: 0,125

2)

При возведении отрицательного числа в четную степень (4) результат будет положительным.
$(-3)^4 = 3^4 = 81$
Ответ: 81

При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3) результат будет отрицательным.
$(-4)^3 = -(4^3) = -(4 \cdot 4 \cdot 4) = -64$
Ответ: -64

При возведении отрицательного числа в нечетную степень (5) результат будет отрицательным.
$(-2)^5 = -(2^5) = -32$
Ответ: -32

При возведении отрицательной дроби в нечетную степень (3) результат будет отрицательным.
$(-\frac{1}{2})^3 = -(\frac{1}{2})^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$
Ответ: $-\frac{1}{8}$

При возведении отрицательной дроби в четную степень (2) результат будет положительным.
$(-\frac{3}{4})^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$
Ответ: $\frac{9}{16}$

При возведении отрицательного смешанного числа в четную степень (2) результат будет положительным. Сначала преобразуем число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$.
$(-1\frac{1}{3})^2 = (-\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$
Ответ: $1\frac{7}{9}$

При возведении отрицательной десятичной дроби в четную степень (2) результат будет положительным.
$(-1,5)^2 = 1,5^2 = 2,25$
Ответ: 2,25

При возведении отрицательной десятичной дроби в нечетную степень (3) результат будет отрицательным.
$(-0,2)^3 = -(0,2^3) = -0,008$
Ответ: -0,008

При возведении отрицательной десятичной дроби в нечетную степень (5) результат будет отрицательным.
$(-0,1)^5 = -(0,1^5) = -0,00001$
Ответ: -0,00001

1.32 1) Восстановите число, для которого записано разложение на простые множители:

а) ... = $2^2 \cdot 3 \cdot 5^3$

б) ... = $2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$

в) ... = $2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11$

2) Разложите на простые множители число:

а) 72;

б) 96;

в) 400;

г) 300.

а) Чтобы восстановить число по его разложению на простые множители, необходимо вычислить значение данного произведения:
$... = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^3 = 4 \cdot 3 \cdot 125 = 12 \cdot 125 = 1500$.
Ответ: 1500.

б) Выполним умножение заданных простых множителей:
$... = 2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 = 2 \cdot 27 \cdot 25 = 54 \cdot 25 = 1350$.
Ответ: 1350.

в) Вычислим значение произведения, для удобства сгруппировав множители:
$... = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11 = (2^4 \cdot 5^2) \cdot (3 \cdot 11) = (16 \cdot 25) \cdot 33 = 400 \cdot 33 = 13200$.
Ответ: 13200.

а) 72; Для разложения числа 72 на простые множители будем последовательно делить его на наименьшие простые числа (2, 3, 5, ...), пока в частном не получится 1:
$72 \div 2 = 36$
$36 \div 2 = 18$
$18 \div 2 = 9$
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$
Таким образом, собрав все простые делители, получаем: $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$.
Ответ: $72 = 2^3 \cdot 3^2$.

б) 96; Разложим число 96 на простые множители, используя метод последовательного деления:
$96 \div 2 = 48$
$48 \div 2 = 24$
$24 \div 2 = 12$
$12 \div 2 = 6$
$6 \div 2 = 3$
$3 \div 3 = 1$
Следовательно, разложение числа 96: $96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$.
Ответ: $96 = 2^5 \cdot 3$.

в) 400; Разложим число 400 на простые множители:
$400 \div 2 = 200$
$200 \div 2 = 100$
$100 \div 2 = 50$
$50 \div 2 = 25$
$25 \div 5 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Таким образом, разложение числа 400: $400 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5^2$.
Ответ: $400 = 2^4 \cdot 5^2$.

г) 300. Разложим число 300 на простые множители:
$300 \div 2 = 150$
$150 \div 2 = 75$
$75 \div 3 = 25$
$25 \div 5 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Следовательно, разложение числа 300: $300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.
Ответ: $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

1.33 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Прочитайте в объяснительном тексте, как выполнено вычисление $2^8$.

Найдите: $5^2, 5^3, 5^4, 5^5$. Пользуясь полученными результатами, вычислите: $5^7, 5^{10}, 5^{15}, 5^{20}$.

Задача состоит из двух частей. Сначала необходимо вычислить начальные степени числа 5, а затем, используя эти результаты и свойства степеней, вычислить более высокие степени.

Вычисление $5^2, 5^3, 5^4, 5^5$

$5^2$

Возведение в квадрат означает умножение числа на само себя.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Ответ: $25$.

$5^3$

Для вычисления третьей степени можно использовать результат для второй степени: $5^3 = 5^2 \cdot 5$.
$5^3 = 25 \cdot 5 = 125$.
Ответ: $125$.

$5^4$

Четвертую степень удобно вычислить, возведя в квадрат вторую степень, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$5^4 = (5^2)^2 = 25^2 = 25 \cdot 25 = 625$.
Ответ: $625$.

$5^5$

Пятую степень можно найти, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Например, $5^5 = 5^{4+1} = 5^4 \cdot 5$.
$5^5 = 625 \cdot 5 = 3125$.
Ответ: $3125$.

Вычисление $5^7, 5^{10}, 5^{15}, 5^{20}$

$5^7$

Представим показатель степени 7 в виде суммы известных нам показателей, например $7 = 5 + 2$.
$5^7 = 5^{5+2} = 5^5 \cdot 5^2$.
Подставим ранее вычисленные значения:
$5^7 = 3125 \cdot 25 = 78125$.
Ответ: $78125$.

$5^{10}$

Представим показатель 10 как $5 \cdot 2$. Тогда можно использовать свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$5^{10} = (5^5)^2$.
Подставим ранее вычисленное значение $5^5$:
$5^{10} = 3125^2 = 3125 \cdot 3125 = 9765625$.
Ответ: $9765625$.

$5^{15}$

Представим показатель 15 как сумму $10 + 5$.
$5^{15} = 5^{10+5} = 5^{10} \cdot 5^5$.
Подставим ранее вычисленные значения:
$5^{15} = 9765625 \cdot 3125 = 30517578125$.
Ответ: $30517578125$.

$5^{20}$

Представим показатель 20 как произведение $10 \cdot 2$.
$5^{20} = (5^{10})^2$.
Подставим ранее вычисленное значение $5^{10}$:
$5^{20} = (9765625)^2 = 9765625 \cdot 9765625 = 95367431640625$.
Ответ: $95367431640625$.