Страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте утверждения, воспользовавшись одним из правил, приведённых во фрагменте 1 (перехода от дроби к процентам или от процентов к дроби):

$0.75$ некоторой величины – это $75\%$ этой величины;

$1.5$ некоторой величины – это $150\%$ этой величины;

$30\%$ некоторой величины – это $0.3$ этой величины;

$0.4\%$ некоторой величины – это $0.004$ этой величины.

0,75 некоторой величины — это 75% этой величины;
Чтобы проверить данное утверждение, воспользуемся правилом перевода десятичной дроби в проценты. Для этого необходимо умножить дробь на 100 и добавить знак «%».
Выполним преобразование для числа 0,75:
$0,75 \cdot 100\% = 75\%$.
Полученный результат совпадает с указанным в утверждении значением.
Ответ: утверждение верно.

1,5 некоторой величины — это 150% этой величины;
Для проверки этого утверждения также переведем десятичную дробь в проценты, умножив ее на 100.
Выполним преобразование для числа 1,5:
$1,5 \cdot 100\% = 150\%$.
Результат преобразования соответствует значению в утверждении.
Ответ: утверждение верно.

30% некоторой величины — это 0,3 этой величины;
Для проверки этого утверждения воспользуемся правилом перевода процентов в десятичную дробь. Для этого необходимо разделить число процентов на 100.
Выполним преобразование для 30%:
$30\% = \frac{30}{100} = 0,3$.
Полученная десятичная дробь совпадает со значением в утверждении.
Ответ: утверждение верно.

0,4% некоторой величины — это 0,004 этой величины.
Для проверки этого утверждения также переведем проценты в десятичную дробь, разделив их на 100.
Выполним преобразование для 0,4%:
$0,4\% = \frac{0,4}{100} = 0,004$.
Результат преобразования соответствует значению в утверждении.
Ответ: утверждение верно.

Проверьте себя, обратившись к таблице во фрагменте 1, можете ли вы бегло назвать обыкновенные дроби, соответствующие процентам: 10%, 20%, 25%, 50%, 75%.

Чтобы перевести проценты в обыкновенную дробь, необходимо число процентов записать в числитель дроби, а в знаменатель записать 100. Затем, если это возможно, полученную дробь следует сократить.

Записываем 10% в виде дроби со знаменателем 100: $10\% = \frac{10}{100}$
Теперь сокращаем дробь. Наибольший общий делитель для числителя (10) и знаменателя (100) равен 10. Делим числитель и знаменатель на 10: $\frac{10 \div 10}{100 \div 10} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

Записываем 20% в виде дроби: $20\% = \frac{20}{100}$
Наибольший общий делитель для 20 и 100 равен 20. Сокращаем дробь: $\frac{20 \div 20}{100 \div 20} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

Записываем 25% в виде дроби: $25\% = \frac{25}{100}$
Наибольший общий делитель для 25 и 100 равен 25. Сокращаем дробь: $\frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$
25% — это четверть.

Ответ: $\frac{1}{4}$

Записываем 50% в виде дроби: $50\% = \frac{50}{100}$
Наибольший общий делитель для 50 и 100 равен 50. Сокращаем дробь: $\frac{50 \div 50}{100 \div 50} = \frac{1}{2}$
50% — это половина.

Ответ: $\frac{1}{2}$

Записываем 75% в виде дроби: $75\% = \frac{75}{100}$
Наибольший общий делитель для 75 и 100 равен 25. Сокращаем дробь: $\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$
75% — это три четверти.

Ответ: $\frac{3}{4}$

Объясните, как находят несколько процентов от величины (задача 1). Найдите $33\%$ от $300$ р.

Объясните, как находят несколько процентов от величины

Процент — это одна сотая часть величины, принимаемой за целое. Обозначается знаком $\%$. Таким образом, $1\%$ это $\frac{1}{100}$ часть.

Чтобы найти несколько процентов от какой-либо величины, существуют два основных способа:

Способ 1. Нахождение через 1%.

Сначала находят, чему равен один процент от этой величины, разделив ее на 100. Затем полученное значение умножают на искомое количество процентов.

Способ 2. Преобразование процентов в дробь.

Чтобы найти проценты от величины, можно представить проценты в виде десятичной дроби (разделив число процентов на 100) и затем умножить исходную величину на эту дробь. Этот способ является наиболее универсальным.

В общем виде, чтобы найти $p\%$ от числа $A$, нужно число $A$ умножить на дробь $\frac{p}{100}$:

$A \cdot \frac{p}{100}$

Ответ: Чтобы найти несколько процентов от величины, нужно представить проценты в виде десятичной дроби (разделить на 100) и умножить исходную величину на полученную дробь.

Найдите 33% от 300 р.

Чтобы найти $33\%$ от 300 рублей, воспользуемся правилом нахождения процента от числа.

