Номер 1.33, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.33 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Прочитайте в объяснительном тексте, как выполнено вычисление $2^8$.

Найдите: $5^2, 5^3, 5^4, 5^5$. Пользуясь полученными результатами, вычислите: $5^7, 5^{10}, 5^{15}, 5^{20}$.

Задача состоит из двух частей. Сначала необходимо вычислить начальные степени числа 5, а затем, используя эти результаты и свойства степеней, вычислить более высокие степени.

Вычисление $5^2, 5^3, 5^4, 5^5$

$5^2$

Возведение в квадрат означает умножение числа на само себя.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Ответ: $25$.

$5^3$

Для вычисления третьей степени можно использовать результат для второй степени: $5^3 = 5^2 \cdot 5$.
$5^3 = 25 \cdot 5 = 125$.
Ответ: $125$.

$5^4$

Четвертую степень удобно вычислить, возведя в квадрат вторую степень, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$5^4 = (5^2)^2 = 25^2 = 25 \cdot 25 = 625$.
Ответ: $625$.

$5^5$

Пятую степень можно найти, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Например, $5^5 = 5^{4+1} = 5^4 \cdot 5$.
$5^5 = 625 \cdot 5 = 3125$.
Ответ: $3125$.

Вычисление $5^7, 5^{10}, 5^{15}, 5^{20}$

$5^7$

Представим показатель степени 7 в виде суммы известных нам показателей, например $7 = 5 + 2$.
$5^7 = 5^{5+2} = 5^5 \cdot 5^2$.
Подставим ранее вычисленные значения:
$5^7 = 3125 \cdot 25 = 78125$.
Ответ: $78125$.

$5^{10}$

Представим показатель 10 как $5 \cdot 2$. Тогда можно использовать свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$5^{10} = (5^5)^2$.
Подставим ранее вычисленное значение $5^5$:
$5^{10} = 3125^2 = 3125 \cdot 3125 = 9765625$.
Ответ: $9765625$.

$5^{15}$

Представим показатель 15 как сумму $10 + 5$.
$5^{15} = 5^{10+5} = 5^{10} \cdot 5^5$.
Подставим ранее вычисленные значения:
$5^{15} = 9765625 \cdot 3125 = 30517578125$.
Ответ: $30517578125$.

$5^{20}$

Представим показатель 20 как произведение $10 \cdot 2$.
$5^{20} = (5^{10})^2$.
Подставим ранее вычисленное значение $5^{10}$:
$5^{20} = (9765625)^2 = 9765625 \cdot 9765625 = 95367431640625$.
Ответ: $95367431640625$.