Шаг 1: Представим проценты в виде десятичной дроби.

Для этого нужно число процентов разделить на 100:

$33\% = \frac{33}{100} = 0.33$

Шаг 2: Умножим исходную величину на полученную дробь.

Теперь умножим 300 рублей на 0.33:

$300 \cdot 0.33 = 99$

Следовательно, $33\%$ от 300 рублей составляют 99 рублей.

Ответ: 99 р.

Объясните, как находят величину по известным её процентам (задача 2).

Найдите стоимость товара, если его 7% составляют 140 р.

Объясните, как находят величину по известным её процентам (задача 2).

Чтобы найти полную величину по известной её части и соответствующему этой части проценту, существует два основных способа.

Способ 1: Нахождение через 1 процент.
Сначала находят, какая часть величины приходится на 1%. Для этого известное значение делят на число процентов, которому оно соответствует. Затем полученный результат умножают на 100, так как полная величина — это 100%.

Способ 2: Использование десятичных дробей.
Сначала проценты переводят в десятичную дробь, для чего делят их на 100. Затем известное значение (часть величины) делят на полученную десятичную дробь.

Оба способа математически эквивалентны. Если известно, что $p\%$ от искомой величины $X$ равны значению $A$, то величину $X$ можно найти по формуле: $X = \frac{A}{p} \cdot 100$.

Ответ: Чтобы найти величину по ее проценту, нужно значение, соответствующее этому проценту, разделить на число процентов, а затем результат умножить на 100.

Найдите стоимость товара, если его 7% составляют 140 р.

Для решения этой задачи воспользуемся правилом нахождения целого по его части. Нам дано, что 7% от стоимости товара составляют 140 р.

Решение по шагам:

1. Найдем, сколько рублей составляет 1% от полной стоимости товара. Для этого разделим известную сумму на соответствующее ей количество процентов:
$140 \, \text{р.} \div 7 = 20 \, \text{р.}$

2. Теперь, зная стоимость одного процента, найдем полную стоимость товара (100%). Для этого умножим стоимость 1% на 100:
$20 \, \text{р.} \cdot 100 = 2000 \, \text{р.}$

Альтернативное решение (через десятичную дробь):

Переведем 7% в десятичную дробь: $7\% = \frac{7}{100} = 0.07$.
Чтобы найти полную стоимость, разделим известную часть (140 р.) на эту дробь:
$140 \div 0.07 = 14000 \div 7 = 2000 \, \text{р.}$

Оба способа показывают, что полная стоимость товара равна 2000 р.

Ответ: 2000 р.

Стоимость книги, цена которой 300 р., повысилась на 20%. Как найти новую стоимость книги? Предложите разные способы (задача 3).

Для нахождения новой стоимости книги можно использовать несколько способов.

Способ 1. Поэтапный расчет
Сначала найдем, на сколько рублей повысилась цена книги. Для этого вычислим 20% от ее первоначальной стоимости:
$300 \cdot \frac{20}{100} = 300 \cdot 0.2 = 60$ рублей.
Теперь прибавим полученную сумму к исходной цене, чтобы найти новую стоимость:
$300 + 60 = 360$ рублей.
Ответ: 360 рублей.

Способ 2. Расчет через коэффициент
Первоначальная цена составляет 100%. После повышения на 20% новая цена будет составлять $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую стоимость, можно сразу умножить исходную цену на коэффициент, соответствующий 120%. Коэффициент равен $120\% / 100\% = 1.2$.
$300 \cdot 1.2 = 360$ рублей.
Ответ: 360 рублей.

Способ 3. С помощью пропорции
Составим пропорцию, где первоначальная цена (300 р.) — это 100%, а новая цена (x р.) — это 120% ($100\% + 20\%$):
300 рублей — 100%
x рублей — 120%
Из пропорции получаем уравнение:
$\frac{300}{x} = \frac{100}{120}$
Теперь найдем x:
$x = \frac{300 \cdot 120}{100} = 3 \cdot 120 = 360$ рублей.
Ответ: 360 рублей.

Расскажите, как решить задачу: «Товар, стоивший 200 р., стал продаваться за 150 р. На сколько процентов была снижена цена товара?» (задача 4).

Для решения этой задачи нужно определить, какую долю от первоначальной цены составляет разница между старой и новой ценой, а затем выразить эту долю в процентах. За 100% всегда принимается исходная величина, в данном случае — 200 рублей.

Способ 1: По действиям

1. Сначала вычислим, на сколько рублей цена стала меньше. Для этого из старой цены вычтем новую:

$200 - 150 = 50$ рублей.

Это абсолютное снижение цены (сумма скидки).

2. Теперь нужно найти, какой процент эти 50 рублей составляют от первоначальной цены в 200 рублей. Для этого разделим сумму снижения на первоначальную цену и умножим результат на 100, чтобы получить проценты.

Формула: $(\frac{\text{сумма снижения}}{\text{начальная цена}}) \times 100\%$

Подставляем наши значения:

$\frac{50}{200} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$

Таким образом, цена была снижена на 25 процентов.

Ответ: на 25%.

Способ 2: Через пропорцию

1. Примем исходную цену (200 р.) за 100%.

2. Узнаем, сколько процентов от исходной цены составляет новая цена (150 р.). Обозначим искомый процент за $x$ и составим пропорцию:

$200 \text{ р.} \quad — \quad 100\%$

$150 \text{ р.} \quad — \quad x\%$

3. Найдём $x$ из пропорции:

$x = \frac{150 \times 100}{200} = \frac{15000}{200} = 75\%$

Мы выяснили, что новая цена составляет 75% от старой.

4. Чтобы найти, на сколько процентов цена была снижена, вычтем из процентов старой цены (100%) проценты новой цены (75%):

$100\% - 75\% = 25\%$

Таким образом, снижение цены составило 25 процентов.

Ответ: на 25%.

1.58 a) Части городского бюджета, предназначенные для нужд города, выражаются следующими десятичными дробями: $0,04$; $0,27$; $0,3$; $0,255$; $0,0006$. Выразите эти десятичные дроби в процентах.

б) На выборах в областную администрацию пять кандидатов на одно место получили соответственно $63\%$, $25\%$, $10,5\%$, $0,93\%$ и $0,57\%$ голосов избирателей. Выразите эти проценты десятичными дробями.

а)

Чтобы выразить десятичную дробь в процентах, необходимо умножить эту дробь на 100 и добавить знак процента (%). Умножение на 100 эквивалентно переносу запятой на два знака вправо.

Выполним преобразования для каждой из данных десятичных дробей:

Для дроби 0,04:
$0,04 \times 100\% = 4\%$

Для дроби 0,27:
$0,27 \times 100\% = 27\%$

Для дроби 0,3:
$0,3 \times 100\% = 30\%$

Для дроби 0,255:
$0,255 \times 100\% = 25,5\%$

Для дроби 0,0006:
$0,0006 \times 100\% = 0,06\%$

Ответ: 4%; 27%; 30%; 25,5%; 0,06%.

б)

Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби, необходимо убрать знак процента (%) и разделить число на 100. Деление на 100 эквивалентно переносу запятой на два знака влево.

Выполним преобразования для каждого процентного значения:

Для 63%:
$63\% = \frac{63}{100} = 0,63$

Для 25%:
$25\% = \frac{25}{100} = 0,25$

Для 10,5%:
$10,5\% = \frac{10,5}{100} = 0,105$

Для 0,93%:
$0,93\% = \frac{0,93}{100} = 0,0093$

Для 0,57%:
$0,57\% = \frac{0,57}{100} = 0,0057$

Ответ: 0,63; 0,25; 0,105; 0,0093; 0,0057.

1.59 На диаграмме (рис. 1.7) представлены результаты опроса «Для чего вы покупаете велосипед?». Найдите недостающие на диаграмме данные и вычислите, сколько человек дали каждый из ответов, если было опрошено 5600 человек.

Для решения задачи сначала найдем недостающие данные на диаграмме (процент для одной из категорий), а затем вычислим количество человек для каждого ответа.

1. Нахождение недостающих данных на диаграмме

Круговая диаграмма представляет 100% всех опрошенных. Из диаграммы известны доли для трех категорий:

• Для прогулок: 55%
• Для поездок на работу: 25%
• Другое: 5%

Сумма известных долей составляет: $55\% + 25\% + 5\% = 85\%$

Чтобы найти долю для категории «Для занятий спортом», нужно вычесть сумму известных долей из 100%: $100\% - 85\% = 15\%$

Итак, 15% опрошенных покупают велосипед для занятий спортом.

2. Вычисление количества человек для каждой категории

Всего было опрошено 5600 человек. Теперь мы можем рассчитать, сколько человек соответствует каждой процентной доле.

Для прогулок
Эта категория составляет 55% от общего числа. Найдем количество человек: $5600 \cdot \frac{55}{100} = 56 \cdot 55 = 3080$ человек.
Ответ: 3080 человек.

Для поездок на работу
Эта категория составляет 25% (или четверть) от общего числа. Найдем количество человек: $5600 \cdot \frac{25}{100} = \frac{5600}{4} = 1400$ человек.
Ответ: 1400 человек.

Для занятий спортом
Эта категория составляет 15% от общего числа. Найдем количество человек: $5600 \cdot \frac{15}{100} = 56 \cdot 15 = 840$ человек.
Ответ: 840 человек.

Другое
Эта категория составляет 5% от общего числа. Найдем количество человек: $5600 \cdot \frac{5}{100} = 56 \cdot 5 = 280$ человек.
Ответ: 280 человек.